第二章-画法几何(新版)

21点的投影,22直线的投影,23平面的投影,24线面相对位置,第二章画法几何,25投影变换,26曲线、曲面和立体,27平面与立体相交,28两立体相交,29轴测投影,华东交通大学工程图学教研室,点的两面投影,点的三面投影,特殊点的投影,投影与坐标的关系,两点间的相对位置,重影点及其可见性,点的单面投影,21点的投影,华东交通大学工程图学教研室,例题,一、点的单面投影,A,a,H,B,若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。,若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。,(b),华东交通大学工程图学教研室,A,a,H,V,两面投影规律：两投影连线垂直于投影轴；即：aaOX。点的一投影到投影轴的距离等于该空间点到另一投影面的距离。即aax=Aa；aax=Aa。,ax,二、点的两面投影,华东交通大学工程图学教研室,三面投影规律：,相邻两投影垂直相应投影轴；即：aaox;aa”oz;aayoyH;a”ayoyW;,点到某一投影面的距离等于该点另外两投影到相应投影轴的距离；即：Aa”=aaz=aay；Aa=aax=a”az；Aa=aax=a”ay,a,a,o,X,H,V,ax,A,a,a,X,o,三、点的三面投影,华东交通大学工程图学教研室,投影面上的点,投影轴上的点,X,O,X,V,Y,YH,Yw,H,O,Z,W,Bb,Z,Cc”,四、特殊点的投影,华东交通大学工程图学教研室,：其中一个投影与自身重合，另外两个投影位于投影轴上。,：其中两个投影与自身重合，第三个投影位于投影原点。,设空间点坐标为A(X,Y,Z)，则：,Xaazaay（空间点A到W面的距离）,Yaaxaaz（空间点A到V面的距离）,Zaaxaay（空间点A到H面的距离）,五、点的投影与坐标关系,华东交通大学工程图学教研室,ax,az,ay,ay,X,V,Z,H,A,a,a,a”,O,Z,Y,W,B,b,b,b”,a,a,a”,b,b,b”,Y,X,Z,Y,Z,X,YH,YW,六、两点相对位置,华东交通大学工程图学教研室,Y,a,a,a”,(b),b,b”,X,V,Z,H,A,a,a,a”,Z,W,B,(b),b,b”,七、重影点及其可见性,华东交通大学工程图学教研室,a,a,a,b,b,b,c,c,c,X,YH,Z,YW,【例题1】已知点的两个投影，求第三投影。,华东交通大学工程图学教研室,a,a,a,b,b,b,【例题2】已知点A的坐标为A(35,20,10)，点B位于A点的右边20、上方15、后方10，求作A、B两点的投影。,华东交通大学工程图学教研室,直线的投影,直线上的点,直线的真长及其倾角,两直线相对位置,一边平行于投影面的直角投影规律,22直线的投影,华东交通大学工程图学教研室,A,B,b,a,C,D,c,d,E,F,e(f),直线的投影特性：一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。,一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线,直线与三个投影面均倾斜。,直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。,直线垂直于某一投影面。,一、直线的投影,华东交通大学工程图学教研室,直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：,水平线,直线平行于H面，倾斜于V、W面。,正平线,直线平行于V面，倾斜于H、W面。,侧平线,直线平行于W面，倾斜于H、V面。,水平线,侧平线,正平线,1、投影面平行线,华东交通大学工程图学教研室,水平线的投影特性：1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为；与OY轴的夹角为；=0。2.水平线的V投影abOX；W投影abOY；,反映真长TL,投影面平行线水平线,华东交通大学工程图学教研室,正平线的投影特性：1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为；与OZ轴的夹角为;=0。2、正平线的H投影abOX；W投影abOZ；,反映真长TL,投影面平行线正平线,华东交通大学工程图学教研室,反映真长TL,侧平线的投影特性：1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为；与OZ轴的夹角为；=0。2.侧平线的V投影abOZ；H投影abOY；,投影面平行线侧平线,华东交通大学工程图学教研室,按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为：,铅垂线,直线垂直于H面，平行于V、W面。,正垂线,直线垂直于V面，平行于H、W面。