第一章射影平面

Theclassisbegin!,柏拉图学院：不懂几何学的人不得入内！,第一章射影平面,本章地位,学习平面射影几何的基础,本章内容,定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则,附带一个重要定理,Desargues透视定理,学习注意,认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰,1.1拓广平面,一、中心射影,1、平面上两直线间的中心射影,定义1.1,因此，1:ll是l到l的中心射影,OP投射线,Pl上的点P在l上的像,Pl上的点P在l上的像,OV/l,与l不相交，V为l上的影消点,影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射!,X=ll自对应点(不变点),OU/l,与l不相交，U为l上的影消点,三个特殊的点：,1.1拓广平面,一、中心射影,2、平面到平面的中心射影,定义1.2,OP投射线,P上的点P在上的像,P上的点P在上的像,因此，,是到的中心射影,自对应直线(不变直线),三条特殊的直线：,，u为由影消点构成的影消线,，v为由影消点构成的影消线,影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射!,1.1拓广平面,一、中心射影,1、平面上两直线间的中心射影,定义1.1,2、平面到平面的中心射影,定义1.2,均不是双射,中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线,存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点,如何使得中心射影成为一个双射？,给平行线添加交点！,1.1射影平面,一、中心射影,二、无穷远元素,目标：,改造空间，使得中心射影成为双射,途径：,给平行直线添加交点,要求：,不破坏下列两个基本关系,两条相异直线确定惟一一个点(交点),两个相异点确定惟一一条直线(连线),点与直线的关联关系,1.1拓广平面,二、无穷远元素,约定1.1(1)在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直线上原有的点.称为无穷远点(理想点)，记作P(2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上添加的无穷远点不同.,区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P,约定1.1(3)按约定(1),(2)添加无穷远点之后，平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l,区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l,总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时使得中心射影成为双射.,1.1拓广平面,理解约定1.1(1),(2),1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点.平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.,2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.,3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.,4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而，对于通常直线：,两直线,平行,不平行,交于惟一,无穷远点,有穷远点,平面上任二直线总相交,5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点.,6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.,1.1拓广平面,理解约定1.1(3),1、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.,2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线上的无穷远点.,3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.,4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一条无穷远直线的平面相互平行.因而，对于通常平面：,两平面,平行,不平行,交于惟一,无穷远直线,有穷远直线,空间中任二平面必相交于唯一直线,1.1拓广平面,三、拓广平面,定义1.3通常点和无穷远点统称拓广点；添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿射直线)；添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).,定理1.1在拓广平面上,点与直线的关联关系成立：(1)两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线；(2)两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.,(1)拓广直线的封闭性,拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点,四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型,欧氏直线：向两个方向无限伸展,1、拓广直线(射影仿射直线),1.1拓广平面,(2)拓广直线的拓扑模型,(i)欧氏平面上的圆,(ii)叠合对径点的圆,(iii)欧氏平面上过原点的直线的集合(线束模型),(iv)欧氏平面去掉原点后，过原点每一直线的所有点作为拓广直线的一个点,1.1拓广平面,(3)拓广直线的拓扑模型,(4)拓广直线上点的分离关系,欧氏直线：一点区分直线为两个部分。,拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。,欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。,拓广直线：两点不能确定直线上的一条线段。,点偶A,B分离点偶C,D,点偶A,B不分离点偶C,D,1.1拓广平面,(i)任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域,任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域,(ii)两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域,两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域,在拓广平面上，可以证明：,I，II为同一区域,III，IV为同一区域,2、拓广平面(射影仿射平面),四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型,(1)拓广平面的封闭性(从两个方面理解),1.1射影平面,(2)拓广平面的拓扑模型,(i)叠合对径点的球面,(ii)欧氏空间过原点的直线的集合(线丛模型),(iii)叠合赤道上对径点的半球面,(iv)叠合周界上对径点的圆盘,2、拓广平面(射影仿射平面),四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型,(1)拓广平面的封闭性(从两个方面理解),1.1拓广平面,Mbius带,1.1拓广平面,五、射影基本形,1、一维基本形,(1)点列(同一直线上点的集合),记号,l(A,B,C,)或l(P),底,元素,(1)线束(平面上过同一点的直线的集合),记号,L(a,b,c,)或L(p),束心,元素,1.1拓广平面,五、射影基本形,2、二维基本形,(2)点场(同一平面上点的集合),(2)线场(同一平面上直线的集合),称为点场的底，其上的点称为元素.,称为线场的底，其上的直线称为元素.,显然，一维基本形和二维基本形都是射影不变的,1.1拓广平面,五、射影基本形,3、一对重要的基本图形,三点形(不共线三点及其两两连线构成的图形),顶点：A,B,C边：BC,CA,AB,显然，射影基本形、三点形和三线形