反馈控制系统的分析

第三章反馈控制系统的分析,3.1系统的数学模型3.2系统的时域分析3.3系统的根轨迹分析3.4系统的频域分析3.5系统的性质分析3.6离散系统的分析,3.1反馈控制系统的数学模型,控制系统的分析是系统设计的重要步骤之一在设计控制器前要分析系统的不可变部分，确定原系统在哪些方面的性能指标不满足设计要求，有针对性的设计控制器；控制器设计完成后要验证整个闭环系统的性能指标是否满足设计要求。在控制系统基本理论和控制系统工具箱函数的基础上，利用MATLAB语言及其工具箱来解决控制系统的分析问题，包括系统模型的建立、模型的转换以及线性系统的时域分析、频域分析、根轨迹分析和系统的稳定性分析，为系统的仿真和设计做准备,为了对系统的性能进行分析首先要建立其数学模型，在MATLAB中提供了3种数学模型形描述的式：（1）传递函数模型tf(）（2）零极点形式的数学模型zpk()（3）状态空间模型ss()本节首先介绍利用MATLAB提供的3个函数来建立系统的数学模型，然后在此基础上介绍各种数学模型之间的相互转换。,3.1.1系统的数学模型,格式：systf（num，den）功能：建立系统的传递函数模型说明：假设系统是单输入单输出系统（简称SISO），其输入输出分别用u（t），y（t）来表示，则得到线性系统的传递函数模型：,在MATLAB语言中，可以利用传递函数分子、分母多项式的系数向量进行描述。分子num、分母den多项式的系数向量分别为:,这里分子、分母多项式系数按s的降幂排列。,1tf传递函数模型,2zpk零极点形式的数学模型模型,格式：syszpk(z,p,k)功能：建立零极点形式的数学模型说明：系统的传递函数还可以表示成零极点形式，零极点模型一般表示为：,其中Zi（i1,2,m）和Pi（i1,2,n）分别为系统的零点和极点，K为系统的增益。z、p、k分别为系统的零极点和增益向量。,3SS状态空间模型,格式：sysss（A,B,C,D），sysss（A,B,C,D,T）功能：建立系统的状态空间模型说明：状态方程是研究系统的最为有效的系统数学描述，在引进相应的状态变量后，可将一组一阶微分方程表示成状态方程的形式。,X为n维状态向量，U为m维输入矩阵；Y为维输出向量；A为nn的系统状态阵，由系统参数决定，B为nm维系统输入阵；C为n维输出阵；D为m维直接传输阵。,3.1.2系统的组合和连接,所谓系统组合，就是将两个或多个子系统按一定方式加以连接形成新的系统。这种连接组合方式主要有串联、并联、反馈等形式。MATLAB提供了进行这类组合连接的相关函数。,1.series系统的串联格式1：sysseries（sys1,sys2），格式2：sysseries（sys1,sys2,outputs1,inputs2）功能：用于将两个线性模型串联形成新的系统即syssys1*sys2,说明：格式1：对应于SISO系统的串联连接。格式2：对应于MIMO系统的串联连接；其中sys1的输出向量为outputs1sys2的输入向量为inputs2,2parallel格式1：sys=parallel(sys1,sys2)格式2：sys=parallel(sys1,sys2,in1,in2,out1,out2)功能：将两个系统以并联方式连接成新的系统，即sys=sys1+sys2。,说明：并联连接时，输入信号相同，并联后其输出为sys1和sys2这两个系统的输出之和。若用传递函数来描述，系统输出：Y(S)=Y1(S)+Y2(S)=G1(S)U(S)+G2(S)U(S)=G1(S)+G2(S)U(S)所以总的传递函数为G(s)=G1(s)+G2(s)。格式1：对应于SISO系统的并联连接。其并联后其输出为sys1和sys2这两个系统的输出之和。格式2：对应于MIMO系统的并联连接。in1与in2指定了相连接的输入端，out1和out2指定了进行信号相加的输出端。,例3.3a已知两个线性系统，分别应用series和parallel函数进行系统的串并联连接。,3feedback系统的反馈连接。格式1：sys=feedback(sys1,sys2,sign)格式2：sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,sign)功能：实现两个系统的反馈连接。说明：格式1：对于SISO系统，sys1表示前向通道传函，sys2表示反馈通道,sign=1,正反馈.sign=-1,负反馈(默认值,可省略)格式2：在已确立的MIMO系统sys1中,由sys2做为反馈构成输出反馈系统。其中feedin和feedout分别指定了sys1的输入、输出端口号。最终实现的反馈系统与sys1具有相同的输入、输出端。sign含义同格式1,3.1.3模型的转换,在进行系统分析时，往往根据不同的要求选择不同形式的数学模型，因此经常要在不同形式数学模型之间相互转换，下面介绍三种模型之间的相互转换函数。