【概率论习题答案】第3章_随机变量的数字特征

第3章 随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以X表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X的分布律并求.“They found Peking greatly changed”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为4 5 6 7 1/5 1/5 1/5 2/5 .2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求。解：个单词字母数还是，。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为4 5 6 7 4/29 5/29 6/29 14/29 .3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为， ， 。所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为。4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 得分的数学期望为 。5，（1）已知，求。（2）设随机变量的分布律为，问的数学期望是否存在？解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。（2）根据题意，按照数学期望的公式可得，因此期望存在。（利用了）（不符书上答案）6，（1）某城市一天水的消费量X（百万升计）是一个随机变量，其概率密度为，求一天的平均耗水量。（2）设某动物的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种动物的平均寿命。解：（1）一天的平均耗水量为 （百万升）。（2）这种动物的平均寿命为（年）。7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为，求X的数学期望。解：=1/4。8，设随机变量X具有概率密度如下，求。解：。9，设随机变量X具有概率密度如下，求。解：。（对第一个积分进行变量代换）10，设，求数学期望.解： 。（不符书上答案）11，设球的直径R服从区间上的均匀分布，求球体积的数学期望。解：R的概率密度函数为，所以。12，设随机变量X的概率密度为，另有X的函数，求数学期望。解：（不符书上答案）13，设随机变量相互独立，且都服从区间上的均匀分布，记，求。解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为， 。的密度函数为，。所以的数学期望为，。14，设随机变量(X,Y)具有分布律YX01203/289/283/2813/143/14021/2800求，。解：求出边缘分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，。15，在上题中，求。解：，。16，设随机变量具有概率密度求。解：，。17，某工程队完成某种工程的天数X是随机变量，具有分布律10 11 12 13 14 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1所得利润（以元计）为，求。解：根据题意，可得利润的分布律为2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1因此，（元）。18，设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为其中为常数，求。解：， ，。（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）19，设随机变量X服从几何分布，其分布律为，其中是常数。求。解：， ，所以，。本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。20，设随机变量X具有概率密度为其中为常数。（1） 若，求。（2） 问当时，是否存在？（3） 若，求。（4） 问当时，是否存在？解：（1）当时，。（2）当时，即不存在。（3），当时，所以，。（4）当时，所以不存在。21，（1）在14题中，求。（2）在16题中，求，。（3）在第二章习题第14题中，求。解：（1）根据14题中结果，得到；因为， ，所以， 。（2）根据16题结果可得：；因为 ，所以，。（3）在第2章14题中，由以下结果YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到，所以，；，,.22，设随机变量(X,Y)具有，求，。解：根据题意有 。 。23，（1）设随机变量相互独立，且有，求。（2）设相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，求。解：（1）因为相互独立，所以 。（2）根据题意，可得，。 。24，设随机变量(X,Y)具有概率密度验证X,Y不相关，但X,Y不是相互独立的。解：因为 ，所以，即，验证了X,Y不相关。又因为，；，显然，所以验证了X,