现代设计理论与方法-有限元法

第5章有限元法,主要内容：了解有限元的计算原理；了解有限元计算的一般方法；了解有限元单元特性。,5.1概述,有限元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域-飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。,有限元是一门以结构力学和弹性力学为理论基础，以计算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工程的数值计算方法。,5.1概述,有限元的核心思想是结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析。,有限元法的分析过程：,1.物体离散化2.单元特性分析3.整体分析4.添加约束条件5.有限元方程求解6.结果分析与讨论,5.1概述,1.物体离散化：将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元划分。离散后单元与单元之间利用节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。,5.1概述,1.物体离散化：,5.1概述,单元类型：二维：三角形、四边形三维：四面体、五面体、六面体基本要求：几何逼近单元合法密度合理,2.单元特性分析根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。,5.1概述,2.单元特性分析,5.1概述,选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。,计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。,2.单元特性分析,5.1概述,利用节点变形协调条件和结构力的平衡条件各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。,3.整体分析,5.1概述,4.添加约束条件,上面形成的整体有限元方程，在求解时需要已知约束以及边界条件，所以准确地添加约束和边界条件是求解的关键之一。,求解各节点的位移、应力、应变等。,5.有限元方程求解,5.1概述,6.结果分析与讨论,上面形成的整体有限元方程，在求解时需要已知约束以及边界条件，所以准确地添加约束和边界条件是求解的关键之一。,5.1概述,国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系统是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。,5.1概述,目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、COSMOS、ELAS和STARDYNE等。,5.1概述,MSC-NASTRAN:在航空航天领域有着很高的地位，目前世界上规模最大的有限元分析系统。ANSYS:致力于耦合场的分析计算，能够进行结构、流体、热、电磁四种场的计算。ADINA:由于其在非线性求解、流固耦合分析等方面的强大功能，迅速成为有限元分析软件的后起之秀，现已成为非线性分析计算的首选软件。,从单纯结构力学计算发展到求解许多物理场问题有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到梁、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。,5.1概述,由求解线性工程问题进展到分析非线性问题线性理论已经远远不能满足设计的要求。非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。,5.1概述,增强可视化的前置建模和后置数据处理功能随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。,5.1概述,目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。,5.1概述,5.1概述,5.1概述,5.1概述,与CAD软件的无缝集成当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用，即：在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统都开发了和CAD软件（例如Pro/ENGINEER、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS和AutoCAD等）的接口。,1.单元划分原则1）分清研究对象的性质；2）单元的几何形状与结构特点和受载有关；3）单元网格的大小与精度和计算能力有关；4）网格疏密布局与载荷情况相协调；5）相邻单元边界相容；6）对单元和节点进行顺序编号；7）整体与设计对象一致。,5.2.1单元的划分,5.2单元特性的推导方法,1.单元的分类1）根据形状不同：杆单元、平面单元、多面体单元、壳单元等。2）根据单元的维数不同：一维单元、二维单元、三维单元等,5.2.1单元的划分,5.2.2单元特性的推导方法,建立刚度矩阵的方法：直接刚度法、虚功原理法、能量变分法、加权残数法。,5.2.2单元特性的推导方法,1.直接刚度法分析对象:桁架,刚架和受剪杆板式结构.研究的基础:杆,梁以及受剪板一般情况，研究对象可能并不是由杆、梁板直接组成，但是在离散化之后，可以将其分解为这些基本单元。对于结构的分析，是以位移为基本未知量进行的，位移包括线位移和角位移，而这种研究的方法称为直接刚度法。单元分析的实质是建立节点力和节点位移之间的关系，然后得到单元刚度矩阵，以便进行计算机分析或者计算。,5.2.2单元特性的推导方法,1.直接刚度法,单元节点位移矩阵：,单元节点力矩阵：,5.2.2单元特性的推导方法,1.直接刚度法,或：,单元有限元方程（单元刚度方程）,单元刚度矩阵,5.2.2单元特性的推导方法,1.直接刚度法,5.2.2单元特性的推导方法,1.直接刚度法,单元刚度矩阵,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,变形体在外力作用下处于平衡状态时，若使它产生任意的、微小的、可能的虚位移，则力状态的外力沿位移状态的相应位移所作的虚功，恒等于力状态的内力沿位移状态的相应变形所作的内力虚功。,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,单元节点位移矩阵：,单元节点力矩阵：,位移函数：（用多项式逼近的线性多项式）,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移函数：（用多项式逼近的线性多项式）,位移列阵：,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移列阵：,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移列阵：,式中：,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移列阵：,单元形函数矩阵：N,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移列阵：,单元形函数矩阵：N,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,位移列阵：,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,单元应变方程：,单元应变矩阵：B单元内任意点的应变分量可以用节点位移分量表示。,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,单元应力方程：,弹性矩阵：D,单元内任意点的应变分量可以用节点位移分量表示。,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,单元刚度矩阵：,单元有限元方程：,5.2.2单元特性的推导方法,2.虚功原理法,单元刚度矩阵：,5.2.2单元特性的推导方法,3.能量变分原理法,变分原理：把一个物理学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题（或其他学科的问题）的变分原理。,泛函：就是以函数为自变量的一类函数，通俗的讲，泛函就是函数的函数。,从能量的考虑，变形体的真正变形是是总位能（由于物体在地球重力场中处于一定的位置而具有的能量）最小时的变形状态，这就是最小位能原理。,5.2.2单元特性的推导方法,4.加权残数（余量）法,加权残数（余量）法是求解微分方程的一种数学方法，近来广泛地采用这种方法去求解各种工程问题中所涉及的一系列控制方程(微分方程或微分方程组)。,5.2.2单元特性的推导方法,4.加权残数（余量）法,求解时应选取一个试函数作为控制方程的近似解，在其中既包含已确定的试函数项，也包括一些待定的系数或待定函数。因为是近似解，因此将u代入控制方程以及相应的边界条件时,一般情况下均不能满足而分别出现控制方程的“参数”Rl和边界条件的“参数”Rb。,5.2.2单元特性的推导方法,4.加权残数（余量）法,要使上述余量在一定的含意下为零，常选用适当的函数Wi与Bi分别对R1和Rb加权并使加权后的函数的积分为零，这样的处理便使余量R在加权与积分的意义下为零。解题过程中，利用这些表达式即可确定包含于试面数的所有未知系数，从而求出控制方程的近似解。积分号中的Wi，与Bi称为权函数，解题中由于采用不同的加权函数，因而形成了不同的“加权残数（余量）法”。,5.3有限元法的工程应用,总体刚度矩阵由单元刚度矩阵叠加而成。,5.3有限元法的工程应用,图3(a)所示为一个平面薄梁，载荷沿粱的上边均匀分布，单位长度上的均布载荷q=100N/cm。假定材料的弹性模量为E，泊松比=0，梁厚为t=0.1cm。在不计自重的情况下，试用有限元法计算该梁的位移和应力。,5.3有限元法的工程应用,1）力学模型的确定,2）结构离散化,5.3有限元法的工程应用