第3章 固定收益证券计算(金融计算与建模-清华大学,朱世武)

第3章固定收益证券计算,清华大学经管学院朱世武ZhushwResdat样本数据：SAS论坛：,3.1收益计算3.2其它计算3.3绩效衡量3.4二叉树定价模型3.5习题,收益计算,内生收益率,固定收益证券收益率是一种利率，它能使现金流的现值等于初始投资的价格。,内生收益率（InternalRateofReturn）计算公式如下：,其中：P为价格($)；为第i期现金流($)；y为内生收益率；n为期数。,已知P，可以用试错法求内生收益率。试错法计算内生收益率步骤：1给出一个收益率；2用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值；3加总步骤2得出的现金流现值；4将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较。当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时，选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤。反之，选择一个更小的收益率进行重复。,例3.1假定一种金融工具有如表3.1的年金支付，金融工具的价格为7704美元，试求它的内生收益率。,表3.1年金支付情况,%macroa(r);data;p=2000/(1+,本例计算程序：,计算结果：r=10p=8081.4152039r=14p=7349.0709218r=12p=7701.624974将计算结果与7704相比较，得出12%为该金融工具的内生收益率,注：上例也可以直接用SAS函数yield=irr(1,-7704,2000,2000,2500,4000);函数irr的用法：IRR(freq,c0,cl,.,cn)，freq表示每年产生现金流次数，c0-cn为现金流。或用Excel函数IRR(A1:A5)，这里A1:A5记录现金流。计算结果一致。,到期收益率,到期收益率（YieldtoMaturity）是与债券联系在一起的术语，指投资者持有债券至到期日时所获得的内生收益率。即到期收益率也是一种内生收益率。,到期收益率的计算公式如下：,其中：P为价格($)；C为半年期的票息($)；y为到期收益率的一半；n为期数()；Par为面值(到期价值)。,已知P，可以用试错法求到期收益率。因此，试错法计算到期收益率步骤：1给出一个收益率；2用步骤1给出的收益率计算每笔现金流的现值；3加总步骤2得出的现金流现值；4将步骤3得出的现金流总现值与金融工具的价格作比较。当步骤3得出的现金流总现值比金融工具的价格大时，选择一个比步骤1大的收益率重复以上步骤。反之，选择一个更小的收益率进行重复。,试错法计算到期收益率通用程序：,dataa;delete;Run;%macroa(r,n,d,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to,p2=,例3.2假定发行者每6个月支付1000000美元给证券持有者并连续支付30次，到期后的支付额为20000000美元。发行时，发行者筹得资金为19696024美元。计算得知，资金总成本率为5.10%(半年期)。,利用通用程序，a(r,n,d,par)取值如下：%a(0.05,30,1000000,20000000);%a(0.0505,30,1000000,20000000);%a(0.051,30,1000000,20000000);,计算结果：Obsp1p2prr1n115372451.034627548.9720000000.0010.05.0030215285221.194561926.6019847147.7910.15.053015198759.444497265.3719696024.8110.25.1030将计算结果与该金融工具的价格19696024美元比较，5.10%为其到期收益率(半年期)。,注：上例也可以直接用SAS函数yield=yieldp(20000000,2000000/20000000,2,30,0.5,19696024);函数yieldp用法：YIELDP(A,c,n,K,k0,p)，其中A表示面值，c为小数形式表示的名义年票息率，n为年付息次数，K为从现在起至到期日生于付息次数，k0为现在到下一个付息日的时间，p为价格。或用Excel函数yield=RATE(30,1000000,-19696024,20000000,0)。RATE用法：RATE(Nper,Pmt,Pv,Fv,Type)，其中Nper表示付息次数，Pmt表示票息金额，Pv表示价格（初期现金流出，故为负值），Fv表示期末现金流，Type表示付款时间在期初还是期末，0或忽略表期末。计算结果一致。,有效年利率计算,银行存款中有名义年利率和有效年利率，这两种利率中较高的一个是有效年利率。有效年利率与周期性利率之间的换算关系：其中：m为每年支付的频率。,例3.5半年期周期性利率为4%时有效年收益率为1.042-1=8.16%。如果利息按季支付，那么周期性利率为2%时有效年利率为8.24%。,计算程序：%macroa(r,m);data;i=(1+,计算结果：r=2,i=0.08243216,注：上例也可以直接用SAS函数r=compound(1,1.02,.,0.25);函数compound的用法：COMPOUND(a,f,r,n)，其中a表示期初值，f表示期末值，r为有效年利率，n为年付息次数。