,侧垂线,直线垂直于W面，平行于H、V面。,投影面垂直线,铅垂线,侧垂线,正垂线,2、投影面垂直线,华东交通大学工程图学教研室,铅垂线投影特性：1、铅垂线的H投影积聚为一点；2、铅垂线的V、W投影反映直线真长，且平行于OZ轴。,投影面垂直线铅垂线,华东交通大学工程图学教研室,正垂线投影特性：1、正垂线的V投影积聚为一点；2、正垂线的H、W投影反映直线真长，且平行于OY轴。,投影面垂直线正垂线,华东交通大学工程图学教研室,侧垂线投影特性：1、侧垂线的W投影积聚为一点；2、侧垂线的V、H投影反映直线真长，且平行于OX轴。,投影面垂直线侧垂线,华东交通大学工程图学教研室,b,c,b,c,c”,ab=40,c”b”=30,【例题1】已知ABC的边AB为水平线，AB=40mm,=30，B点位于A点的右前方;BC为侧平线,BC=30mm,=60;且C点位于B点后上方，求作此ABC的投影。,华东交通大学工程图学教研室,一般线的投影特性：一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。,3、一般位置线,华东交通大学工程图学教研室,直角三角形法一条直角边线段投影长度另一直角边线段的坐标差则：斜边即为真长，其与投影间的夹角即为直线段与该投影面的倾角。,AB真长,AB真长,ZAB,YAB,二、一般线的真长与倾角,华东交通大学工程图学教研室,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取AC=25mm,c,c,【例题1】试在直线AB上其一点C，使AC=25mm，求点C的投影。,华东交通大学工程图学教研室,量取YAB,R=40mm,YAB,a,b,a,b,【例题2】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，B点位于A点右前方，求AB的H投影。,华东交通大学工程图学教研室,a,b,a,b,YAB,量取YAB,【例题3】已知直线AB的V投影，且=30，B点位于A点右前方，求AB的H投影。,华东交通大学工程图学教研室,a,b,a,b,zAB,直线的H投影长,以直线的H投影长为半径，作圆弧,直线AB真长,【例题4】已知直线AB的V投影，且=30，B点位于A点右前方，求AB的H投影。,华东交通大学工程图学教研室,A,B,C,a(b),E,F,D,e,d,f,直线上点的投影特性:1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：ED:DF=ed:df=ed:df=ed:df,(c),三、直线上的点,华东交通大学工程图学教研室,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K点在直线AB上,【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？,华东交通大学工程图学教研室,结论：点是否在直线上？对于一般位置线而言，其任意两投影满足从属性，则第三投影必定满足。,K点不在直线AB上,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,k,k,a,b,k,O,【例题2】判断点K是否在直线AB上。,华东交通大学工程图学教研室,结论：点是否在直线上？对于投影面平行线而言，必须检查反映直线真长的投影是否满足从属性。,a,b,a,b,C,c,X,O,【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,华东交通大学工程图学教研室,两直线的相对位置,两直线交叉,两直线相交,两直线平行,四、两直线的相对位置,华东交通大学工程图学教研室,两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即：ABCD，则：abcd；abcd；a”b”c”d”。,1、两直线平行,华东交通大学工程图学教研室,两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。,2、两直线相交,华东交通大学工程图学教研室,两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉。,3、两直线交叉,华东交通大学工程图学教研室,两直线交叉,【例题1】判断两直线的相对位置（方法一）,华东交通大学工程图学教研室,c,b,O,a,a,c,d,d,b,X,1,=1d,=1c,两直线交叉,【例题2】判断两直线的相对位置(方法二）,华东交通大学工程图学教研室,d,e,f,f,e,c,a,a,b,c,d,(b),(k),l,l,k,作klef,作klef,【例题3】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF。,华东交通大学工程图学教研室,直角投影规律：空间两直线垂直相交，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。