离散型随机变量的均值与方差的应用

离散型随机变量的均值与方差的应用,王琦,1.加深对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算2.会利用均值与方差的定义及性质解题3.会直接利用公式求二点分布、二项分布的均值和方差,学习目标,一、离散型随机变量的均值和方差的概念,知识点梳理,若离散型随机变量X的分布列为,(1)均值称E(X)=_为随机变量X的均值或_.它反映了离散型随机变量取值的_.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,数学期望,平均水平,平均偏离程度,其中_为随机变量X的标准差.,(2)方差称D(X)=_为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_,注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,记作：,二、离散型随机变量的性质：,(1)E(aX+b)=_.(2)D(aX+b)=_.(a,b为常数),aE(X)+b,a2D(X),(1)若X服从两点分布,则E(X)=_,D(X)=_.(2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,2.两点分布与二项分布的均值与方差,1.线性性质：,2.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=_.,117,3.设随机变量则()A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,A,小试牛刀,题型一、均值与方差的求法,例1：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望和方差;,解析(1)X的分布列为：,(2)由(1)，X的均值为E(X)=1X的方差为D(X)=,练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数的均值与方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差.,解析：(1)投篮一次，命中次数的分布列为：,题型一、均值与方差的求法,故E=p=0.6,D=np=0.60.4=0.24.,练习：某运动员投篮的命中率为p=0.6.(1)求一次投篮时命中次数的均值;方差;(2)求重复5次投篮时,命中次数的均值与方差.,题型一、均值与方差的求法,故E=np=50.6=3.D=np(1-p)=50.60.4=1.2.,例2:设随机变量具有分布列P(=k)=k=1,2,3,4,5,求E(2+5),D(2-1),解析：,题型二、均值与方差性质的应用,E(2+5)=2E()+5=11.,是随机变量,则=a+b仍是随机变量,在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.,点评：,D(2-1)=4D()=8,练习：设随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，且E(X)3，p，则n_，D(X)_.,题型二、均值与方差性质的应用,21,例3：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,题型三、均值与方差的实际应用,解：,在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。,练习：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1，X2分布列如下：,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,题型三、均值与方差的实际应用,问题：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛好？,这表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲射手发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙射手得分相对比较分散。,解：,答：派甲射手去参加比赛较好。,1.求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：,找出随机变量X的可能取值；写出随机变量X的分布列；,(2)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)；特别地，若随机变量满足线性性质或服从两点分布、二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X),小结,2.均值与方差在实际生产、生活中的作用：,它反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中于离散程度。在实际应用中先运算均值，看一下谁的平均水平高，如果均值相同，则计算方差来分析最后的选取由实际情况而定。,谢谢光临,思考题：,规律方法求离散型随机变量X的均值、方差的方法与步骤：(1)理解X的意义，写出X的可能取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X),题型三、期望与方差的实际应用,从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强,题型三均值与方差的实际应用【例3】(12分）(2008广东理,17)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为.(1)求的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)；(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？,思维启迪确定随机变量写出随机变量的分布列计算数学期望列不等式求解.解(1)的所有可能取值有6,2,1,-2.故的分布列为(2)E()=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(万元).,(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E()=60.7+2(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)0.01=4.76-x(0x0.29),依题意,知E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03.所以三等品率最多为3%.解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的概率,本题第(3)问充分利用了分布列的性质p1+p2+pi+=1.,探究提高,1.期望与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给解题带来方便:(1)E(a+b)=aE()+b;E(+)=E()+E();D(a+b)=a2D();(2)若B(n,p),则E()=np,D()=np(1-p).,方法与技巧,思想方法感悟提高,2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的期望、方差,求的线性函数=a+b的期望、方差和标准差，可直接用的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.,1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差.,失误与防范,问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？,问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？,练习：(2008湖北理，17)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标号.(1)求的分布列、期望和方差；(2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值.解：(1)的分布列为,题型二、均值与方差性质的应用,(2)由D()=a2D(),得a22.75=11,即a=2.又E()=aE()+b,所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.,小试牛刀,1.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于()A.B.C.D.解析由分布列的性质,可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x=40 x=,C,5.已知某一随机变量的概率分布列如下,且=6.3,则a的值为()A.5B.6C.7D.8解析由分布列性质知：0.5+0.1+b=1,b=0.4.=40.5+a0.1+90.4=6.3.a=7.,C,3.设随机变量的分布列如表所示且E()=1.6,则a-b等于()A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4解析由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8又由E()=00.1+1a+2b+30.1=1.6,得a+2b=1.3由,解得a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2.,C,4.已知随机变量+=8,若B(10,0.6),则E(),D()分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6解析若两个随机变量,满足一次关系式=a+b(a,b为常数),当已知E()、D()时,则有E()=aE()+b,D()=a2D().由已知随机变量+=8,所以有=8-.因此,求得E()=8-E()=8-100.6=2,D()=(-1)2D()=100.60.4=2.4.,B,答案A,1.通过本节课进一步强化对离散型随机变量的均值与方差的理解和运算2.会利用均值与方差的定义及性质解题3.会直接利用公式求二点分布、二项