中学生物理竞赛系列练习题VIP

中学生物理竞赛系列练习题第一章 质点的运动1、合页连杆机构由三个菱形组成，其边长之比为3：2：1，如图所示，顶点以速度v往水平向右移动，求当连接点的所有角都为直角时，顶点、的速度量值。教学参考04.102、轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮线，设轮子半径为R，轮子边缘点P对应的滚轮线如图所示，试求此滚轮线在最高点的曲率半径1和在最低点的曲率半径2。题库p143、一小球自高于斜面上h处自由落下后击中斜面，斜面之斜角为，假设小球与斜面作完全弹性碰撞(碰撞斜面前后速率不变且入射角等于反射角)，如图所示。求（1）再经多长时间后球与斜面再度碰撞？（2）两次碰撞位置间距离d为多少？（3）假设斜面甚长，小球与斜面可以作连续碰撞，证明小球与斜面在任意连续两次碰撞之时间间隔均相等。并计算在连续两次碰撞点之距离依次为，之数值。(1)t= (2)d= (3)4、以初速铅直上抛一小球A，当A到达最高点的瞬间，在同一抛出点以同一初速沿同一直线铅直上抛同样的小球B，当A、B在空中相碰的瞬间，又从同一抛出点以同一初速沿同一直线铅直上抛出第三个同样的小球C。设各球相遇时均发生弹性碰撞，且空气阻力不计，从抛出A球的瞬时开始计时。试求：(1)各球落地的时间；(2)各球在空中相遇的时间。(1)，即C最先落地，A最慢落地 (2)A、B相遇在，其次B、C相遇在，最后A、B再相遇于，共有三次碰撞。5、由t=0时刻从水平面上的O点，在同一铅垂面上同时朝两方向发射初速率分别为=10公尺/秒、=20公尺/秒两质点A、B，(如图)求：(1)t=1秒时A、B相距多远？ (2)在铅垂面上，从原点O出发朝平面各方向射出相同速率的质点，今以朝正方向(水平)射出的质点为参考点，判定其他质点在未落地前的t时刻的位置组成的曲线。题库p136、质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出物块抛出时相对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动 (1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间 (2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离（第二十届预赛）v0附加1、如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承，其内环半径为R2，外环半径为R1，在两环之间分布的小球半径为r，外环以线速度v1顺时针方向转动，而内环则以以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度。（设小球与圆环之间无滑动发生）2、两质点在地面上同一地点以相同速率从不同抛射角抛出。试证明，当两质点的射程R相同时，它们在空中飞行时间的乘积为。忽略空气阻力。3、如图所示，细杆AB搁置在半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以等速v作直线运动，细杆与水平面夹角用表示。图示之瞬时，细杆与半圆柱相切于C点，此时杆上C点的速度量值是= ，圆柱面上与杆相交的一点的速度量值= 。第二章 物体的平衡1、如图所示，两个质量分别为m1、m2的小环能沿着一光滑的轻绳滑动。绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度。在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两边。设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与轻环两边的夹角为。试证明：2、半径为r，质量为m的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触。用一个高为1.5r的圆柱形圆筒(上、下均无底)将此三球套在筒内，圆筒的内半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量也为m，半径为R的第四个球，放在三球的上方正中，设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质做成，其相互之间的最大静摩擦系数均为(约等于0.775)，问R取何值时，用手轻轻铅直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？（第八届预赛）3、半径为r和R的两个圆柱，置于同一水平粗糙的平面上，如图所示，在大圆柱上绕上细绳，在绳端作用一水平向右的力，求大圆柱有可能翻过小圆柱的条件。已知所有接触面的静摩擦系数为。4、质量为m，长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为L，如图所示。（1）求A棒顶端所受的作用力F的大小；（2）若有一质量也是m的人（视为质点）坐在A棒的中点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力F的大小又为多大？5、有6个完全相同的刚性长条形薄片AiBi(I=1,26)，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将此6个薄片架在一水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中央，由正上方俯视如图所示。若将一质量为m的质点放在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离。求薄片中点所受的(由另一小薄片的小突起所施的)压力。mg/426、如图所示，儿童玩具不倒翁高h=21cm，质量m=300g，相对轴KD对称分布，不倒翁的下部是半径R=6cm的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度=30o的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角=45o，则处于稳定平衡状态。为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶K处加多少塑泥？教学参考04.10附加1、如图所示，在倾斜角为和的两个斜面之间放有均质杆AB。设，杆与两斜面间的摩擦角均为（=tan），求平衡时杆AB与斜面OA的夹角的范围。