课题学习 最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,()两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,A,连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。,B,P,思考？为什么这样做就能得到最短距离呢？学.科.网.zxxk.,根据：两点之间线段最短.,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,应用,A,B,燃气管道L,引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,()两点在一条直线同侧,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,()两点在一条直线同侧,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？,()两点在一条直线同侧,问这是一个实际问题，如何转化？,将A，B两地抽象为两点，将河抽象为一条直线l,现在问题转化为：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；,()两点在一条直线同侧,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）,()两点在一条直线同侧,追问1对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B处接成线段，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？,问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,()两点在一条直线同侧,追问2能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？,问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,()两点在一条直线同侧,作法：（1）作点B关于直线l的对称点B（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,问题1如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？,()两点在一条直线同侧,问3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,()两点在一条直线同侧,证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,由三边关系：ABAC+BC,AC+BCAC+BCAC+BCAC+BC,AC+BC最短,()两点在一条直线同侧,B/,点P的位置即为所求.,连接AB,交直线l于点P.,()两点在一条直线同侧,已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.,为什么这样做就能得到最短距离呢？,MA+MBPA+PB,即MA+MBPA+PB,归纳：作法？,作法：作点B关于直线l的对称点B,1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,练习,1、只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点,练习,2.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法：作点B关于直线a的对称点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。,C,D,A,B,a,练习,3.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,B,练习,作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到C；,A,B,M,C,N,2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。,河宽,练习,证明：由平移的性质，得BNCM且BN=CM,MN=BC,所以A.B两地的距离AM+MN+BN=AM+MN+CM=AC+MN,若桥的位置建在ED处，连接AE.ED.DB.CE,则AB两地的距离为：AE+ED+DB=AE+ED+EC=AE+EC+MN,在ACE中，AE+ECAC,AE+EC+MNAC+MN,即AE+ED+DBAM+MN+BN所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。,A,B,M,N,C,E,D,4.如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：1.作点C关于直线OA的对称点点F,2.作点D关于直线OB的对称点点E,3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，则CG+GH+DH最短,F,A,O,B,D,C,E,G,H,草地,河流,练习,A/,B/,P,Q,练习,证明：在直线OA上另外任取一点G，连接点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上，GF=GC,FM=CM,同理HD=HE，ND=NE,CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,CG+GH+HD=FG+GH+HE,在四边形EFGH中，FG+GH+HEFE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HDCM+MN+ND即CM+MN+ND最短,练习,()一点在两相交直线内部,1、已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,作法：1.分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；2.连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C.则点B、点C即为所求,A,A,B,C,2.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短,A,O,