,1ss2tf将状态空间形式转换为传递函数形式格式：num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)说明：ss2tf函数可以将状态空间表示通过,转换为传递函数形式，其中，iu用于指定变换所使用的输入量，num和den分别为传递函数的分子、分母多项式系数向量。ss2tf还可以应用离散时间系统，这时得到的是Z变换表示。,2.ss2zp将系统的状态空间模型转换为零极点增益模型格式：z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)3.tf2ss将系统的传递函数模型转换为状态空间模型。格式：A,B,C,D=tf2ss（num，den）,例3-6：已知系统的传递函数为应用MATLAB的模型转换函数将其转换为状态方程形式的模型。,4.tf2zp将系统的传递函数模型转换为零极点增益模型格式：z,p,k=tf2zp(num,den),5.zp2ss将系统的零极点增益模型转换为状态空间模型。格式：A,B,C,D=zp2ss(z,p,k)6.zp2tf将系统零极点增益模型转换为传递函数模型。格式：num,den=zp2tf(z,p,k),3.2线性系统的时域分析,系统的时域分析是指输入信号采用单位阶跃或单位冲激函数，其响应是时间t的函数，称为时域响应。从时域响应可以获得系统的各个方面的性能。,1impulse求连续系统的单位冲激响应。格式1：impulse(sys)Y,X,T=impulse(sys)格式2：impulse(sys,t)Y,X=impulse(sys,t)格式3：impulse(sys,iu)Y,X,T=impulse(sys,iu)格式4：impulse(sys,iu,t)Y,X=impulse(sys,iu,t)说明：sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。对于不带返回参数的该函数在当前窗口中绘制出响应曲线。对于带有返回参数的将不绘制曲线,其中Y是输出向量X是状态向量，T是时间向量。t为用户设定的时间向量。对于MIMO系统,iu表示第iu个输入到所有输出的冲激响应曲线,2step求连续系统的单位阶跃响应。格式1：step(sys)Y,X,T=step(sys)格式2：step(sys,t)Y,X=step(sys,t)格式3：step(sys,iu)Y,X,T=step(sys,iu)格式4：step(sys,iu,t)Y,X=step(sys,iu,t)说明：step()中的参数意义和implse()函数相同。如果用户在调用step()函数时不返回任何向量，则将自动地绘出阶跃响应输出曲线。,例3-10：求下面的阶零极点模型的单位阶跃响应曲线。,解：1、假设将自然频率固定为1，0,0.1,1,2,3,5。,例3-11：典型二阶系统传递函数为：试分析不同参数下的系统单位阶跃响应,2、将阻尼比的值固定在0.55，自然频率变化范围为0.1-1,3.initial求连续系统的零输入响应。格式1：initial(sys,x0)Y,X,T=initial(sys,x0)格式2：initial(sys,x0,t)Y,X,T=initial(sys,x0,t)说明：initial函数可计算出连续时间线性系统由于初始状态所引起的响应（故而称为零输入响应）。,4lsim求任意输入信号时系统的响应格式1：lsim(sys1,u,t)Y,X=lsim(sys1,u,t)格式2：lsim(sys2,u,t,x0)Y,X=lsim(sys2,u,t,x0)说明：u为输入信号.t为等间隔时间向量.sys1为tf()或zpk()模型。sys2为ss()模型。其中x0为初始条件,33线性系统的根轨迹,1pzmap绘制系统的零极点图。格式1：pzmap(A,B,C,D)p,z=pzmap(A,B,C,D)格式2：pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den)格式3：pzmap(p,z)说明：极点用“”表示，零点用“o”表示。对于不带返回参数的将绘制零极点图。对于带有返回参数的将不作图,其中返回参数P为极点的列向量，z为零点的列向量。格式3是将已知的零点z极点p绘制在复平面上。,根轨迹是指当系统开环的某一个（或几个）参数(一般取系统的开环放大倍数K)从0到时,闭环特征方程的根在复平面上轨迹。利用根轨迹可以分析系统的暂态和稳态性能。,MATLAB专门提供了绘制根轨迹的函数：rlocus()绘制根轨迹,rlocfind()计算根轨迹的增益,pzmap()绘制零极点图,例3.13有连续系统要求绘制出零极点图。,2rlocus求系统根轨迹。