,五、一边平行于投影面的直角投影,华东交通大学工程图学教研室,仍然遵循一边平行于投影面的直角投影规律。,两直线交叉垂直,华东交通大学工程图学教研室,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,【例题1】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。,华东交通大学工程图学教研室,a,a,b,b,c,d,c,(d),n,m,m,两交叉线间距离,【例题2】求两直线AB、CD之间的公垂线MN及其距离。,华东交通大学工程图学教研室,k,k,a,b,a,b,【例题3】求点K到直线AB的距离。,华东交通大学工程图学教研室,a,f,e,e,f,a,b,c,d,b,d,c,o,o,=XAO,XAO,半对角线长,【例题4】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。,华东交通大学工程图学教研室,23平面的投影,一、平面的表示方法,二、各种位置平面,三、平面上的点和直线,华东交通大学工程图学教研室,1、用几何元素表示平面,2、用迹线表示平面,一、平面的表示方法,华东交通大学工程图学教研室,(1)不在同一直线上的三点,(2)一直线和线外一点,(3)两相交直线,(4)两平行直线,(5)平面图形,1、用几何元素表示平面,华东交通大学工程图学教研室,PW,2、用迹线表示平面,华东交通大学工程图学教研室,平面,一般位置平面,投影面垂直面,投影面平行面,铅垂面,正垂面,侧垂面,水平面,正平面,侧平面,对H、V、W面均倾斜,H面，对V、W面均倾斜,V面，对H、W面均倾斜,W面，对H、V面均倾斜,H面，V面，W面,V面，H面，W面,W面，H面，V面,二、各种位置平面,华东交通大学工程图学教研室,铅垂面的投影特性：1、水平投影abc积聚为一条线，积聚线与OX、OY夹角反映了平面与V、W面的、角，其=90；2、abc和abc为ABC的类似形;,迹线平面表示,投影面垂直面铅垂面,华东交通大学工程图学教研室,正垂面的投影特性：1、平面的正面投影abc积聚为一条线；积聚线与投影轴的夹角反映了平面的、角，其=90。2、abc、a”b”c”为ABC的类似形;,迹线平面表示,投影面垂直面正垂面,华东交通大学工程图学教研室,侧垂面的投影特性：1、侧面投影a”b”c”积聚为一条线；积聚线与投影轴的夹角反映了平面的、角，其=90；2、abc、abc为ABC的类似形；,迹线平面表示,投影面垂直面侧垂面,华东交通大学工程图学教研室,水平面的投影特性：1、abc、a”b”c”积聚为一条线，且平行于投影轴。2、水平投影abc反映ABC实形。,迹线平面表示,投影面平行面水平面,华东交通大学工程图学教研室,正平面的投影特性：1、abc、abc积聚为一条线，具有积聚性。2、正平面投影abc反映ABC实形。,投影面平行面正平面,华东交通大学工程图学教研室,侧平面的投影特性：1、abc、abc积聚为一条线，具有积聚性；2、侧平面投影abc反映ABC实形。,投影面平行面侧平面,华东交通大学工程图学教研室,一般位置平面的投影特性:1、abc、abc和abc均为ABC的类似形。2、不反映、的真实角度。,一般位置平面,华东交通大学工程图学教研室,一般位置平面上的点和直线,特殊位置平面上的点和直线,平面内对投影面的最大倾斜线,三、平面上的点和直线,华东交通大学工程图学教研室,1、点在平面上的几何条件：,2、直线在平面上的几何条件：,3、基本作图：判定点或直线是否在平面上；在平面上进行定点或定直线。,若点在平面上，则该点必定位于平面上的某一直线上。反之，若一点位于平面上的某一直线上，则该点必定位于平面上。,若直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个已知点或通过平面上的一个点且平行于平面上的某一条直线。,平面上的点和直线,华东交通大学工程图学教研室,a,b,c,a,b,c,k,k,e,e,K点不在ABC上,【例题1】判定点K是否在平面ABC上？,华东交通大学工程图学教研室,a,b,c,b,c,a,k,k,1,2,1,2,【例题2】试在平面ABC上确定一点K，使点K到V、H投影面的距离均为25mm。,华东交通大学工程图学教研室,a,a,b,b,c,c,d,d,e,f,e,f,k,l,不在,【例题3】判定点EF是否在平面ABCD上？,华东交通大学工程图学教研室,c,d,e,f,f,【例题4】五边形ABCDE为平面图形，BCH面，AEBC，试完成其正面投影。,华东交通大学工程图学教研室,e,d,c,e,a,b,a,b,c,d,例题5】已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。,华东交通大学工程图学教研室,e,f,d,a,b,c,d,f,e,【例题6】已知ABC与点D和直线EF共面，试完成ABC的两面投影。