1-1利息基本函数.ppt

第一章利息基本计算,所有金融活动的基础是投资(收益)和融资，刻画不同投融资方式所带来的收益最直观、最基本的方法是利息。,1.1利息基本函数,利息的概念累计函数单利和复利贴现函数名利率和名贴现率连续利息的计算,一、利息的概念,从债权债务关系的角度看，利息是借贷关系中债务人为取得资金使用权而支付给债权人的报酬。,从借贷关系的角度看，利息是一种补偿，由借款人支付给贷款人，因为前者占用和使用了后者的一部分资金。,从投资的角度看，利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的价值增值。,例1：在银行开立储蓄帐户，把平时积累下来的多余钱存入银行，可视为投资一定数量的钱款以产生投资收益利息,例2：购买国库券,二、累积函数,本金初始投资的资本金额,累积值过一定时期后收到的总金额,利息累积值与本金之间的金额差值,累积函数假设在初始时刻0投资了1个单位的本金则在时刻t的累积值，记为a(t),累积函数a(t)是关于时间的函数,且满足,(1)a(0)=1(2)a(t)关于时间严格单调递增,即当t10,从总量函数可得累积函数为:a(t)=A(t)/A(0)，t0,且总量函数A(t)在时间t1,t2内的变化量称为利息,记为It1,t2,则,It1,t2=A(t1)-A(t2),利率一定的货币量在一段时间计息期内的变化量利息与期初货币量的比值，即,利率=利息/期初本金,这里定义的利率被称为实利率；通常计息期为标准时间单位，如年、季、月等，若无特别说明，实利率一般指年实利率。,t1,t2上的实利率it1,t2为,in表示第n个时段的实利率，即,且,三、单利和复利,在实际金融活动中通常用到的两种计息方式分别为单利和复利,假设在期初投资1个单位的本金，在每一个时期中都得到完全相同的利息金额，即利息为常数,a(t)=1+it，t0,这种类型的利息产生方式称为单利，i称为单利率。,(1)相应单利的累积函数为时间的线性函数,(2)常数的单利率并不意味着常数的实利率,因为相应于单利的第n个时期的实利率in为,是一个关于n的单调递减的函数,且当n的取值较大时,实利率in将变得较小。,说明：,问题的提出：单利情形下，在前面的各个时期所获得的利息并没有在后面的时期用来再获取额外的利息。如果所获利息可继续投资情形如何？,复利的基本思想：利息收入被再次记入下一期的本金，即通常所说的“利滚利”。,复利的累积函数,复利的直观表述：相同长短的不同时期的实利率相等,单利的直观表述不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时期的长短有关系，而与该时期的具体位置无关。,单利计算与复利计算的区别(1)若单利率=复利率,则当0复利,而当t1时,单利复利。(2)短期两者差异不大，长期两者有显著差距。(3)复利几乎用于所有的金融业务，单利只是用于短期计算，或复利的不足期近似计算。除特别声明，一般考虑复利计算方式,例4：以年利率5%为例，比较单利与复利计算方法的异同效果。,例5：试确定按单利或复利计算,年息11%,问开始时应投资多少元,使得在第5年末本金和利息总和能积累至1000元?,解：由A(5)=A(0)a(5)，可得A(0)=A(5)/a(5),单利：a(5)=1+11%5=1.55A(0)=1000/1.55=645.16(元),复利：a(5)=(1+11%)5=1.685A(0)=1000/1.685=593.47(元),四、贴现函数,累积因子若实利率为i，则在期初投资的1个单位的本金在期末将累积到1+i把1+i称为是累积因子，即期末累积值=期初本金累积因子,贴现因子如果在期初投资(1+i)-1，则期末时恰好累积至1，把v=(1+i)-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值贴现因子,贴现函数时刻t的1个货币单位在时刻0的价值，用a-1(t)表示,累积与贴现是一对相反的过程，期初1个单位本金的t时期期末值为a(t),而t时期期末1个单位金额的期初值则为a-1(t),实贴现率一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值,n-1,n时间段内的贴现率dn的计算公式,(2)设i为复利率，则复利各期的实贴现率为：,大小不发生变化,注意：(1)设i为单利率，则单利各期的实贴现率为,大小发生变化,单贴现函数,其中d为单贴现率,复贴现函数,其中d为复贴现率,复贴现每期的实贴现率都等于复贴现率d；单贴现模式并不对应单利的贴现模式，而是复贴现模式对应复利的贴现模式。