场论及张量初步

第一章场论及张量初步,主要内容,(A)场论：梯度，散度，旋度(B)张量：二阶张量,1.1场的定义及分类,场：在空间中的某个区域内定义的标量函数或矢量函数,标量场,矢量场,r是空间点矢径，x,y,z是r的直角坐标，t是时间参数,地形等高线图,圆管横截面上的颗粒浓度场分布,圆管横截面上的气流压力场分布,全国范围内温度场分布,速度场,速度场,速度场,电场,磁场,均匀场：同一时刻场内各点函数值都相等,定常场：场内函数值不随时间t改变,均匀场,定常场,1.1场的几何表示,等高线,等高线,根据等高线的相对位置、疏密程度看出标量函数-高度的变化状况,矢量场的几何表示,矢量的大小是一个标量，可以用等位面的概念来几何表示，矢量的方向则采用矢量线来表示。,矢量线：线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合,根据矢量定义有：,直角坐标形式：,1.3梯度-标量不均匀性的量度,对于给定标量场(r,t)，用它的梯度来表明在任一时刻标量场中每点邻域内的函数变化。,函数在M点上沿曲线S方向的方向导数：,表明函数(r,t)在M点上沿曲线S方向的变化率,证明：其他方向的方向导数可以由过M点的法线方向上的方向导数来表示,当M1无限接近M时，近似为过M1点的切线,函数在n方向的方向导数最大，在n方向变化最快。,梯度：存在这样一个矢量，其方向为过M点的等位面法线方向，大小为这个方向上的方向导数，这个矢量为函数在M点的梯度，用它来描述M点邻域内函数的变化状况，是标量场不均匀性的量度。,其他方向的方向导数可以由过M点的梯度的大小来表示,梯度在直角坐标系中的表达式,梯度的主要性质,梯度的主要性质,定理1梯度满足关系式：,反之，若,则,梯度的主要性质,正定理证明：已知标量函数的全微分：,梯度的直角坐标形式：,梯度的主要性质,物理意义：函数在M点dr方向的增量等于M点处的梯度在dr方向的投影,梯度的主要性质,定理2若a=grad，且是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线L的线积分：,反之，若矢量a沿任一封闭曲线L的线积分,则矢量a必为某一标量函数的梯度，即a=grad,梯度的主要性质,正定理证明：,由于是矢径r的单值函数，则沿封闭曲线L的线积分：,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲面S，并在S上取一面积元dS，在dS上取一点M，n为S面上过M点的法线方向的单位矢量,an：矢量a在法线方向的投影andS:矢量a通过面积元dS的通量,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,在整个曲面上积分，得矢量a通过S面的通量,实质上相当于函数的面积分,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,当S面为封闭曲面时，通量为：,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,当封闭曲面S包围的体积为V，用矢量a的通量除以V(求单位体积的通量)，且当V0时，将极限定义为矢量a的散度：,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,证明当矢量a具有连续一阶偏导数时，此极限(即散度存在,由高等数学中的奥高定理得：,实质上是面积分与体积分之间的关系,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,因体积分中被积函数是连续的，根据中值定理可知，能够在积分体上找到确定的一个点Q，满足：,函数在体积V上的积分,在积分体上Q点处的函数值,注意：Q点是积分体上的一个确定点,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,1.4矢量的通量.散度.奥高定理,1.5无源场及其性质,diva=0的矢量场称为无源场或管式场。具有以下主要性质：,(1)无源矢量a经地矢量管任一横截面上的通量保持同一数值,(2)矢量管不能在场内发生或终止。,(3)无源矢量a经过张于已知周线L的所有曲面S上的通量均相同，此通量只依赖于周线L而与所张曲面S的形状无关。,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一曲线L作线积分,若L为封闭曲线，则矢量a沿L的环量为：,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,对于给定的矢量场a(r,t),在场内取一点M，围绕M取无限小封闭曲线L，张于L上的曲面为S，按右手螺旋法则定义S的法线方向n。,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,作矢量a沿曲线L的环量并除以曲面面积S，当L向M点收缩，面积S趋于0时，定义矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影为：,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,极限存在的证明：Stockes公式：线积分与面积分的关系中值公式：面积分与函数值的关系,1.6环量.旋度.斯托克斯定理,Stockes公式：线积分与面积分的关系,1.7无旋场及其性质,rota=0的矢量场称为无旋场,梯度的性质定理2(书中P8-9),1.7无旋场及其性质,1.8微分算子-微分及矢量运算法则,拉普拉斯算子：只进行微分运算,1.8微分算子-微分及矢量运算法则,哈密顿算子：一方面是一个矢量，在运算时要符合矢量代数和矢量分析中的所有法则；另一方面又是一个微分算子，只对位于算子右边的量发生微分作用,1.8微分算子-微分及矢量运算法则,用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度,1.8微分算子-微分及矢量运算法则,用哈密顿算子的形式表示梯度、散度和旋度,1.9矢量与标量场的基本运算公式,1.9矢量与标量场的基本运算公式,1.9矢量与标量场的基本运算公式,矢量运算基本法则,(B)张量初步,张量的定义,二阶张量,对称张量与反对称张量,张量分解定理,共轭张量,张量的定义,张量（tensor)是几何与代数中的基本概念之一。从代数角度讲，它是矢量的推广。我们知道，矢量可以看成一维的“表格”（即各分量按照顺序排成一排），即一阶张量；矩阵是二维的“表格”（各分量按照纵横位置排列），即二阶张量；那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。,张量的定义,从物理意义上来说，张量（tensor)是一个在三维坐标系中具有3r个分量的物理量。