格式1：rlocus(num,den)rlocus(num,den,k)R,K=rlocus(num,den)R,K=rlocus(num,den，k)格式2：rlocus(A,B,C,D)rlocus(A,B,C,D,k)R,K=rlocus(A,B,C,D)R,K=rlocus(A,B,C,D,k)说明：k为用户设定的值绘制根轨迹，若省略机器自动生成。对于不带返回参数的将绘制根轨迹。对于带有返回参数的将不作图,其中返回参数R对应K增益的闭极点的位置。开环增益K对应的闭环特征方程为：1+kG(S)H(S)=1+knum/den=0,3rlocfind计算根轨迹上给定一组极点所对应的增益。格式1：K,poles=rlocfind(A,B,C,D)K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P)格式2：K,poles=rlocfind(num,den)K,poles=rlocfind(num,den,P)说明：由rlocfind()绘制的根轨迹图形窗口中将显示十字光标，当用户选择其中一点时，该极点所对应的增益由K记录，与增益有关的所有极点记录在poles中。也可通过指定极点p得到增益的向量。向量K的第m项是根据极点位置P（m）计算的增益，矩阵poles的第m列是相应的闭环极点。,例3-14：绘制系统的根轨迹图,3.4频域响应,频域分析法是利用系统开环的奈氏图、波特图、尼氏图分析系统的性能，如系统的稳态性能、动态性能、稳定性。系统稳定的充要条件：如果开环系统有P个极点在右半平面相应于频率从-+变化时，开环频率特性G(j)H(j)曲线逆时针方向环绕（1，j0）点的次数N等于右半根平面内的开环系统的极点数P，那么闭环系统就是稳定的，否则是不稳定的。,1nyquist求连续系统的Nyquist曲线格式1：nyquist(sys)re,im,w=nyquist(sys)格式2：nyquist(sys,w)re,im,w=nyquist(sys,w)格式3：nyquist(sys,iu,w)re,im,w=nyquist(sys,iuw)说明：sys为tf(),zpk(),ss()中任一种模型。w设定频率范围省略时由机器自动产生。对于不带返回参数的将绘制Nyquist曲线。对于带有返回参数的将不绘制曲线,返回参数reim为开环G(jw)在各频率点的实部和虚部即：re=Re(G(jw),im=Im(G(jw).,对于MIMO系统，iu表示用第iu个输入变量来绘制系统的Nyquist曲线。返回参数为第i个输出变量针对第j个输入变量的频率响应实部和虚部即re(i,j,:)和im(i,j,:)。,Nyquist图逆时针包围（1，j0）点2次，而原开环系统中没有不稳定极点，从而可以得出结论，闭环系统有2个不稳定极点。,由运行结果可知，系统有三个根，其中有两个根位于右半s平面，由此可见该系统是不稳定的。,2nichols求连续系统的Nichols（尼克尔斯）频率响应曲线。格式1：nichols(sys)re,im,w=nichols(sys)格式2：nichols(sys,w)re,im,w=nichols(sys,w)格式3：nichols(sys,iu,w)re,im,w=nichols(sys,iuw)说明：nicholsh函数的输入变量定义与nyquist相同,3bode求连续系统的Bode（伯德）频率响应。格式1：bode(sys)mag,phase,w=bode(sys)格式2：bode(sys,w)mag,phase,w=bode(sys,w)格式3：bode(sys,iu,w)mag,phase,w=bode(sys,iuw)说明：bode函数的输入变量定义与nyquist相同Bode图可用于分析系统的增益裕度、相位裕度、增益、带宽以及稳定性等特性。mag和phase分别是幅值和相位数组。iu表示从系统第iu个输入到所有输出的Bode图,解：1、为固定值，变化时,当阻尼比比较小时，则系统的频域响应在自然频率附近将表现出比较强的振荡，该现象称为谐振。,2、为固定值，变化时,当自然频率的值增加时，伯德图的带宽将增加，该现象使得系统的时域响应速度变快。,4margin求取给定线性定常系统的幅值裕量和相角的裕量。格式1：margin（sys）格式2：margin（mag,phase,w）格式3：Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin（sys）Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin（mag,phase,w）说明：margin函数可从频率响应数据中计算出幅值裕度(不是db)、相角裕度和剪切频率。格式1画出bode图，并标注幅值裕度和对应频率，相角裕度和对应频率。