国家教师资格考试-高中数学学科知识与教学能力

国家教师资格考试数学学科知识与教学能力,温州大学黄友初,大纲要求,高中：大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。初中：大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。,数学分析,函数与极限,求极限：罗必塔法则、两个重要极限、无穷小量的等价替换、求分段函数的极限（用定义）、分母（分子）有理化；判断连续性：一般为分段函数、判断间断点的类别。,例1,解,方法：以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例2,解,由准则1得,例3,证,(舍去),例4,解,例5,解,例6,例7,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,3.第二类间断点,例6,解,例8,解,例9,解,导数与微分,复合函数求导、参数方程求导、取对数求导、隐函数求导、拉格朗日中值定理、罗尔定理、柯西定理、函数的极（最）值、凹凸性、曲率,分段函数的导数大多需要用定义来求。,例10,解,例11,解,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,观察函数,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,例12,解,等式两边取对数得,两边求导得,例13,解,近似公式,由以上分析我们可知，当|x|很小时，ydy，即,令,得,例14,解,例15,解,例16,解,例如,一、罗尔(Rolle)定理,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,例17,证,由上式得,例18：设f（x）在0,1上二阶可导，且f(0)=f(1)，证明,存在,使得,解：令,罗尔定理，因此在（0，1）内至少存在一点,使得,显然F(x)满足,泰勒(Taylor)中值定理,麦克劳林(Maclaurin)公式,曲线凹凸的判定,定理,单调增函数,如图，,弧微分公式,),（,设曲线C是光滑的，,（,定义,曲线C在点M处的曲率,2、曲率的计算公式,注意:,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,积分,不定积分、定积分、定积分的应用注意：换元法,解,解,令,得,原式,将x代替u得：,例求,解,令,例求积分,解,注意循环形式,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,旋转体的体积为,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,级数,级数的收敛与发散；幂函数的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数,比较审敛法,比较审敛法的极限形式:,交错级数及其审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,任意项级数,正项级数,发散,收敛,故收敛域为(0,1.,解,两边积分得,高等代数,行列式、逆矩阵、初等变换、求秩、解方程、线性相关和线性无关、二次型、特征值和特征向量,59,(1)沙路法,三阶行列式的计算,60,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,61,例：,解：,62,例：已知求,解：,运算性质,例设A为三阶矩阵若已知|A|2求|A|A2AT|,解,(2)664,|A|3|A2|AT|,|A|A2AT|,|A|3|A2AT|,|A|3|A|A|A|,|A|6,64,定理1矩阵可逆的充要条件是，且,这里是行列式|A|中元素的代数余子式（注意：不是余子式）。,65,逆矩阵的运算性质,66,例：设为三阶方阵，|A|=1/2，计算,解：,67,例,68,69,解,例,70,71,例题,显然，非零行的行数为2，,1、若,2、若,3、若,，则该线性方程组无解。,而且都等于n，则该线性,方程组有且只有唯一组解。,而且都小于n，则该线性,方程组有无穷多组解。,例：解方程组,解：,为方程的基础解系,方程的解为,如果一个方程组的系数矩阵的秩为，那它的基础解系有个解向量。,例：求解下列非齐次线性方程组：,解：对方程组的增广矩阵作如下初等变换：,因此方程的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等都等于24因此方程组有无穷多组解。由上面矩阵可将方程组化为：,得到方程组的一个特解:,对应齐次方程组的基础解系有422个，我们取,分别得到一组线性无关的基础解系：,故方程组的解为,说明,一、特征值与特征向量的概念,解,得基础解系为：,相似矩阵与相似变换,定理：设是阶方阵，则相似于一个对角阵的充分必要条件是恰有个线性无关的特征向量。其中为的个线性无关的特征向量拼成的矩阵，且这个对角阵主对角线上的个元素就是的特征值。推论：阶阵有个不同的特征值，则必相似于一个对角阵。阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重根，对应的特征矩阵的秩是。,定义：设有n个变元,的二次多项式：,称为是n个变元的实二次型。,具有以下特点：,1、每一项中变元的次数加起来都等于2。,2、前面的系数等于，前面的系数等于,3、都是实数。,若把实二次型写成以下形式：,因此上式的系数就是一个方阵，因为,是一个对称实方阵，系数矩阵为：,同时，我们也可以把二次型写成矩阵形式：,例：求实对称矩阵对应的二次型：,解：,解析几何,向量的点乘、叉乘，以及它们所表示的意义；曲线方程、曲面方程；直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。,数量积也称为“点积”、“内积”.,结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,解,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,补充,解,三角形ABC的面积为,旋转过程中的特征：,如图,将代入,将代入,得方程,例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面/轴,双曲柱面/轴,抛物柱面/轴,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,消去变量z后得：,曲线关于的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,其中法向量,已知点,解,所求平面方程为,化简得,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过轴；,平面平行于轴；,平面平行于坐标面；,类似地可讨论情形.,类似地可讨论情形.,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例6研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,解,点到平面距离公式,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1用对称式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解,所以交点为,所求直线方程,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解,为所求夹角,概率论与数理统计,随机事件的概率、条件概率、全概率公式、常用的概率分布、数学期望、方差、参数估计、假设检验,一、古典概率古典概率：P(A)m：事件A包含的基本事件数或样本点个数；n：事件总数或样本点总数；古典概率有以下特点：（1）样本点总数n是有限的；（2）每个样本点出现的概率是相等的。,（4）.如果事件A和B互不相容，则AB，此时,（5）.对于对立事件A和有,例1：100件产品中有5件次品，有返回的取三次，每次取一件，请问取到的次品的概率？,解：设A：三次中取到次品，则有,（6）.若，则P(A-B)P(A)P(B),定理：如果是的一个剖分，且，则对任一事件B，有则称上式为全概率公式。,这个公式称为贝叶斯公式。,在某些情况下，事件B发生或不发生对事件A不产生影响，我们称这时事件A与事件B相互独立，这时有P(A)P(A|B)，因此有：,例3:设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中的概率分别为0.9，0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率？,0.90.80.90.80.98,解：设A表示甲击中目标，B表示乙击中目标。则目标被击中是概率是,密度函数,1两点分布（也叫贝努里分布）。,2.二项分布,3.泊松分布,4.均匀分布,5.指数分布,定义：随机变量各取值和相应的出现概率的乘积之和就是该随机变量的数字特征，记为，它反映的是随机变量的平均值。,对于离散型随机变量，它的数学期望为,对于连续型随机变量，它的数学期望为,下面看几个常见分布的数学期望：,1.两点分布：,2.二项分布：,3.泊松分布：,4.均匀分布：,5.指数分布：,数学期望的性质：1.若c为常数，则E(c)c。2.若a为常数，,3.线性性质：若a，b为常数，则,5.若,4.可加性：,这个性质可以推广到无限个。,定义：若存在，我们称为方差，记为，,称为标准差或均方差，它反映了随机变量和均值的偏离程度。,对于离散型的随机变量：,对于连续型的随机变量：,常见分布的方差：,1.两点分布：,2.二项分布：,3.泊松分布：,4.均匀分布：,5.指数分布：,方差的性质：,1.若c为常数，D(c)=0；2.,k为常数；3.，a为常数。,定义：如果随机变量的密度函数为,则称服从参数为，的正态分布，记为它的分布函数为：,同样，它也满足，。它的图形呈钟形，对称轴为，越小越陡，越大越平坦。,对于正态分布它的数字特征如下：,称为标准正态分布，一般记为，称,分布函数,由于一般的正态分布比较难计算，因此在计算过程