,华东交通大学工程图学教研室,特殊位置平面是指平面垂直于投影面，在所垂直的投影面内，平面的投影积聚为一直线。该平面上的点、直线的一个投影必定位于平面的积聚性投影上。,特殊位置平面上的点和直线,华东交通大学工程图学教研室,平面内对投影面的最大倾斜线,平面内与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大倾斜线。在平面无数条最大倾斜线，它们是一组互相平行的直线。,最大倾斜线的投影特性：1.对投影面倾角最大的直线；2.最大倾斜线垂直于平面内的投影面平行线；3.平面对投影面的夹角等于平面内的最大倾斜线对投影面的倾角。,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】求平面ABC的角。,a,b,c,a,c,b,作图步骤1、作面内的一条水平线；2、作对H面的最大倾斜线；3、求最大倾斜线的倾角；4、此倾角等于该平面对H面的倾角。,华东交通大学工程图学教研室,a,b,c,a,c,b,作图步骤1、作面内的一条正平线；2、作对V面的最大倾斜线；3、求最大倾斜线的倾角；4、此倾角等于该平面对V面的倾角。,【例题2】求平面ABC的角。,华东交通大学工程图学教研室,【例题3】已知ABC平面的=30，边AB为水平线，试完成ABC的正面投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题4】已知AB为平面ABC对H面的最大倾斜线，试完ABC的正面投影。,华东交通大学工程图学教研室,24线面相对位置,一、直线与平面以及两平面平行问题,二、直线与平面以及两平面相交问题,三、直线与平面以及两平面垂直问题,华东交通大学工程图学教研室,四、点线面综合示例,一、直线与平面以及两平面平行,1、直线与一般位置平面平行,2、平面与一般位置平面平行,3、直线、平面与投影面垂直面平行,华东交通大学工程图学教研室,几何条件:直线必需平行于平面上的某一直线。,d,d,作adef,EF不平行ABC,1、直线与一般位置平面平行,华东交通大学工程图学教研室,【例2】过点A作水平线AB=35mm，且平行于DEF。,g,b,作abfg并量取ab=35mm,华东交通大学工程图学教研室,2、平面与一般位置平面平行,几何条件：一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两条相交直线。,d,d,ADHGBCHE两平面平行,华东交通大学工程图学教研室,3、直线、平面与投影面垂直面平行,平面具有积聚性，则平面的积聚性投影应平行于直线的同面投影。,两个同一投影面垂直面平行，则两平面的积聚性投影相互平行。,华东交通大学工程图学教研室,二、直线与平面以及两平面相交,1、一般位置直线与投影面垂直面相交,3、一般位置面与投影面垂直面相交,5、一般位置线与一般位置平面相交,6、两个一般位置平面相交,4、两个同一投影面垂直面相交,2、投影面垂直线与一般位置面相交,华东交通大学工程图学教研室,1、直线与投影面垂直面相交,华东交通大学工程图学教研室,2、投影面垂直线与一般位置面相交,d,d,E,F,A,B,C,E,e,f,a,b,e(f),b,c,a,华东交通大学工程图学教研室,3、一般位置面与投影面垂直面相交,华东交通大学工程图学教研室,4、两个同一投影面垂直面相交,m(n),华东交通大学工程图学教研室,5、一般位置线与一般位置平面相交,解题步骤：1、过EF作正垂面Q。2、求Q平面与ABC的交线MN。3、求交线MN与EF的交点K。,m,n,QV,4、可见性判别,华东交通大学工程图学教研室,可见性判别方法,判别可见性的原理是利用重影点。,H,V,a,b,c,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,f,k,K,k,e,华东交通大学工程图学教研室,利用重影点判别可见性,f,e,e,f,b,a,a,c,b,c,k,k,(),(),华东交通大学工程图学教研室,6、两个一般位置平面相交,求交线步骤：1、用直线与平面求交点的方法求两平面的共有点；2、可见性判别。,华东交通大学工程图学教研室,判别两平面的可见性,a,（）,(),判别可见性的原理是利用重影点。,华东交通大学工程图学教研室,三、直线与平面以及两平面垂直问题,1、直线与投影面垂直面垂直,2、直线与一般位置面垂直,3、两平面相互垂直,华东交通大学工程图学教研室,1、直线与一般位置面垂直,几何条件:直线必须垂直于该平面上的任意两相交直线；,基本作图：,判别直线是否与平面垂直,过空间一点作已知平面的垂线,过空间一点作已知直线的垂面,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】判别直线是否与平面垂直？,EFABC,华东交通大学工程图学教研室,【例题2】过空间一点E作已知平面的垂线EF。,华东交通大学工程图学教研室,【例题3】过空间一点A作已知直线的垂直面。