第三章：量子力学中的力学量_6讲

量子力学与统计物理Quantummechanicsandstatisticalphysics,光电信息学院李小飞,第三章：量子力学中的力学量,第一讲：力学量的算符表示,微观粒子具有波粒二象性，其运动状态用波函数描述，,那么，如何从波函数求体系的性质？,引入,薛定谔说：用算符作用于波函数就行了,比如：对于在势场不显含时间中运动的粒子，其波函数时间t和位置r可分离，用哈密顿算符H作用于定态波函数上，就可以得到粒子的能量。,那么，对于其它各种物理量，比如位置、动量等，是否也可以？,经典系统与量子系统的区别：经典系统的力学量有确定性，遵守因果论；量子系统由于波粒二象性，一般不具有确定性，但服从统计律，即：虽然每一次测量的值可能不同，但多次测量的统计平均值具有确定性。,一、统计平均值与算符的引入（力学量期望值，或理论平均值）,例：若已知波函数，按照波函统计解释，利用统计平均方法，可求得粒子坐标的期望值：,同样，若已知波函数，可求粒子动量的期望值：,问题：如何在知道波函数的情况下求的期望值？,定义算符：,力学量算符与期望值的关系：,对于任意一个力学量A，如果知道它的算符，则它的期望值应为：,如果波函数没有归一化，则,算符在量子力学中的重要位置，由此可见一斑,因此，先定义出各种力学量算符是必要的,经典物理学中，一般力学量都是坐标与动量的函数，可以依据如下对应关系定义这些力学量的算符,二、由经典物理引进量子力学量算符,再论波函数的作用：,1.由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的概率分布，即(r,t)=|(r,t)|22.已知(r,t)，则任意力学量的可能值、相应的概率及它的统计平均值都知道。也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。3.知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，由Schrodinger方程即可确定以后各时刻的态函数。,波函数完全描述微粒的状态,四、力学量算符是线性厄密算符（Hermitian）,1.线性算符的定义,2.厄密算符的定义,三、算符的定义,算符：作用于一态函数，把这个态函数变成另一个态函数,满足如下运算法则的算符，称为线性算符,满足如下关系式的算符，称为厄密算符,用内积表示：,证明：力学量算符是线性算符,设1，2是力学量算符F的本征方程的两个解，有：,根据态叠加原理,c11+c22也是本征方程的解：,所以：,得证：,例,例,证明：力学量算符是厄密算符,力学量A的期望值为,取上式的复共轭,因为可观测力学量的期望值应为实数，即,得证：,因此，我们只需要研究(1)线性算符的运算特点、(2)厄密算符的性质(3)厄密算符的本征值等问题，就可知道所有力学量算符的基本性质,结论：所有力学量算符都是线性厄密算符,五、线性算符的运算,1.算符的和：,算符的和运算满足交换律和结合律,2.算符的积,算符的积不一定满足交换律,3.算符的对易式,定义：,如果：，称两算符对易，否则称不对易,六、厄密算符的性质,1.两厄米算符之和仍为厄米算符,3.无论两厄米算符是否对易，算符及都是厄米算符。,2.当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符。,4.,七、厄密算符的本征值与本征函数,厄密算符的本征值方程,厄密算符作用于一波函数，结果等于这个波函数乘以一个常数，则称是的本征值，为属于的本征函数，此方程称为算符的本征值方程。全部本征值是且仅是相应力学量A的所有可能取值（或测量值）.,2.在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。,厄米算符的平均值、本征值、本征函数有如下定理：,1.厄米算符的本征值为实数。,3.厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。,4.厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。,5.厄米算符的本征函数系具有完备性。,6.厄米算符的本征函数系具有封闭性。,定理1厄密算符的本征值是实数,定理2在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符,定理3厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.,正交归一的表示形式：,分立谱:,连续谱：,定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化：,如果对于同一本征值有多个独立的本征函数,则称本征值a是f重简并的，,这f个函数不一定是彼此正交的，但它们可以重新组合成f个独立而彼此正交的新函数，这些新函数依然是本征值a的本征函数。,例,1.找正交归一化函数,2.