物理教学04.82、所示，水平面上放着一个质量为M的、半径为r的均匀半球。在半球的边缘放着一个质量为m的大小不计的物块。整个系统处于平衡状态。试求：（1）地面给半球的静摩擦力大小是多少？（2）地面给半球的支持力大小是多少？（3）如果已知半球的重心与球心O的距离为3r/8 ，半球平面与水平面的倾角是多少？（答：f = 0 ；N = Mg + mg ；= arctg )3、用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的球冠围成的外形，如图所示。浮子的厚度hh，质量为m2。当将浮子辐条向上地浸入水中时，浮子的状态时稳定的吗？第三章 牛顿运动定律1、常规制动系统在急刹车时，车轮常会被抱死，即车轮只滑不转，车轮受力情况如图1所示。装有ABS的汽车在刹车过程中ABS使车轮在地面上滚动而不滑动，车轮受力情况如图2所示。已知质量为m，车轮与地面的动摩擦因数为，车轮与地面间的最大静摩擦力为fm的汽车。在两种情况下行驶的速度相同，则不装ABS系统的刹车距离为S1，装ABS系统后的刹车距离为S2，这两者距离之差是S1-S2为多大？mv2(fmfS)fmfS2、长为5m、倾角为300的传送带以2m/s的速度运动。如图所示，将一物体由静止状态轻轻地放在传送带下端，经过2.9s到达上端。求：（1）传送带和物体间的摩擦系数。5mv（2）要使由静止放上的物体最快地被送上至上端，传送带的速度至少要是多大？3、一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面上掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）（04年高考）4、如图所示，弹簧秤下面悬挂着定滑轮，跨过滑轮两边的绳子分别连接着三个钩码和五个钩码，每个钩码的质量为50g ，当系统从静止开始释放后，试求弹簧秤的示数。重力加速度g = 10m/s2，忽略滑轮的质量。（3.75 N）5、有一定长度的木板C放在光滑水平面上，长木板上面放置可视为质点的木块A、B A、B、C的质量分别是木块A、B相距0.2m，放在长木板上适当的位置，它们与长木板间的动摩擦因数相同均为三物块均在同一直线上，开始时都处于静止状态某时刻同时对A、B施加相反方向的恒力，如图所示经过1s的时间，同时撤去这两个力问：（）在同时对A、B施加相反方向的恒力的过程中，木板C的运动状态应该怎样，请说明理由。（2）若要使木块A、B最终不滑离长木板，木板C的长度最少为多少？解：（1）A、B与木板间滑动摩擦力的大小： （1分）； A、B木块分别向左、向右做匀加速运动，A、B对木板C的摩擦力大小相同，方向相反，所以在同时对A、B施加相反方向的恒力的过程中，木板C保持静止 （3分）学生只要说清楚木块A、B对木板C的摩擦力等大、反向，木板C保持静止同样给4分（2）恒力作用时A、B的加速度大小： （1分） （1分） 恒力作用1s末A、B的速度大小： （1分） （1分） 撤去两个力后，A、B做匀减速运动，加速度大小 （1分）B先相对于C静止，运动时间， （2分）此时A的速度， （1分）这段时间C一直保持静止状态，A、B的位移分别为： （1分） （1分）以后B相对于木板静止，A继续减速运动，木板的加速度： （3分） 设此后A与木板的相对运动时间为 （2分）在时间内，A与木板相对运动距离： （1分） 木板的最小长度 （2分）6、长为2b的轻绳，两端个系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一直线上。今给小球M以一个冲击，使它获得水平速度v，v的方向与绳垂直。求：（1）M刚受到冲击后绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前的瞬间绳中的张力。张大同p76附加1、（05全国）如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d。重力加速度为g。2、在光滑是水平轨道上有两个半径都是的小球A和B，质量分别为和，当两球心间的距离大于时（比大得多），两球之间无相互作用力；当两球心间的距离等于或小于时，两球存在相互作用斥力。设A球从远离B球处以速度沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图所示，欲使两球不接触，必须满足什么条件？第四章 圆周运动 万有引力定律1、如图所示，赛车在水平赛道上做90转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r1、r2，车与路面间的动摩擦因数都是。试问：竞赛中车手应选图中的内道还是外道转弯？在上述两条转弯路径中，车手在内、外车道选择中可能赢得的时间为多少？解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为V2，则m(V2)2r2=mg, V2,因此车先减速再加速，加速度为a=mgm=g,减速的路径长为X2（Vm2V22）2a=, 总时间为t2=t减速t圆弧t加速+（2分）（2） （2分）同理，车走内道的时间为t1=（2） (4分)又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。车手应该选择走外道。时间差为:t=t1-t2=（2） (3分)2、根据天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127，此时水蒸气分子的平均速度达到v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少用两种方法说明）方法一：假定月球表面有水，则这些水在127时达到的平均速度v0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R2=mv12/R2，mg月=GMm/R2，g月=g/6，所以代入数据解得v1=1700m/s，v1v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。方法二：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径R1，如果R1R，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，mg月=GMm/R12，g月=g/6，所以R1=v02/g月=2.449106m，R1R，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。