,华东交通大学工程图学教研室,2、直线与投影面垂直面垂直,结论：1、垂直于投影面垂直面的直线，必定是该投影面的平行线。2、垂直于投影面平行线的平面，必定是该投影面的垂直面。,华东交通大学工程图学教研室,3、两平面相互垂直,几何条件：一个平面上有一条直线垂直于另一平面或一平面通过另一平面的法线。,ABCEFG,华东交通大学工程图学教研室,PV,a,b,a,b,【例题4】包含直线AB作一平面与正垂面P垂直。,华东交通大学工程图学教研室,华东交通大学工程图学教研室,四、综合作图题示例,1、审题明确题意、已知条件和作图要求。2、空间分析逆推分析法：假设满足题目要求的几何元素已经给出，将它和题目所给的几何元素一起，按题目要求的几何条件逐一分析，综合研究它们之间的相对位置和从属关系，进而探求由给定的几何元素确定所求的几何元素的途径，进而得出解题方法。轨迹分析法：根据题目要满足的若干几何条件逐个地运用空间几何元素轨迹的概念，分析所求的几何元素在该条件下的空间几何轨迹，然后综合这些空间几何轨迹取公共元素，进而得出解题方案。3、确定作图步骤，运用基本作图完成投影图解题方案选定后，就要决定作图步骤，先做什么，后做什么。并熟练运用各种基本作图方法，完成投影图。,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】求点K到直线AB的距离。,KL真长,ZKL,作图步骤1、过点K作直线AB的垂面KMKN；2、求所作垂面与直线AB的交点L；3、连接KL，用直角三角形法求KL的实长。,PV,华东交通大学工程图学教研室,【例题2】已知直角三角形ABC的水平投影，及直角边AB的V投影，试完成其正面投影。,b,c,b,a,a,作图步骤1、过点作直线AB的垂直面A；2、在垂直面A上，运用平面定线方法确定AC边；3、连线完成直角三角形ABC的投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题3】作一直线与两交叉直线AB和CD相交，同时与直线EF平行。,华东交通大学工程图学教研室,【例题4】过点M作直线MN，使其与ABC平行，且与直线EF相交。,e,f,f,e,m,m,a,b,b,a,c,c,作图步骤1、过点M作平面M平行于已知平面ABC；2、求平面M与已知直线EF的交点N；3、连接MN,华东交通大学工程图学教研室,【例题5】已知直线AB与EFG平面的夹角为60，AB在EFG上的正投影为AC，求作AB的两投影。,ZC1,华东交通大学工程图学教研室,【例题6】已知等边ABC与H面的倾角=30，试完成该等边ABC的两面投影。,等边ABC高BD的实长,ZBD,作图步骤1、求作等边高的实长2、直角三角形法求作的坐标差,华东交通大学工程图学教研室,【例题7】已知等腰的顶点和一腰DE在直线DG上，另一腰，且点在上，试完成的两面投影。,a,a,b,b,c,c,m,n,d,m,n,d,g,g,作图步骤：1、过D作平面DJK;2、求DJK与MN交点F;3、求DF的实长;4、在dg上,取DE=DF；5、连接等腰三角形各条边,完成投影图。,华东交通大学工程图学教研室,【例题8】过ABC上点K作直线KL，使其与直线MN相交于L，且KLGF。,25投影变换,一、概述,二、换面法,三、例题,华东交通大学工程图学教研室,在画法几何中，对点、线、面的定位和度量问题，若所给空间元素位特殊位置时，则它们的投影能反映一些度量关系，若所给元素为一般位置时，它们的投影则不能反映度量关系，需通过一些基本作图才能求得。能否将所给的处于一般位置的空间几何元素，通过投影变换使其在投影体系中处于特殊位置或者对解题有利的位置。在画法几何中，常用的方法有：换面法和旋转法。,一、概述,华东交通大学工程图学教研室,二、换面法,换面法的基本概念,换面法的基本规律,六个基本问题,新投影面的设置原则,华东交通大学工程图学教研室,换面法的基本概念,换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影体系取代原投影体系，使空间几何元素在新投影体系下，处于特殊位置或对解题有利的位置。,X1,V/H投影体系变换为V1/H投影体系,华东交通大学工程图学教研室,新投影面的设置原则,新投影面必须处于对解题有利的位置。新投影面必须垂直原投影体系中的某一投影面。,华东交通大学工程图学教研室,换面法的基本规律,点的一次变换,点的多次变换,华东交通大学工程图学教研室,点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴。,变换规律：,点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。