看它们是否依然简并,定理3厄密算符的任意两个属于不同本征值的本征函数正交.,定理4属于同一本征值的多个简并本征函数可经重组后正交归一化,由以上两定理，可以认定厄密算符的本函数是彼此正交的,定理5厄密算符的本征函数具有完备性，构成完备系.,体系的任一态函数都可用在任一力学量的本征函数集上展开，不再需要添加其他任何波函数。,定理6厄密算符的本征函数具有封闭性.,不证？,求展开系数：,展开系数的物理意义（1）：处于本征态的概率,证明：计算力学量A的期望值,展开系数的物理意义（2）：在态对力学量A进行测量，测得本征值的概率,证毕！,小结：在任一态（叠加态）下对随意力学量A进行测量，得到的只能是它的本征值之一！,测得这个本征值的概率就是展开式中对应本征函数前的系数！,证毕！,封闭性是完备性的充要条件：,本征函数的封闭性也可看作是函数按本征函数展开，而展开系数恰好是本征函数的复共轭。,例,例,例,备注,施密特正交化方法,第二讲：几种基本力学量算符及其本征值问题,引入：算符与力学量的关系,当体系处于的本征态时，表示的力学量有确定值，该值就是在态中的本征值,本征态,非本征态,当体系处于的态(x)不是的本征态，那么这个态总可以展开在由本征函数构成的完备集上。因此测量力学量A所得到的值虽不是确定的，但它必定是算符的某个本征值，测得此本征值的概率为。,证明,力学量取某一本征值的几率,方法1,方法2,若(x)为归一化的波函数，则F平均值为,力学量算符的平均值,证：,若波函数没有归一化，则平均值的计算方法为,若本征值有连续谱,总之：（1）各力学量算符的本征值问题，具有重要的物理意义（2）了解常用力学量算符（如坐标、动量、角动量等）的本征值问题，是有必要的,（一）坐标算符,本征值谱为连续谱,本征值为的本征函数,正交归一性,完备性,本征方程,任意两个属于不同本征值的本征函数正交,封闭性与完备性的充要条件，所以可以这么写,（二）动量算符,本征值谱为连续谱，区间内所有实数,本征值为的本征函数,本征方程,由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,为此，我们采用球坐标较为方便.,(I)直角坐标系,（三）角动量算符的形式,直角坐标与球坐标之间的变换关系,这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,),(II)球坐标,将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：,将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：,对于任意函数f(r,)（其中，r,都是x,y,z的函数）则有：,将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：,将上面结果代回原式得：,则角动量算符在球坐标中的表达式为：,可以看出，球坐标第中，角动量算符只与有关,（四）Lz角动量算符,求归一化系数,正交性：,I.波函数有限条件，要求z为实数；II.波函数单值条件，要求当转过2角回到原位时波函数值相等，即：,合记之得正交归一化条件：,(I)的本征方程,Lz角动量算符本征方程,本征函数,（五）L2角动量算符,取本征方程,因为Lz是厄密算符，它的本征函数集是完备的,可以在它上面展开,L2的本征值是（2l+1)简并的,例,例,例,例,证,例,证,第三讲：算符的对易关系,算符对易关系的定义,设和为两个算符,若，,则称与对易,若，,则称与不对易,引入对易子：,算符对易关系的运算法则,但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间也相互对易。,坐标与动量对易关系总结,其他力学量一般都是坐标和动量的函数，知道以上基本的对易关系，其他力学量之间的对易关系也都可以得到。,（一）量子力学最基本的对易关系,（二）角动量算符之间的基本对易关系,证：,【证明】,例，证明对易关系式,定理1.如果两算符具有共同的本征函数完备系，则它们对易,（四）算符对易的条件及其意义,逆定理.如果两算符对易，则它们具有共同的本征函数完备系。,【证明】,定理推广：（两个以上的算符）一组力学量算符具有共同完全本征函数系的充要条件是这些算符相互对易。即：如果一组算符有共同本征函数，而且这些共同本征函数组成完全系，则这组算符中的任何一个和其余的算符都对易。这个定理的逆定理也成立。,（五）算符对易的物理意义,1.若一组不同力学量相互对易，则它们有共同的本征态，当体系处于共同本征态时，它们同时具有确定值。,2.若一组相互对易的力学量能完全确定一个量子体系的状态，即构成一个力学量的完全集合，则这组完全集合中力学量的数目一般与体系的自由度的数目相等,（五）算符不对易测不准原理,引言,由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中进行测量时，究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度：,测量值F与平均值的偏差的大小。