专题几何不等式

主题图：几何不等式平面图中包含的线段长度、角度大小和图形的区域在很多情况下表示不同的关系。这种不相等的关系出现在几何问题上，因此称为几何不等式。解决这种问题的时候，我们经常使用课本上已经学过的基础定理，本论的主要目的是希望大家正确应用这种基础定理，通过几何、三角、代数等问题解决方法解决几何不等式问题。这些问题的难度比较大。在解题中，除了不等式的性质和已经证明的不等式外，还必须同时考虑几何的特征和性质。几何不等式在其形式上不能分为线段不等式、角度不等式、区域不等式三类。在解题中，不仅要使用几何不等式的一些基本定理，还要使用图形的面积公式。以下是一些基本定理。定理1在三角形中，两条边的和大于第三条边，两条边的差小于第三条边。定理2在同一个三角形中，大的边在大的角上，小的边在小的角上，反之亦然。定理3是两边对应的两个三角形中，第三个边大，另一个边大。定理4三角形任意点到两个顶点的距离之和小于从其他顶点到两个顶点的距离之和。定理5在直线l中，有点p引用直线l的斜线。射孔长的射线也更长，相反，射线长的射线也更长。图2-135所示。pa、PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB对l的私营，ha HB是pa PbPa 如果是Pb，则ha HB。事实上，被毕达哥拉斯定理所知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以Pa2-Pb2=ha2-hb2。整理很容易证明。清理6在ABC中，点p是边BC上的任意点Pa max ab，AC、如果点p是a或b，等号就成立了。说明max AB，AC表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，如果在p线段BH中，则PHBH使上述定理5知道PABAPa max ab，AC。同样，在p段HC中，pamax ab，AC。例1 yeyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy在AMB和AMC中，AM是公共边，BM=MC，ab AC是已知的定理3。AMB AMC，因此AMC BM=MC HC。h明细行节段MC的延长线显然使用了BH HC，因此Pb PC。示例2将p称为ABC内的随机点(图2-138)。(1)证明：a b c；(2)如果ABC是正三角形，边长为1:Pa Pb PC c，p b PC a，PC pa B .将这三个不等式加起来，将两边除以2即可另外，可以通过定理4知道Pa Pb a b，Pb PC b c，Pc pa c a把它们加起来再除以2就行了Pa p b PC a b C所以(2)如图2-138所示，使用p的de-BC与正三角形ABC的边缘AB相交，AC位于d，e。Pa max ad，AE=ad，Pb BD DP、PC PE EC、所以Pa Pb PC DC和a b AC=d b DC。如果AC与BD和e相交，则确定：AE de。DF=聚集DB中的点f，以便您可以获得AC并连接AF和ad。已知的2db db DC=AB AC=2AC，所以db AC .D b DC=a b AC=2ac，因此Dc BF=AC=ab。在ABF中，Af a b-BF=DC。在ADC和ADF中，AD=AD，AC=DF，af CD。由定理3，1 2Ae de。示例4 g位于方形ABCD的边缘DC上，它连接了AG，并验证了k延伸了BC延长线：据分析，如果不等式两边的线段数不同，通常要构造边上的三角形。图2-140，从GK取一点m，使GM=MK在RtGCK中，CM是GK边上的中心线GCM=MGC。和ACG=45，MGC ACG，所以MGC 45，所以ACM=ACGGCM 90。am AC，因为ACM使用了ACM AMC。因此示例5图2-141。将BC设定为ABC的最长边，在此三角形中，可选取的点o、AO、BO、CO分别与A 、B 、c 相交：(1)OA ob oc BC；(2) OA ob oc max aa ，BB ，cc 。卡(1)交点o为OX，OY为AB，AC，交点BC为x，y点，x，y为XS，YT为CC 和BB 交点AB，AC为s，t .为oxsOa xs=oc 。同样的道理Cy ob 。所以Oa ob oc -DBC，验证：ACB -ABC(图2-142)。在BCD中，sigma dcb 因为DBC，BD CD。在DMB和DMC中，DM是公共边，BM=MC，BD CD由清理3通知DMB DMC。在AMB和AMC中，AM是公共边，BM=MC和AMB AMC，由定理3知道，ab ACACB ABC。证明角的不等式时，说明角的不等式转换为边的不等式。卡由于AC ab，b c .表示Abd=c，图2卡BDCD。因为badcab，Bc 2bd。Cd BC-BD，所以Bc CD 2bd BC-BD、所以CD BD。证明命题。示例8示例yeyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy证词是m 11BC，因为H1到m是中点所以在RtMH1B中MB h1=30。如果将BM延伸到n，使用MN=BM，则ABCN为平行四边形。因为AH是ABC中最短的边An=BC ab，所以ABN anb=MBC=30，b=abmMBC OA oboc。ABC的顶点a、b和c分别引用OA、OB和OC的垂直线，将这三条垂直线的交点设置为A1、B1和C1(图2-145)，四边形AOBC1。因为考虑到OA C1=ob C1=90，AOB=120，因此 C1=60。同样，a1=B1=60。因此，A1B1C1是正三角形。在p上，将A1B1C1、C1A1、A1B1的距离分别设置为ha、HB、HC和A1B1C1的边长设置为a，将高度设置为hsa1 b1c 1=spb1c 11spc1a 1spa1 B1阿西所以h=ha h b HC。它展示了正A1B1C1内所有点p到3角的距离，以及高h，例如A1B1C1Oa o b oc=h=值。显然，pa p b PC p到A1B1C1三面距离和Pa p b PC h=OA o b oc。这是我们想证明的结论。从这个结论中可以看出，o点具有到三角形三个顶点的距离和从其他点到三角形顶点的距离，以及此点称为pema点的特性。练习231.将d设置为ABC中边BC的上一个点。证据：AD不大于ABC中的最大边。2.AM是ABC的中线。3.已知ABC的边BC上的两点d，e，BD=CE，验证：a b AC ad AE。4.ABC中，c b，BD，CE分别是b和c的评分：BD ce。5在ABC中，BE和CF为高