北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2_第1页
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北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何学。1 .在正交坐标系中，求出从直线到平面的正交投影轨迹的方程式。其中，b是常数解答：可以验证要点作成参数方程式：任意取其上面的点，从该点向上的投影作为点整理表明，向上的正交投影轨迹满足方程上述的方程式表示直线，由于不能同时成立，所以向上的正交投影轨迹是直线向上正交投影轨迹的方程2 .对于直角坐标系中参数不同的取法，判断以下的平面二次曲线的形状.关于中心型曲线，写对称中心的坐标相对于线心曲线，写对称直线的方程式。解答：要记住，直角坐标变换是正交变换，因为很容易验证在该变换中，曲线方程是在1 )中，曲线为双曲线，中心型曲线，对称点为在2 )的情况下，所述曲线方程为一对平行线，所述线性中心曲线，且所述对称线表示自由度3 )时，曲线为椭圆，中心型曲线，对称点为在4 )的情况下，曲线方程式为点、中心型曲线，对称点为5 )的情况下，曲线为虚椭圆，中心型曲线，对称点为在6 )的情况下，曲线方程式为一对虚拟平行线，为线心曲线，并且对称直线为虚拟平行线，即7 )时，曲线为双曲线，中心型曲线，对称点为3 .以数域上的级别矩阵为基础(1) .求(2) .当时求齐次线性方程式的解空间的维度和一个基础。解答：(1)如果如果如果(2)如果是，则方程仅为零解，其解空间维度为0如果是这样，则由(1)得知的任意一个三次子公式的行列式为0，一个二次子公式的行列式为方程解空间的维数是配向量群其中有阶单位矩阵，因为知道是一个矩阵然后，任意的因此，它们都属于方程解空间，是方程解空间的基础4.(1)设置数域高位矩阵，求任意正整数C是什么？ (2)在表示数域上的所有类矩阵的集合中，对矩阵的加法和数乘法成为上面的线性空间。 数域上位矩阵称为循环矩阵。 由表示以上所有级别的循环矩阵组成的集合。证明：是子空间，是所需的基本维和维。证书：任何东西，以及因此任意，和，有因此是的，是子空间。记住，在其中在任何情况下，有时所有向量都可由向量的组线性表示设定一组数量，令人满意，即好的。 矢量组不是线性的以上矢量组是基本组5.(1)设实数域的高位矩阵元为() 对于实数域上的维线性空间，则为。 问：是不是上面的内积，写下理由吧。(2)作为电平正定矩阵()，设为非零列向量。 求出的最大特征量及属于该特征量的特征子空间的维数和一个基数解答：(1)为以上内积，证明如下：上面的双线性函数很容易验证关于中的任何非零向量指令是上面的多项式函数可得如果，因为上面是连续的，一定有即与中非零矢量不矛盾。 所以呢上面的内积(2)为正定方程组解空间维也是属于0特征值的特征子空间和，已知的特征量是属于b的特征量的特征向量将属于该特征值特征子空间也就是说，我的小组因此，其他的特征量没有，只是零以外的
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