方法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，g月v02/R=2.30m/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。方法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月GMm/R2，即应有g月Rv2而实际上：g月R=2.84106m2/s2，v02=4106m2/s2，所以v02g月R即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。3、半径分别为r1和r2（r1：r2=5：1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起，如图所示，它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场的方向平行于转轴。两转轴通过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时，量得两齿轮边缘之间的电阻为R。现将一其质量为m的物体用轻绳绕在大齿轮的轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下落的速度。 4、用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射一航天器，由时间控制以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90o，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设持续时间与木星周期相比很小）题库83O火星星星P5、开普勒从1909年至1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。第二定律：太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的倍。因很小，所以飞船新轨道不会与火星表面交会，如图所示。飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为。试求：(1)飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远；(2)设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T设火星和飞船的质量分别为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r，飞船速度为v。因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在D点的面积速度（D为圆轨道和椭圆轨道的交点），由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度，即：，即（1）2分由机械能守恒定律： （2）2分飞船沿原轨道运动时： （3）2分式中 （4）2分联立方程组可解得： （5）2分 （6）2分（2）设椭圆半长轴为a，则，即： （7）2分飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为： （8）2分设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三 定律得： （9）2分 从而解得： （10）4分6、一半径为的水平光滑圆桌面，圆心为，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动1问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2若绳刚要断开时，桌面圆心到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心的水平距离为多少？已知桌面高度物块在桌面上运动时未与立柱相碰取重力加速度大小为（第十七届预赛2000年）解：因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为，若此时物块速度的大小为，则有 （1）绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有 （2）由此得（3） 代入数据得 （4）2. 设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的点，是绳的伸直部分，物块速度的方向如图预解17-2所示由题意可知，因物块离开桌面时的速度仍为，物块离开桌面后便做初速度为的平抛运动，设平抛运动经历的时间为，则有 （5）物块做平抛运动的水平射程为 （6）由几何关系，物块落地地点与桌面圆心的水平距离为 （7）解（5）、（6）、（7）式，得 (8)代人数据得 7、假设银河系的物质在宇宙中呈对称分布，其球心为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。已知地球到太阳中心的距离为Ro，太阳到银心的距离a=1.75109Ro，太阳绕银心做匀速圆周运动，周期T=2.4108年。太阳质量为Ms，银河系中发亮的物质仅分布在r1.5a的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于6a，且在0r6a范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答：（1）论证银河系物质能否均匀分布？（2）计算银河系中发光物质质量最多有多少？（3）计算整个银河系物质质量至少有多少？（4）计算银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少是多少？