,点的一次变换,华东交通大学工程图学教研室,点在V/H1体系中的投影,华东交通大学工程图学教研室,点的多次变换,华东交通大学工程图学教研室,六个基本问题,一般位置直线变换为投影面平行线,一般位置直线变换为投影面垂直线,投影面平行线变换为投影面垂直线,一般位置平面变换为投影面垂直面,一般位置平面变换为投影面平行面,投影面垂直面变换为投影面平行面,华东交通大学工程图学教研室,一般位置直线变换为投影面平行线,华东交通大学工程图学教研室,一般位置直线变换为投影面平行线,华东交通大学工程图学教研室,投影面平行线变换为投影面垂直线,X,V,H,a,a,b,b,华东交通大学工程图学教研室,一般位置直线变换为投影面垂直线,华东交通大学工程图学教研室,a,c,b,b,a,c,一般位置平面变换为投影面垂直面,华东交通大学工程图学教研室,投影面垂直面变换为投影面平行面,华东交通大学工程图学教研室,一般位置平面变换为投影面平行面,华东交通大学工程图学教研室,反映点C到直线AB的距离,X,a,b,c,a,b,c,【例题1】求点C到直线AB的距离,并作出垂线的投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题2】已知等边ABC的一边BC位于直线EF上，试完成该ABC的两面投影。,b,例题3】求两直线AB与CD的公垂线及公垂线的实长。,华东交通大学工程图学教研室,a,c,b,b,a,c,s,s,反映点S到平面的距离,【例题3】求点S到平面ABC的距离,并作出垂线的投影。,华东交通大学工程图学教研室,华东交通大学工程图学教研室,【例题4】补全矩形ABCD的水平投影。,d1,华东交通大学工程图学教研室,【例题5】求作两平面间的交线MN。,华东交通大学工程图学教研室,26曲线、曲面和立体,一、平面立体及其表面上的线和点,二、平面曲线和空间曲线,三、曲面、回转体及其表面上的线和点,四、圆柱螺旋线和平螺旋面,华东交通大学工程图学教研室,一、平面立体及其表面上的线和点,立体表面是由平面所围成的立体，称为平面立体。平面立体的投影实质上是围成平面立体的各表面的投影的集合。常见的平面立体有：棱柱体、棱锥体和棱台。,在平面立体表面上作直线和点的投影，实质上是在平面立体相应棱面上作直线和点，棱面上直线和点的可见性取决于直线和点所处棱面的可见性。,华东交通大学工程图学教研室,1、棱柱体投影,华东交通大学工程图学教研室,直棱柱的投影图,华东交通大学工程图学教研室,斜四棱柱投影图,华东交通大学工程图学教研室,直棱柱体表面上直线和点,华东交通大学工程图学教研室,斜四棱柱体表面上直线和点,华东交通大学工程图学教研室,H,W,V,2、棱锥体的投影,华东交通大学工程图学教研室,三棱锥的投影图,华东交通大学工程图学教研室,棱锥体表面上直线和点,华东交通大学工程图学教研室,二、平面曲线和空间曲线,一个动点的运动轨迹成为曲线。动点有规则地运动形成规则曲线，不规则地运动形成不规则曲线。通常曲线可分为平面曲线和空间曲线。平面曲线曲线上各点均位于同一平面上，如：圆、抛物线、双曲线等。空间曲线曲线上连续四点不位于同一平面上，如：圆柱螺旋线等。,华东交通大学工程图学教研室,1、平面曲线的投影,当平面曲线所在平面平行于投影面时，则平面曲线的投影反映实形；,当平面曲线所在平面垂直于投影面时，则平面曲线的投影为一直线段；,当平面曲线所在平面倾斜于投影面时，平面曲线的投影仍为曲线，但不反映其实形。,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】求作四边形平面上曲线的水平投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题2】求作正垂面P上曲线的正面投影和侧面投影。,PV,华东交通大学工程图学教研室,2、空间曲线的投影,空间曲线的投影为平面曲线；空间曲线的切线投影与空间曲线的投影相切与对应点。,华东交通大学工程图学教研室,三、曲面、回转体及其表面上的线和点,(一）曲面的形成和分类,(二）回转面与回转体,(三）常用非回转面直纹面,(四）平螺旋面与螺旋楼梯,华东交通大学工程图学教研室,曲面的形成和分类,规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线段，也可以是曲线段；曲面的分类：,按母线的形状,可分为：直纹面和曲线面；按母线的运动方式,可分为：回转面和非回转面；按曲面可展性,可分为：可展曲面和不可展曲面；,华东交通大学工程图学教研室,回转面和回转体,母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。如：圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等。由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，称为回转体。如：圆柱体、圆锥体、圆球体、圆环体。,华东交通大学工程图学教研室,1、圆柱体的投影,圆柱体是由圆柱面和两个圆平面组成。,华东交通大学工程图学教研室,圆柱体表面上的线和点,a,a,在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。