博弈论-期末考试

14.12 博弈论-期末考试 14.12 博弈论-期末考试 提示提示：这是开卷考试；你可以使用任何书面资料。考试时间为 2 小时 50 分钟。每题 20 分。 祝你好运！ 1. 考虑下面的扩展式博弈。 (a) 找出该博弈的标准式表示式。 答案答案： (b) 找出所有理性化的纯策略。 (c) 找出所有纯策略纳什均衡。 (d) 哪些策略与下面所有假定一致？ （i）1 是理性的。 (ii) 2 是连续理性的。 (iii) 在她行动的节点，2 知道（i） 。 (iv) 1 知道(ii)和(iii)。 答案答案：由（i）可知 1 不会选择 IR。于是，由（iii）可知，在她行动的节点，2 知道 1 不会选择 IR，这样他知道 IL。然后，由（ii）可知，2 必须选择 L。因此，由（i） 和（iv）可知，1 必须选择 IL。答案是（IL,L） 。 2. 该问题涉及一个送奶人和一个消费者。在任何一天，都以下列顺序进行， 送奶人在一个容器中加入 m0,1升牛奶和 1-m 升水，并把容器盖上，产生成本 cm，其中 c0； 消费者在不知道 m 的情况下决定是否以价格 p 购买该液体。如果她购买，那么她的 收益为 vm-p,送奶人的收益为 p-cm。如果她不购买，那么她的收益为 0，送奶人的 收益为-cm。如果她购买，她就知道 m。 (a）假定该博弈重复 100 天，每个参与者都试图使自己的阶段收益之和最大化。找出该 博弈的所有完美子博弈均衡。 答案答案：阶段博弈只有唯一一个纳什均衡，即 m0 而消费者不购买。因此，这个有限次 重复博弈有唯一一个完美子博弈均衡，即重复阶段均衡。 (b) 假定该博弈重复无限多次， 每个参与者都试图使其阶段收益的贴现和最大化， 其中 贴现率（0，1） 。找出价格 p 的范围，从而存在一个完美子博弈均衡，使得每 天在均衡选择路径上送奶人会选择 m=1 而消费者会购买。 答案答案：通过总是选择 m0，送奶人可以确保他得到 0。于是，送奶人在任何博弈历 史上的连续价值至少为 0。于是，在最坏的均衡中，如果他背离，消费者永远不会 购买牛奶，从而使送奶人刚好得到其连续价值 0。因此，我们寻求的完美子博弈均 衡就是：送奶人总是选择 m1 而消费者购买牛奶直到有人背离，其后送奶人选择 m0 而消费者不购买。如果送奶人不背离，那么他的连续价值就是 。 他的最佳背离（在均衡选择路径上的任何博弈历史）是选择 m0（其后就再无人 购买） 。这种情况下，他将得到 。 要使它成为一个均衡，我们必须使VVd；即， 即， 。 为了使消费者在均衡路径上购买，我们也必须使 pv。因此， 。 3. 对问题 2.(a)中的博弈，假定有 0.001 的概率，送奶人会强烈相信存在某种知道他所 作所为并将在第 101 天对他每次稀释牛奶（选择 m1的行为作出严厉惩罚的实体。 我们称该类型为非理性的。假定这是公共信息。如果 vpc,找出该博弈的一个完美 贝叶斯均衡。如果你觉得这样更简单，你可以认为不同日期的顾客是不同的，但必须 假定每个顾客知道他之前的顾客所知道的一切信息。 答案答案：要严密解答这个问题是非常困难的，所以，只要你的非正规答案表明你能够从 不完全信息角度理解声誉，你就可获得大部分有些偏向的分数。 要严密解答这个问题是非常困难的，所以，只要你的非正规答案表明你能够从 不完全信息角度理解声誉，你就可获得大部分有些偏向的分数。 非理性类型总是选 择 m1。由于不管送奶人何时选择 m1 而消费者购买了，消费者都会发现，所以理性 类型要么选择 m1 要么选择 m0。我们寻求的均衡是：在博弈关系的早期，理性送奶 人总是选择 m1 而消费者一直购买，但在关系接近结束时，送奶人将在 m1 和 m0 之间混合，而消费者则在购买和不购买之间混合。 