格式2由给定的幅值mag、相位phase及频率w画出bode图格式3：不画图，返回幅值裕度Gm和对应频率Wcg,相角裕度Pm和对应频率Wcp。,例3-18系统的数学模型为：求出系统的幅值裕度与相角裕度。,3.5线性系统的性质分析,3.5.1线性系统稳定性分析1.直接判定方法首先求出系统的所有极点，当其实部大于零，则系统为不稳定系统，否则称为稳定系统。若极点的实部等于0的，则系统称为临界稳定系统。对于传递函数模型tf（num，den）,利用求根函数roots（den）来求极点。对于状态方程模型SS（A,B,C,D）利用求特征值函数eig（A）来求特征值。这样根据极点或特征值直接判定系统的稳定性了。,1)routh构造系统的Routh表格式:rtab,msg=routh(den)说明：其中den是系统的分母多项式向量，rtab是构造的Routh表矩阵，msg变量为字符串型变量，返回有关信息。系统不稳定极点的数目等于所产生的Routh表中第一列元素的符号变化次数。Routh（）函数,2间接判定方法直接求取高阶代数方程的根是一件很困难的工作，所以出现了一些判定给定系统稳定性的间接方法，本节介绍其中两种方法，即Routh-Hurwitz判定方法和Lyapunov判定方法，它们分别适用于传递函数模型和状态空间模型。,例3-20：同例3.19，应用的Routh表判断系统的稳定性。,从运行结果可知Routh表第一列没有符号的变化，所以系统是稳定的。,2）hurwitz构造Hurwitz矩阵。格式:Hhurwitz（den）说明：H为构造的Hurwitz矩阵，den为系统的分母多项式D(S)，D(S)=a0Sn+a1Sn-1+a2Sn-2+an-1S1+an,H矩阵,hurwitz()函数,3)posdef判定矩阵的正定性格式：key,sdet=posdef(A)说明：其中key返回矩阵A正定性的标记，若key1则表示该矩阵A为正定矩阵，否则矩阵A为非正定矩阵。sdet返回各个左上角子矩阵的行列式值。posdef（）函数,例3-21：考虑例3.19中的系统模型使用Hurwitz判据判定系统的稳定性。,由运行结果可知Hurwitz阵是正定的，因此系统稳定。,4)Lyap解Lyapunov方程格式：Xlyap（A,B,C）Xlyap（A,w）说明：lyap(A,B,C)求解矩阵方程AX+XB=C的解X；lyap(A,C)求解矩阵方程AX+XA=-C的解X。,解：选定一个正定的对角矩阵w=diag（1,2,3,4）,Lyapunov方程的解V不是正定矩阵，因为其左上角子矩阵的行列式值都为负，故而由Lyapunov判据可知，系统不稳定。,3.5.2线性系统的能控性和能观性,1能控性n阶系统的完全能控性只取决于状态方程中的（A,B）矩阵，系统完全能控的充要条件是能控矩阵Tc满秩即：rank(Tc)=n,Tc=B，AB，An-1B能控矩阵Tc由ctrb（）函数自动产生出来，其调用格式为：Tcctrb（A，B）2能观性n阶系统的可观测性只取决于状态方程的（A,C）矩阵，系统完全能观的充要条件是能观控矩阵To满秩即：rank(To)=n,To=CCACA2CA3CAn-1T能观阵To由obsv（）函数直接得出，该函数的调用格式为：Toobsv(A,C),3.6离散系统的分析,1连续系统的离散化格式：Ad,Bd=c2d(A,B,ts)Ad,Bd,Cd,Dd=c2dm(A,B,ts,method)，numz,denz=c2dm(num,den,ts,method),说明：1)c2d命令使用离散化的零阶保持器方法，它只有状态空间形式2)c2dm既有状态空间形式，又有传递函数形式；3)参数ts是采样周期T；4)method指定转换方式，其中“zoh”表示采用零阶保持器；“foh”表示采用三角形近似；“tustin”表示采用双线性变换；“prewarp”表示采用指定转折频率的双线性变换;系统默认为零阶保持器法。,例3.25：已知系统的被控对象传递函数为：采样周期T0.1秒,试将其进行离散化处理。,2离散系统单位阶跃响应格式：y,x=dstep(A,B,C,D,ui,n)y,x=dstep(num,den,n)功能：对离散系统进行阶单位跃响应分析，给出一组阶跃响应的数据，并绘制其响应曲线。说明：1)若无左边的输出参数，则自动地绘制出响应曲线；2)参数ui和n为可选项，对于多输入系统是用于指定哪个输入通道，n是指采样数；3)和连续系统中step命令有关的所有命令都可以在离散系统中应用；4其它时间响应命令是dimpulse、dinitial、dlsim。,例3-26：同例3-25，求取G（s）和G（z）的阶跃响应，并绘制G（z）的脉冲响应曲线。,staris()函数是绘制离散系统的时域响应曲线，其调用格式为：staris(y)xs,ys=staris(y)s