,华东交通大学工程图学教研室,2、圆锥体的投影,圆锥是由圆锥面和一个圆平面组成。,华东交通大学工程图学教研室,用素线法在锥面上定点,a,华东交通大学工程图学教研室,用纬圆法在锥面上定点,a,华东交通大学工程图学教研室,用纬圆法在锥面上定点,a,华东交通大学工程图学教研室,圆锥体表面上的线和点,华东交通大学工程图学教研室,3、圆台的投影,华东交通大学工程图学教研室,4、圆球体的投影,华东交通大学工程图学教研室,(m),n,圆球面上的点,圆球面上的线段,华东交通大学工程图学教研室,5、圆环体,形成外环面,形成内环面,华东交通大学工程图学教研室,环面上的线和点,华东交通大学工程图学教研室,6、单叶双曲回转面,单叶双曲回转面是由一直母线绕与其交叉的轴线旋转一周而形成的。,华东交通大学工程图学教研室,常用的非回转直纹面,1、柱面,2、锥面,3、双曲抛物面,4、柱状面,5、锥状面,华东交通大学工程图学教研室,1、柱面,直母线沿着一条曲导线且平行于一直导线运动所形成的曲面，称为柱面。,椭圆柱,斜圆柱,华东交通大学工程图学教研室,2、锥面,直母线沿着一条曲导线且通过一个导点运动后所形成的曲面称为锥面。,锥面上如何取点？,华东交通大学工程图学教研室,直母线沿着两条交叉直导线且平行于某一导平面运动后所形成的曲面称为双曲抛物面，也称为翘平面。,3、双曲抛物面,华东交通大学工程图学教研室,双曲抛物面的画法,华东交通大学工程图学教研室,4、柱状面,直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为柱状面。,柱状面的画法,华东交通大学工程图学教研室,直母线沿着一条曲导线和一条直导线且平行于一个导平面运动所形成的曲面称为锥状面。,锥状面的画法,5、锥状面,华东交通大学工程图学教研室,(四)圆柱螺旋线和平螺旋面,1、圆柱螺旋线,2、平螺旋面,3、中空的平螺旋面画法,4、螺旋扶手的画法,5、螺旋楼梯的画法,华东交通大学工程图学教研室,一动点沿着圆柱面的直母线作等速移动，同时又绕圆柱面的轴线作等速旋转的合运动轨迹，称为圆柱螺旋线。,圆柱螺旋线的画法,1、圆柱螺旋线,华东交通大学工程图学教研室,2、平螺旋面,直母线沿着圆柱螺旋线和其轴线且平行于与轴线垂直的导平面运动所形成的曲面称为平螺旋面。,华东交通大学工程图学教研室,3、中空的平螺旋面画法,华东交通大学工程图学教研室,4、螺旋扶手的画法,华东交通大学工程图学教研室,5、螺旋楼梯的画法,华东交通大学工程图学教研室,27平面与立体相交,一、截交线概述,二、平面与平面体相交,三、平面与回转体相交,华东交通大学工程图学教研室,平面截切立体，在立体表面留有的交线成为截交线。依据立体表面性质不同，立体截交线可分为：,平面体截交线和曲面体截交线,一、截交线概述,华东交通大学工程图学教研室,二、平面与平面立体相交,平面截切平面立体，在平面立体表面留有的交线，称为平面立体的截交线。,平面立体截交线的性质,平面立体截交线的求法,平面立体截交线作图步骤,例题,华东交通大学工程图学教研室,平面体截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。,平面体截交线是截平面与平面立体表面的公有线。,平面多边形的顶点是平面立体棱线与截平面的交点，边是截平面与平面立体各表面的交线。,平面体截交线的性质,华东交通大学工程图学教研室,平面立体截交线的求法,1、棱线交点法,2、棱面交线法,将平面立体上参与相交的各条棱线与截平面求交点，并将位于立体同一棱面上的两交点依次连接起来，即为所求平面立体的截交线。,将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。,华东交通大学工程图学教研室,求截交线的作图步骤,1)空间分析,3)截交线的投影作图,依据截平面与立体的相对位置,确定截交线的形状,确定截交线的投影特性,依据截平面、立体表面对投影面相对位置（是否有积聚性）,运用棱线交点法或棱面交线法，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。,4)整理立体的棱线投影,2)投影分析,依据截切后立体棱线状况，整理截断体的棱线、棱面投影。,华东交通大学工程图学教研室,1、空间分析,2、投影分析,3、投影作图,4、整理立体棱线,截交线的正面投影积聚为一条直线段，求作截交线的水平投影和侧面投影。,截交线为一条平面四边形。,【例题1】求作正四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。,采用何种作图方法？,华东交通大学工程图学教研室,1、空间分析：,截交线为平面几边形？平面七边形,2、投影分析：,截交线的正面投影？落在截平面的积聚性投影上；截交线的水平投影？其中六条边落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交于一条正垂线。