在这种均衡中，如果在任何时期t送奶人选择m1 或者消费者选择不购买，那么理 性送奶人将选择在每个日期st选择m0。在这种情况下，如果消费者还在 t+1,t+2,s-1这段时期中某个日期购买了， 而且如果送奶人在这段时期中每天都选 择m1，那么消费者会以 1 的概率认为送奶人是非理性的，并且在日期s购买牛奶；否 则，他不会购买。在这种选择的路径上，如果在任何日期t送奶人选择m1 或者消费者 不购买，那么理性送奶人会选择m0，而消费者在每个日期st都不购买。要使这成为 一个均衡，在这种博弈历史上送奶人是非理性的概率t必须满足 其中，第一项是试验的预期收益（如果送奶人碰巧是非理性的） ，第二项是成本（如果 他是理性的） 。那就是 现在，我们要确定在送奶人总是选择 m1 而消费者一直购买时情况会怎样。在最 后一天，理性的送奶人会选择 m0，非理性的送奶人会选择 m1；于是，消费者购买 的充分必要条件是： 即， 由于我们希望他选择混合策略，我们令 利用贝叶斯法则和消费者选择混合所必须的无所谓条件，我们可推出前些日期的t。 将理性送奶人在日期t选择m1 的概率记为t ，而at t+（1-t）t表示在日期t 选择m1 的总概率。由于消费者在日期t+1 对购买和不购买无所谓，所以他在t+1 的预 期收益为 0。于是，他在日期t购买牛奶的预期收益为 要保证消费者无所谓，这必须等于 0，于是 另一方面，由贝叶斯法则可知， 因此， 即是说， 注意 假设。于是，我们便得到一个日期t 满足 在每个日期tt,我们有，且所有参与者会选择混合并使。 在每个日期tt，送奶人将选择m1 而消费者将购买。在日期t，理性送奶人将选择 混合并使 于是 注意，因此在日期t消费者肯定会购买。 将消费者在日期t购买的概率记为t。在第 99 天，如果理性消费者选择m1，那 么他将获得 其中，第一项是第 99 天的销售利润，第二项是第 100 天（他将选择m0）的利润，最 后一项是消费者在第 99 天不购买时的损失。如果他选择m0，他将得到99p（来源于 第 99 天的销售，之后他将得到 0） 。因此，他将选择m1 的充分必要条件是 即， 由于我们正寻找一个无所谓状态，所以我们要求 同样，在第 98 天理性送奶人将选择 m1 的充分必要条件是 其中，第二项是由于在第 99 天他在选择 m0 和 m1 之间无所谓。要保证无所谓，我 们要求 只要我们要求送奶人选择混合，我们会继续这样做。即是说，我们有： 正如我们之前提及的那样，。于是，。于是，。 即是说， 附加题附加题：10 分如果人们知道，非理性类型偶然稀释牛奶具有较小但正的概率，讨论 这种情况下会发生什么。 4. 找出下面博弈的一个完美贝叶斯均衡。 答案答案： 。 5. 一风险中性的企业家有一个需要100,000 投资的项目，该项目有 1/2 的概率产生收 益300,000， 1/2 的概率产生收益 0。 现有两种类型的企业家： 富的有财富1,000,000， 穷的只有 0。出于某种原因，富的企业家不能使用他的财富对该项目投资。同时，存在 一家可以利率贷款的银行。也就是说，如果企业家借入100,000 用于投资，那么在 该项目完成后，他需要支付100,000（1+）如果他有那么多钱的话。如果在项目 结束时他的财富少于该数目，那么他将以自己所有的财富来支付。事件的顺序如下： 首先，银行贴出利率。 其次，企业家决定是否借钱（100,000）和投资。 再次，不确定性消除。 (a) 计算当财富是公共信息时的完美子博弈均衡。 答案答案：富的企业家总是将全额偿还贷款，于是，他投资（从不投资转变而来）的预期 收益为 。 于是，他将投资的充分必要条件是这个量是非负的，即， 因此，银行将把利率设定为 穷的企业家只有在该项目成功时才会偿还贷款。于是，他投资的预期收益为 他将投资的充分必要条件是