（上述计算结果均用太阳质量Ms表示）题库p848、已知地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径凡为地球轨道半径凡的1.5倍若要从地球表面向火星发射探测器，简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步：在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而成为一个沿地球轨道运行的人造行星（此时，地球对探测器的引力很小，可以忽略不计）；在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原运动方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道上运动，从而使探测器正好射到火星上，如图3甲所示当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1 日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600如图3乙所示问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到日）。已知地球半径为Re=6.4106m，重力加速度g可取9.8m/s2。探测器在地球公园轨道上运行的周期Td与地球公转周期相同Td=Te=365d 火星公转周期 Tm=365=671d探测器的椭圆轨道上的运行周期为Td=365=510d因此探测器从燃火箭开始至到达火星需时 255d从点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为d=e=0.9860/dm=0.5370/d由于探测器运行至火星需时255d，火星在此期间运行的角度为mTd/2=1370即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前1370，亦即点燃发动机时，探测器与火星之间对太阳的圆心角应为1800-1370=430在某年3月1 日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600（火星在前探测器在后），为使其张角为430，必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适时日，设二者到达合适的位置，探测器又经历的天数为t，则600-430=dt-mt t=38d故点燃火箭发动机的时刻应为当年的3月1日之后38天，即同年4月7日附加1、2006年2月10日，中国航天局将如图所示的标志确定为中国月球探测工程形象标志。它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。 我国的“嫦娥奔月”月球探测工程已经启动，分“绕、落、回”三个发展阶段：在2007年前后发射一颗围绕月球飞行的卫星，在2012年前后发射一颗月球软着陆器，在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球。设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回的着陆器与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。设着陆器质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，已知着陆器从月球表面返回轨道舱的过程中需要克服月球的引力做功。不计月球表面大气对着陆器的阻力和月球自转的影响，则着陆器至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？2、科学家用天文望远镜经过长期观测，在宇宙中已发现中已发现了许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距2L。它们正围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。1、试计算该双星系统的运动周期T计算。2、若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测：T计算=1：（N1）。为了解释T计算与T观测的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测的结果确定该星系间这种暗物质的密度。 m=(N-1)m/4 第五章 动量和能量1、A、B两滑块在同一光滑的水平直导轨上相向运动发生碰撞(碰撞时间极短可忽略不计)，用闪光照相，闪光4次摄得的闪光照片如下图所示，已知闪光间隔为t，而闪光本身持续的时间极短，可忽略不计。在这4次闪光的瞬间，A、B二滑块均在0-80cm刻度范围内，且第一次闪光时，滑块A恰好自左向右通过x=55cm处，滑块B恰好自右向左通过x=70cm处，则A、B两滑块的质量之比m AmB= 答案： 2/32、（2000年全国）面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块。木块边长为a，密度为水的1/2，质量为m。开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示。现用力F将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求(1)从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中,池水势能的改变量。(2)从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。3、如图所示，质量为m的小球放在质量为M的大球顶上，从高h处释放，紧挨着落下，撞击地面后跳起。所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴上。（1）小球弹起可能到达的最大高度？（2）如在碰撞后，物体M处于静止，则质量之比应为多少？在此情况下，物体m升起的高度为多少？说明：在太空中，也会有这种“弹弓效应”。如图所示，设相对恒星，大行星的速度为V，卫星（质量远小于行星）以速度v经历了一次与大行星的弹性碰撞在万有引力作用下靠近行星，后又远离，碰撞后的分离速度大小是V+v，则对恒星而言，卫星以大小2V+v的速度被行星“弹射”出去，这种类似的“弹弓效应”，已被应用于空间探测，研究太阳系中诸多行星的大环游。4、在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使速率约几百米每秒做热运动的原子几乎静止下来、且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激光致冷”的技术。若把原子和入射光子（光其实是一份一份的，就象一个一个的弹性小球，有动量也有能量，也能和粒子相互作用）分别类比为一辆小车和一个小球，则“激光致冷”与下述的力学模型很类似。