,3、投影作图：,4、整理图线：,【例题2】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。,演示,华东交通大学工程图学教研室,1、空间分析,立体表面交线的形状？空间10边形两条截平面交线,2、投影分析,截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；,采用的是哪种解题方法？,水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；,侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。,3、投影作图,4、整理图线,【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。,演示,空间分析:,水平截平面与四棱台四各棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线；,【例题4】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影。,投影分析：,投影作图：,整理图线：,华东交通大学工程图学教研室,【例题5】完成穿孔五柱的侧面投影和水平投影。,空间与投影分析,水平截平面与五棱柱交于三条边；与三棱柱孔交于二条边；正垂截平面与五棱柱交于四条边；与三棱柱孔交于三条边；截平面之间有一条交线，被孔分成两段；,整理棱线投影,投影作图,演示,华东交通大学工程图学教研室,三、平面与回转体相交,平面截切回转体，在回转体表面留有的交线，称为回转体的截交线。,回转体截交线性质,回转体截交线的求解方法与步骤,回转体截交线求解示例,华东交通大学工程图学教研室,回转体截交线性质,1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。,2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。,华东交通大学工程图学教研室,回转体截交线的求解方法与步骤,1、空间分析,分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定回转体截交线的形状。,2、投影分析,分析截平面、回转体表面对投影面的相对位置(即是否有积聚性），确定截交线的投影特性。,3、投影作图,若截交线的投影为非圆曲线时，可用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的地方插补一般点，然后用光滑曲线连接各点；若截交线投影为圆或圆弧或直素线时，应运用尺规进行作图。,4、整理回转体轮廓线,检查回转体被截切后的曲面体轮廓素线或端面。,华东交通大学工程图学教研室,回转体截交线求解示例,1、圆柱体的截交线,2、圆锥体的截交线,3、圆球体的截交线,4、组合回转体的截交线,华东交通大学工程图学教研室,1、圆柱体的截交线,依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：,圆或圆弧,矩形,椭圆或椭圆弧,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】作出圆柱体被截切后的水平投影。,1、空间分析,分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状椭圆。,2、投影分析,截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求解的是截交线水平投影。,3、投影作图,4、整理轮廓线,演示,华东交通大学工程图学教研室,【例题2】分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性。,1、当45截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；,2、当45截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；,3、当45截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆；,华东交通大学工程图学教研室,【例题3】完成圆柱体截切后的侧面投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题4】完成圆柱体截切后的侧面投影。,华东交通大学工程图学教研室,【例题5】完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。,演示,华东交通大学工程图学教研室,2、圆锥体的截交线,依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五种：,华东交通大学工程图学教研室,【例题1】完成圆锥截切后的水平投影