必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一)学习目标1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等知识点一三角函数的概念1利用单位圆定义任意角的三角函数如图，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做的正弦，记作sin ，即sin y；(2)x叫做的余弦，记作cos ，即cos x；(3)叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数2一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin ，cos ，tan .思考角三角函数值的大小与角终边上的点P离原点距离的远近有关吗？答案角的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)思考三角函数在各象限的符号由什么决定？答案三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值因此，三角函数在各象限的符号由角的终边所在象限决定知识点三诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(k2)sin ，cos(k2)cos ，tan(k2)tan ，其中kZ.题型一三角函数定义的应用例1已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.跟踪训练1(1)已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos ，tan 的值；(2)已知角的终边在直线yx上，求sin ，cos ，tan 的值解(1)r5|a|.若a0，则r5a，是第二象限角，则sin ，cos ，tan ，若a0，则为第一象限角，r2a，所以sin ，cos ，tan .若a0，则为第三象限，r2a，所以sin ，cos ，tan .题型二三角函数值符号的判断例2判断下列三角函数值的符号：(1)sin 3，cos 4，tan 5；(2)sin(cos )(为第二象限角)解(1)3450，cos 40，tan 50.(2)是第二象限角，1cos 0，sin(cos )0.跟踪训练2若sin 0且tan 0，则是第 象限的角答案四解析sin 0，是第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上的角，又tan 0与k0.正解当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .1cos()等于()A. B C. D2当为第二象限角时，的值是()A1 B0 C2 D23如果角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)，则cos 的值等于()A. B C D.4若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，则在()A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象限2sin(1 380)的值为()A B. C D.3设角终边上一点P(4a,3a)(a0)，则2sin cos 的值为()A. B.或C D与a有关4若tan x0，且sin xcos x0，cos 0，则a的取值范围为 9若角的终边与直线y3x重合且sin 0，cos 0，2.3答案A解析2sin 301，2cos 30，r2，cos .4答案解析cos ，5，y216，y0，y4，tan .5解因为x2，y3，所以r.于是sin ，cos ，tan .课时精练答案一、选择题1答案B2答案D解析sin(1 380)sin(360460)sin 60.3答案C解析a0，r5|a|5a，cos ，sin ，2sin cos .4答案D解析tan x0，角x的终边在第二、四象限，又sin xcos x0，即需cos ，tan 同号，所以是第一或第二象限角8答案20，cos 0，位于第二象限或y轴正半轴上，3a90，a20，2a3.9答案2解析y3x，sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0，cos x0，sin xcos x0，y0；当x为第二象限角时，sin x0，cos x0，sin xcos x0，y2；当x为第三象限角时，sin x0，cos x0，y4；当x为第四象限角时，sin x0，sin xcos x0，y2，故函数y的值域为4,0,2三、解答题11解当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|，得sin ，cos ，tan 2；当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|，得sin ，cos ，tan 2.12解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360