一般线性方程组

7.5一般线性方程组课题： 一般线性方程组目的要求：1掌握矩阵秩概念掌握线性方程组解判定方法；掌握齐次线性方程组的解法。重点： 线性方程组解判定方法难点： 线性方程组的消元法教学方法： 讲练结合教学时数： 4课时教学进程：一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用定义：矩阵A的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵A的秩，记为r（A）根据这个定义，可以得出求矩阵A的秩的一般步骤：1 用矩阵的初等行变换把A化为阶梯形矩阵；2 数一下阶梯形矩阵中有多少个非零行例1 求矩阵的秩解 所以r（A）=3例2 求矩阵的秩解 所以r（B）=3二、 一般线性方程组的解一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等对于n个未知数n个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法：克莱姆法则；逆矩阵；矩阵法其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不相等的线性方程组本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解先考察先面的两个例子例3 讨论线性方程组的解解 最后一个矩阵对应于方程组：，因此有由于当x3和x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无穷多组解例4 讨论方程组的解解 最后一个矩阵对应于方程组：，其中第三个方程0=3是不可能成立的因而方程组无解从以上两个例子最后得到的两个矩阵和来看，它们的左上角都是一个单位矩阵，以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵）外，其余元素均为零一个含有n个未知数的m个方程的线性方程组 它的增广矩阵一般经过适当的行初等变换，它的左上角会出现一个r阶的单位矩阵（rn），而在以下（m-r）各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中rn：为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念定义 若方程组有解，则称方程组是相容的；若方程组无解，则称方程组是不相容的下面分别按矩阵出现的各种不同情形来讨论对应的线性方程组的解1 若cr+1=0，则线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且都等于r（rn），则线性方程组是相容的当rn时方程组有无穷多组解，当r=n时方程组只有唯一解 2 若cr+10，这时线性方程组的系数矩阵的秩为r，而增广矩阵的秩为r+1所以这个线性方程组相应地化为 因为cr+10，所以上述方程组中最后一个方程不能成立，即方程组是不相容的归纳上述讨论，得到如下两个定理：定理1 线性方程组相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等定理2 线性方程组是相容的，则当系数矩阵的秩r n时，方程组有无穷多组解；当系数矩阵的秩r=n时，方程组的解是唯一的例5 判别方程组的相容性解 因为所以R（A）=R（）=3，即方程组是相容的例6 当a取什么值时，方程组有解，并求出它的解解 因为所以当a0时，R（A）=2，R（）=3，方程组无解；当a=0时，R（A）=R（）=2，方程组有解这时，对应的方程组为，即，其中x3与x4的值可以任取，令x3=c1，x4=c2，则方程组的解为，其中c1与 c2为任意常数三、 齐次线性方程组在线性方程组中，若b1=b2=bm=0，则方程组称为齐次线性方程组在齐次线性方程组 中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的因此根据定理1可知，齐次线性方程组总是有解的根据定理2，可以得到以下定理：定理3 设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩R（A）=r若r=n，则方程组只有零解；若rn，则方程组有无穷多组非零解对于n个未知数，n个方程的齐次线性方程组，还可由定理3推得以下的定理：定理4 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式例7 解方程组解 计算系数行列式： 所以方程组只有唯一的一组零解，即x=y=z=0例8 解方程组解 计算系数行列式： 所以方程组有无穷多组解为此写出它的增广矩阵，并作行