一辆质量为m的小车（一侧固定一轻弹簧），如图所示以速度V0水平向右运动，一个动量大小为P，质量可以忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间T，再解除锁定使小球以大小相同的动量P水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程，最终小车将停下来。设地面和车厢均光滑，除锁定时间T外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长的时间。求：（1）小球第一次入射后再弹出时，小车的速度的大小和这一过程中小车动能的减小量；（2）从小球第一次入射开始到小车停止运动经历的次数和时间；解：（1）小球第一次入射后再弹出的过程中，小车和小球的系统总动量守恒：.2分 所以，小车的速度：2分这一过程中小车动能的减少量：2分2分（2）由式同理得；故； 4分使小车静止，令 得运动次数n= 4分小球每入射和弹出一次经历的时间为： 则整个过程所经历的时间为：t=n 2分 = 4分5、（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。（2）如图2，将N个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离，现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰.求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。（1）设每个小球质量为，以、分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度. 由动量守恒和能量守恒定律有 （以向右为速度正方向） 解得 由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解：（2）以v1、v1分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律，mv1mv10 解得在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解： 振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为，根据动量守恒定律：用E1表示最大弹性势能，由能量守恒有解得6、如图所示，A是放置在光滑水平面上的滑块，其质量为mo，滑块的上端面世一水平台面，台面的长度和高度均为h，滑块的侧面有一条长度为1/8圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切，另有一条高为H的固定光滑导轨，导轨的底端正好对准A的滑槽。B是一个质量为m的小球，m=0.4mo，它由导轨的顶端滑下，初速度为零。试问：欲使小球击中A的平台，高度比H:h的数值范围是多少？答案：7、如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3 ，且m2 = m3 = 2m1 。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等；m2和m3静止，m1以初速度vo =R/2沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T 。答案：20s8、水平光滑细杆上穿着A、B两个刚性小球，它们的间距为L ，用两根长度也为L的轻绳与C球相连，A、B、C三球的质量均相等。现将系统从静止开始释放，试求：当C球与细杆相距h时，A球的速度是多少？附加1、从行星旁绕过，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种现象称为“弹弓效应”，在航天技术中，“弹弓效应”是用来增大人造小天体运动速率的一种有效办法。1989年10月发射的伽利略探测器（它于1995年12月按时到达木星，并用两年时间探测了木星大气和它的主要卫星）就曾利用这种效应。下面是一种具体情景和相应的问题。（1）如图所示，土星的质量M=5.671026kg，以相对太阳的轨道速率uo=9.6km/s运行。一空间探测器的质量m=150kg，相对于太阳迎向土星的速率为vo=10.4kg/s。由于“弹弓效应”，空间探测器绕过土星后，沿与原来速度相反的方向离去，求它离开土星后的速率。（2）若空间探测器飞向土星时的速率uo与土星的速率vo同方向，那么是否仍然能够产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？并简要说明理由。2、（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、m(为待定系数)。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：(1)待定系数;(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。解（1）由 mgR= mgR/4+ mgR/4+ = 得 =3 =（2）设 A、B 碰撞后的速度分别为 v1、v2，则 1/2mv12=mgR/4 1/2mv22 = mgR/4 设向右为正、向左为负，解得 ，方向向左 ，方向向右 设轨道对 B 球的支持力为 N， B 球对轨道的压力为N，方向竖直向上为正、向下为负. 则方向竖直向下。（3）设 A、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V1、V2，则 解得 （另一组解：V1=v1，V2=v2 不合题意，舍去） 由此可得： 当 n为奇数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一 次碰撞刚结束时相同； 当 n为偶数时，小球 A、B 在第 n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二 次碰撞刚结束时相同；第六章 静电场1、如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点， = r ，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP 。