第十五节用导数解决生活中的优化问题

第十五节用导数解决生活中的优化问题,第二章,【例1】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，产品的正品率P与日产量x(xN*)件之间的关系为P，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；(2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值,利润最大问题,自主解答：,解析：(1)y4000x2000x3600 xx3，所求的函数关系式是yx33600 x(xN*，1x40)(2)由(1)知y36004x2.令y0，解得x30.当1x30时，y0；当30x40时，y0.函数yx33600 x(xN*,1x40)在(1,30)上是单调递增函数，在(30,40)上是单调递减函数,当x30时，函数yx33600 x(xN*，1x40)取得最大值，最大值为30336003072000(元)该厂的日产量为30件时，日利润最大，最大值为72000元,点评：(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)，并根据实际意义确定定义域；,求函数yf(x)的导数f(x)，解方程f(x)0得出定义域内的实根，确定极值点；比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；还原到实际问题中作答(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，则只需根据实际情况判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.,1某公司生产一种产品，每生产1千件需投入成本81万元，每千件的销售收入R(x)(单位：万元)与年产量x(单位：千件)满足关系：R(x)x2324(09时，y0，所以当x9时，y有最大值故选C.答案：C,【例2】(2013佛山、江门二模)某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻，导致浓硫酸泄漏，对河水造成了污染为减少对环境的影响，环保部门迅速反应，及时向污染河道投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐渐溶化，水中的碱浓度f(x)与时间x(小时)的关系可近似地表示为：f(x)只有当污染河道水中碱的浓度不低于时，才能对污染产生有效的抑制作用,与分段函数有关的优化问题,(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑制作用的时间有多长？(2)第一次投放1单位固体碱后，当污染河道水中的碱浓度减少到时，马上再投放1个单位的固体碱，设第二次投放后水中碱浓度为g(x)，求g(x)的函数式及水中碱浓度的最大值(此时水中碱浓度为两次投放的浓度的累加),自主解答：,解析：(1)由题意知解得1x3或3x4，即1x4，能够维持有效的抑制作用的时间：413小时(2)由(1)知，x4时第二次投入1单位固体碱，显然g(x)的定义域为4x10，当4x6时，第一次投放1单位固体碱还有残留，,故g(x)；当6x10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，故当6x7时，g(x)2；当7x10时，g(x)1；所以g(x),当4x6时，g(x)；当且仅当时取“”，即x1，当6x10时，第一次投放1单位固体碱已无残留，当6x7时，g(x)0，所以g(x)为增函数；,当7x10时，g(x)为减函数；故g(x)maxg(7)，又0，所以当x13时，水中碱浓度的最大值为.,变式探究,2某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是RR(x)则总利润最大时，每年生产的产品是_件,解析：由题意得，总成本函数为CC(x)20000100 x，所以总利润函数为PP(x)R(x)C(x),而P(x)令P(x)0，得x300，易知x300时，P最大答案：300,用料最省问题,【例3】甲、乙两家工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问：供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？思路点拨：本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系,解析：(法一)根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总水管费用最省，如图，设点C距点D为x千米，则BD40，AC50x，BC.又设总的水管费用为y元，依题意有y3a(50x)5a(0x50),y3a，令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义知，函数在x30处取得最小值，此时AC50x20(千米)，,供水站建在A，D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省,(法二)如图，设BCD，则BC，CD，AC50.,设总的水管费用为f()，依题意有f()150a40af()40a,40a，令f()0，得cos.,根据问题的实际意义，当cos时，函数取得最小值，此时sin，tan.AC5020(千米)，即供水站建在A，D之间距甲厂20千米处，可使水管费用最省,变式探究,3如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数yx22，x2，2的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值,解析：设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(t，t22)(0t2)由题意得，点Q的坐标为(0,2)，直线BC的方程为y2.因为yx22，所以yx，,所以切线AB的斜率ky|xtt，所以切线AB的方程为y(t22)t(xt)，即：ytxt22，令y0得：x，所以A；令y2得：xt，所以B；,所以S222；令f(t)t，则f(t)1，令f(t)0，得t(舍去t)，,因为t(0，)时，f(t)0，t(，2)时，f(t)0，所以f(t)有极小值为f()2，该极小值也是最小值所以t时，S有最小值为4.梯形ABCD的面积的最小值为4.,容积(体积)有关的优化问题,【例4】用长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积？,解析：设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x0.5)m，高为：14.84x4(x0.5)3.22x，由3.22x0及x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，,则有yx(x0.5)(3.22x)(0x1.6)整理得：y2x32.2x21.6x，,所以y6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意舍去)，从而，在定义域(0,1.6)内只有在x1处使y0，由题意，若x过小(接近0)或过大(接近1.6)时，y值很小(接近0)，因此，当x1时，y取得最大值，,ymax22.21.61.8