,均方差,即等于平方的平均值减去平均值的平方,测不准关系的推导,是算符或普通数,或,对比方程：,例1：坐标和动量的测不准关系,海森堡测不准关系(1927年）,海森堡，德，19011976,1932年诺贝尔物理学奖,由测不准关系看出：若两个力学量算符和不对易，则一般说来与不能同时为零，即和不能同时测定（但注意的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符和对易，则可以找出这样的态，使和同时满足，即可以找出它们的共同本征态。,比如：,表明：和不能同时为零，坐标的均方差越小，则与它共轭的动量的均方偏差越大，亦就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。,海森堡测不准关系,角动量的测不准关系,当粒子处在的本征态时,谐振子的零点能的量子根源,科学界最珍贵的照片永恒的瞬间,（29人，17人诺贝尔物理学奖）,WernerHeisenberg维尔纳海森堡,第三排：奥古斯特皮卡尔德、亨里奥特、保罗埃伦费斯特、爱德华赫尔岑、顿德尔、埃尔温薛定谔、维夏菲尔特、沃尔夫冈泡利、维尔纳海森堡、拉尔夫福勒、里昂布里渊，第二排：彼得德拜、马丁努森、威廉劳伦斯布拉格、亨德里克安东尼克雷默、保罗狄拉克、阿瑟康普顿、路易德布罗意、马克斯玻恩、尼尔斯玻尔，第一排：欧文朗缪尔、马克斯普朗克、玛丽居里、亨德里克洛伦兹、阿尔伯特爱因斯坦、保罗朗之万、查尔斯欧仁古耶、查尔斯威耳逊、欧文理查森,第四讲：力学量平均值随时间的演化,（1）,由薛定谔方程有,1、力学量平均值随时间的演化,利用对易子记号,（2）,因是厄米算符,2、力学量守恒的条件,可以证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变,结论:力学量的平均值不随时间而变化,则称为运动恒量，或在运动中守恒。,证明力学量F测量值的概率分布也不随时间改变,考虑到可以选择包含和在内的一组力学量完全集，将其共同本征态记为（n是一组完备的量子数标记）有：,在态下，t时刻测量得到的概率为,下面证明成立,而,得,在球坐标系中算符等只是的函数，与时间t无关，对时间偏微商为0。,Ex2.粒子在中心力场中运动的角动量,角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量守恒定律！,角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈米顿算符对易,Ex3.哈米顿算符不显含时间的体系的能量,当不显含t时，,又,即：能量守恒定律！,哈米顿算符可表示为：,Ex4.哈米顿算符对空间反射不变时的宇称守恒,反射算符的本征值,具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。,宇称守恒律：,则为运动恒量，即宇称守恒,证：,故,与经典力学守恒量不同,量子体系的守恒量并不一定取确定值,即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态.一个体系在某时刻是否处于某守恒量的本征态,决定于其初始条件.,(2)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值.,关于量子体系的守恒量的几点说明,若初始时刻体系处于守恒量F的本征态,则体系保持在该本征态;反之,若初始时刻体系并不处于守恒量F的本征态,则以后的状态也不是F的本征态,但F的平均值和测量值概率的分布不随时间变.,(1)定态是体系的一种特殊的状态,即能量本征态,在定态下,一切力学量(不显含时间t,但不管是否守恒量)的平均值和测量值概率分布都不随时间而改变;(2)守恒量则是体系的一种特殊的力学量,它与体系的Hamilton量对易,守恒量则在一切状态下(不管是否定态)的平均值和测量值概率分布都不随时间而改变.只当一个体系不处于定态,而所讨论的力学量又不是体系的守恒量时,才需要研究该力学量的平均值和测量值概率分布如何随时间改变.,守恒量与定态的区别,思考题:判断下列提法的正误,在非定态下,力学量的平均值随时间变化设体系处于定态,则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间变化(3)设Hamilton量为守恒量,则体系处于定态,3.能级简并与守恒量关系守恒量在能量本征值问题中的运用,附录1：用到的部分积分公式,在一些具体的问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算，下面我们把动量的本征函数变为分离值，即箱归一化。,我们设想粒子被限制在一个正方形箱中，箱的边长为L，取箱的中心作为坐标原点，要求波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的边界条件称为周期性边界条件。加上这个条件后，动量的本