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段L ，它在P点形成的电势U = k环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP = 2、如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2 ，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】Uo = k k + k 。3、如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。解设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v，则动量关系 mv + 2m v= 0能量关系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m解以上两式即可的v值。答v = q 。4、如图所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1 ，介质部分电量为Q2 ，显然有Q1 + Q2 = Q两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1 = U2 即 = ，即 = 解以上两式即可得Q1和Q2 。场强可以根据E = 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2k（单面平板），当k 、同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2 ，所以E2 = 4k（ ）= 4k（ ）请注意：这里的和Q是指极化电荷的面密度和总量； E = 4k的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】（1）真空部分的电量为Q ，介质部分的电量为Q ；（2）整个空间的场强均为 ；（3）Q 。5、一细直杆，长为L，水平放置，杆上均匀带电，其电量为q.试求：（1） 在杆的延长线上距杆的中点r处的场强；（2） 在杆的垂直平分线上距杆的中点r处的场强。解：（1）选取坐标如图一所示，以杆的中点为原点。在杆上任取一电荷元，距原点为x.此电荷元在P点产生的场强为此场强的方向沿x轴的正向。由于各电荷元在P点产生的场强的方向相同，所以整个带电直杆在P点产生的场强方向沿直杆向右。如果P点在杆的左侧，则场强 负号表示场强沿x轴的负方向，即沿直杆向左。（2）选取坐标系如图二所示。直杆上任一电荷元在P点产生的场强将分成x,y两个分量。由于对称性，x方向的分量相互抵消，所以。而y方向的分量于是，整个带电直杆在P点的总场强为方向垂直于棒向上。如果P点在杆的下方，则场强沿y轴的负向，即垂直于棒向下。6、如图一所示，两个平行放置的均匀带电圆环，它们的半径为R，电量分别为+q和-q,其间距离为L，且LR.以两环的对称中心为坐标原点。(1) 试求垂直于环面的x轴上的电势分布；(2) 证明：当xR时，(3) 试求x轴上远处（即xR）的场强分布。解：（1）已知带电圆环轴线上电势分布公式为所以， 根据电势叠加原理，得到 由于LL时，可以忽略上式圆括号中的二次方项，得到由因为，所以上式又可改变为 （3）当xR，由电场强度和电势梯度的关系可以求得由对称性可知场强沿x轴方向。(1998年全国预赛试题)空间某一体积为V的区域内的平均电场强度(E)定义为(E)=EVi/Vi,式中Vi为体积V内第i个非常小的体积(称为体积元)，E为第i个体积元内的场强(只要体积元足够小，可以认为其中各点的场强的大小和方向都相同)为累加号，例如： Vi=V1+V2+V3+V 今有一半径为a的原来不带电的金属球，现使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，与球心的距离为R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度答案：如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a、b为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在ab间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总 = Ck = C所以，从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 Uk = 再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足电量关系：Q1= Q3 Q2+ Q3= 电势关系：+ = 从以上三式解得 Q1= Q3= ，Q2= ，这样系统的储能就可以用得出了。【答】（1）Ek = ；（2） 。第七章 稳恒电流1、令每段导体的电阻为R ，求RAB 。2、对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB 。3、给无穷网络的一端加上UAB = 10V的电压，求R2消耗的功率。已知奇数号电阻均为5 ，偶数号电阻均为10 。4、试求平面无穷网络的等效电阻RAB ，已知每一小段导体的电阻均为R 。5、如图电路中，R1 = 40 ，R2 = R3 = 60 ，1 = 5V ，2 = 2V ，电源内阻忽略不计，试求电源2 的输出功率。6、如图电路中，1 = 20V ，2 = 24V ，3 = 10V ，R1 = 10 ，R2 = 3 ，R3 = 2 ，R4 = 28 ，R5 = 17 ，C1 = C2 = 20F ，C3 = 10F ，试求A、B两点的电势、以及三个电容器的的带电量。7、六个相同的伏特计互相连接如图，A、B端则与恒压电源相接。若由其中一个的读数Ux = 10V ，则其余五个的示数将如何？8、在图的电路中求 Uab 。9、A、B之间接恒压源，各电阻均为有限值，且令 = R1/R6， =（R2 + R3）/（R4 + R5）， = R4/（R4 + R5）， = R5/R7 。试证：当R5 = 0时，中无电流的条件是 = ；当R5 0时，中无电流的条件是（ + ）+ 1= 。10、n组串联电阻接在导线AB和CD之间。现将一电源接在任意两个P点，然后将其余的任一P点切断，发现流过电源的电流不变，则这n对Ri和ri应满足什么关系？11、用戴维南定理解右图电路中流过1的电流。并问：若令1减小1.5V、而又要求流过1