,利率和贴现率是等价的如果相同的原始本金经过相同的计息期产生相同的终值，且有如下关系,例6：假设期初借款人从贷款人处借入10000元并约定一年到期时还10500元，即利率i=5%，如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元，问期初借款人实际可得金额是多少?,解：贴现因子,从而借款人在期初实际可得,10000(1-d)=10000v=9524(元),例7：若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元，同时，短期一年储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？,解：从贴现的角度看零息债券的贴现率d=5%储蓄的贴现率,则债券投资优于储蓄,从年利率的角度看零息债券,故,而储蓄利率i=5.25%5.26%，债券投资优于储蓄,五、名利率和名贴现率,问题的提出储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括3个月、6个月、1年、2年、3年和5年六个档期它们各自的利率相互之间如何比较？,人民币存款利率（2002年2月21日起执行）项目年利率（%）活期存款0.72,定期存款（整存整取）三个月1.71半年1.89一年1.98二年2.25三年2.52五年2.79,分析：存三个月的实利率为1.71%，而存1年的实利率为1.98%？如果真是这样的话恐怕就不会有人存1期的定期了，因为可以考虑在1年期间可以存了取、再存再取总共可以存上四个3个月定期，这样的话按照复利公式可以得到1年下来1个单位的本金的累积值为(1+1.71%)4=1.0702=1+7.02%利息收入远远超过存一个1年的定期。,这样理解肯定是有问题的。,实利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部利息与期初本金金额之比；而名利率考虑的是在一个计息期内，当支付利息的次数不止一次或不足一次时，如何计算利率？,名利率i(m)被称为m换算名利率(或挂牌利率),即在标准的利息计算时间单位内(一般为一年)依利率i(m)换算m次,每个换算期内的实利率为i(m)/m。,例8：季换算名利率i(4)=4%，表示每个季度换算一次利息且每个季度的实利率为1%。,例9：连续存4个三个月定期和存一个一年期定期，哪一个更合算？,解：设期初本金10000元，连续存4个三个月定期，则可得利息10000(1+1.71%/4)4-1000=172.10而存一个一年期定期则可得利息198.00元,在m个时期中支付一次利息的名利率的符号为i(1/m)，其中m是大于1的正整数。名利率i(1/m)是指每m个时期支付一次利息，且在m时期中支付利息是按照利率i(1/m)m进行的，即i(1/m)m为每m时期的实利率.,例10:2年期定期i(1/2)=2.25%2年的实利率为i(1/2)2=2.25%2=4.5%,实际应用中通常需要计算与名利率i(m)等价的(年)实利率i的大小,名利率与等价的实利率有如下关系:,从而,且,名利率i(1/m)与等价的(年)实利率i有如下关系,名贴现率d(p)指在标准计息期内依d(p)换算p次，每个换算期内的实际贴现率为d(p)/p。,名贴现率与等价的实贴现率有如下关系,从而,结论：相同计息期内等价的名利率与名贴现率有如下的关系（m,p可以不相同）,例11：有以下两种5年期的投资选择，A：年利率7%，每半年计息一次；B：年利率7.05%每年计息一次；比较两种选择的收益。,解：法一：比较等价的年实利率,法二：比较实际收益,六、连续利息计算,连续型利息模型，即利息的产生是连续地依赖于时间的，但利息的支付却不必是连续的考虑理想的情形，即每个瞬间都可以进行利息的换算，如何来度量利息在每一个小瞬间的变化的强度？,定义：设累积函数a(t)为t的连续可微函数，时刻t的利息力定义为,累积函数可以表示为,贴现函数可以表示为,定义：时刻t的贴现力,结论：利息力与贴现力相等。即,例11：求单利在时刻t的利息力。解：a(t)=1+it,a(t)=i从而时刻t的利息力为,例12:求复利在时刻t的利息力,解:a(t)=(1+i)t,a(t)=ln(1+i)(1+i)t从而时刻t的利息