关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考

关于“三角形内角和是180度”几种验证方法的思考 一、几种常见方法的比较验证“三角形的内角和是180度”，常见的有三种方法：1用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180度（下文简称“测量求和法”）；2将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（下文简称“剪拼法”）；3将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（下文简称“折拼法”）。对于这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180度。这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180度”的错误印象。对于“剪拼法”，优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现了原图形与撕下来后图形间的联系与变化。而“折拼法”则有效地避免了“量”、“撕”的缺陷；可惜的是，操作起来困难，想起来费劲它要求学生首先沿着“中位线”来折，而“中位线”对学生来说则是个陌生的事物因此，我们对教材中的“折拼法”方案（如图1）稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”；然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（见图2），经改进操作起来简捷多了。 图1 图2二、几种常见方法的导出其实对于三角形内角和三种常见的验证方法“量”也好，“撕”也好，“折”也罢，它们或多或少都存在着误差。用单个任何一种方法验证“三角形内角和就是180度”，不足以让人信服。因此，让尽量多的验证方法出现的课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。然而事实并不随你我所愿。正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们从最坏处考虑，对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：新课伊始，学生猜想“三角形内角和是180度”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180度吗？说说你的依据。“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。先用红笔圈出课题“三角形内角和是180度”中的“内角和”（停顿，看看老师的暗示能不能个学生启发）。如果学生还是想不到，接着启发“课题中“内角和”是什么意思？”如果学生还想不到方法，继续提问：要知道三个内角“度数”的和，要用到什么工具？怎么办？2 “剪拼法”的导出：采用“说半句留半句”的策略，将“180度”与“平角”链接起来。先用红笔圈出“180度”并提问：我们前面学过180度的角又叫做（轻轻地、缓缓地、比学生慢半拍）：“平角”。接着：判断三角形的内角和是不是180度，就可以将三角形三个内角（等待，学生能说让学生说，学生不能说教师手势在前，语言在后）放在一起，看它们能不能拼成（再等待）平角。3至于“折拼法”让学生自学教材，边看边操作就行了。三、几种常见方法呈现的“序”验证三角形内角和是180度，常见的有三种方法：一、用量角器分别量出三个角的度数，然后加起来；二、将三个角撕下来平成一个平角；三、将三个角折起来拼成一个平角。对于这三种方法的呈现，老师们基本都是从学生较易理解的“用量角器量角求和”入手，然后再研究“撕”、“折”等拼角的方法。对这样的安排，我认为有些不符合逻辑因为在交流“量”这种验证方法时，不管老师怎样解释，实际量得的结果总是实实在在地影响着“用拼角的方法验证三角形内角和是180度”的可信度理由很简单：工具测量有误差，粗略的“拼凑”误差更大。“误差”这是一个“剪不断，理更乱”的话题，教学时我们不妨采用“回避”的策略：首先，将学生提出的各种验证方法一一列举在黑板上；然后在集中交流时，先讨论“撕”或“折”的方法，让学生体验、确认“三角形内角和是180度”；最后，与学生一起交流“用量角器测量验证”的方法并讨论：为什么测量算得的三个角的度数加起来不是180度呢？这样让学生在正向确认，反向解释，不但避免了误差干扰，而且强化了“三角形内角和定理”。四、几种不常见方法的介绍（一）三角形内角和定理的发现事先告知了“三角形内角和是180”，我们可以紧扣180度进行验证。事先没告诉我们“三角形内角和是180”怎么会将“三角形内角和”与“180”联系起来呢？据说，帕斯卡首先是在无意中发现了“直角三角形的内角和是180的”。他将矩形沿对角线剪开，发现“任意矩形都能分成两个完全相同的直角三角形”，他想“如果改变矩形长和宽不就可以得到任意直角三角形吗？”因为矩形的四个角都是直角，所以矩形的内角和等于360。又因为“分成的直角三角形的内角和正好是矩形内角和的一半”，所以“直角三角形内角和为180”（见图）。接着帕斯卡又发现“任何三角形都可以分成两个直角三角形”，这两个直角三角形去掉两个直角，剩下的就得到原三角形的内角和为180（见图）。 图3 图4 图5（二）三角形内角和定理的证明证明“三角形内角和是180”，常用方法是“作一条平行线，然后利用用“两直线平行，内错角和同位角相等进行证明”（见图）。（三）三角形内角和定理的直观证明其实无论是“量”还是“撕”、“折”，都存在着误差。若能找到一种直观的、没有误差的、学生能理解的方法，这对学生底气十足、口服心服地接收“三角形内角和是180”至关重要。经过对搜集的大量资料的比