也可以用excel函数r=EFFECT(0.08,4)。EFFECT(nominal_rate,npery)。,三种收益率之间的关系,债券当前收益率定义如下：,表3.2三种收益率之间的关系,例3.6计算一种票息率为6%,价格为700.89美元的18年期债券的当前收益率和到期收益率。假定这种债券5年内第一次被赎回的价格为1030美元,该债券的票息为每6个月支付30美元，连续支付10次。求该债券第一个赎回日的收益率。,利用通用程序，a(r,n,d,par)取值如下：,%a(0.056,10,30,1030);%a(0.0585,10,30,1030);%a(0.061,10,30,1030);%a(0.0635,10,30,1030);%a(0.066,10,30,1030);,%a(0.0685,10,30,1030);%a(0.071,10,30,1030);%a(0.0735,10,30,1030);%a(0.076,10,30,1030);,第一个赎回日收益率计算,计算结果：Obsp1p2prr1n1225.048597.308822.35611.25.60102222.380583.349805.72911.75.85103219.760569.749789.50912.26.10104217.187556.496773.68312.76.35105214.659543.582758.24113.26.60106212.176530.997743.17313.76.85107209.737518.731728.46814.27.10108207.340506.777714.11714.77.3510204.985495.125700.11015.27.6010比较得出，债券第一个赎回日的收益率为15.2%。,清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算,清算日处于两个付息日之间的到期收益率计算公式：其中：P为全价；C为半年的票息支付；y为到期收益率的一半；w=；n为票息支付的次数；Par为到期价值。,例3.7假设有一种票息率为10%的公司债券在2003年3月1日到期。该债券的全价为118.788美元，清算日在1997年7月17日。计算该债券的到期收益率。表3.3为该债券的日期与对应现金流，计算程序的第一段有相关数据的输出。,表3.3日期与对应的现金流,计算程序：data;date0=01mar1997d;date1=17jul1997d;date2=01sep1997d;days02=datdif(date0,date2,30/360);/*美国公司债适合30/360标准*/days12=datdif(date1,date2,30/360);n=2*(2003-1997);w=days12/days02;putdays02/days12/n/w;callsymput(n,n);/*创建一个值来自data步的宏变量n*/callsymput(w,w);/*创建一个值来自data步的宏变量w*/,dataa;delete;%macroa(r);dataa1;p1=0;doi=1to,dataa(drop=i);setaa1;w=,计算结果：Obsp1p2prr1wn149.258466.9691116.2277.263.6300.2444411248.994066.2108115.2057.473.7350.2444411于是，当该公司债券半年期利率为3.63%时，能使其现金流的现值等于其全价118.78美元。所以这种债券的到期收益率为7.26%，即23.63%。,注：上例也可以直接用SAS函数YIELD=YIELDP(100,0.1,2,12,0.12222,118.788);或EXCEL函数YIELD(DATE(1997,7,17),DATE(2003,3,1),0.1,115.010,100,2)，函数yield用法：YIELD(settlement，maturity，rate，pr，redemption，frequency，basis)，其中Settlement为成交日，Maturity为到期日，Rate为年票息率，Pr价格，Redemption为净价，Frequency为年付息次数，Basis为日计数基准类型(0或省略为30/360，1为实际天数/实际天数，2为实际天数/360，3为实际天数/365，4为欧洲30/360)。,投资组合到期收益率计算,投资组合到期收益率的计算步骤：1确定投资组合中所有证券的现金流;2找出一个利率;3用第二步利率得到的现金流现值和与投资组合的市场价值进行比较；4根据第三步的比较结果决定是否重复上述计算。,例3.9现有三种债券，假定每种债券的票息支付日相同。投资组合的市场价值为57259000美元。投资组合中每种债券的现金流及整个投资组合的现金流由表3.5列出。,表3.5三种债券投资组合的现金流,%macroa(y);dataa;ap1=0;don=1to9;ap1=ap1+350000/(1+,datab;bp1=0;don=1to13;bp1=bp1+1050000/(1+,datac;cp1=0;don=1to5;cp1=cp1+900000/(1+,%a(0.0476966);dataabc;mergeabc;p=ap+bp+cp;putp=;run;,输出结果：p=57259006.946比较得知，该投资组合的到期收益率为9.53932%(即24.76966%)。注：本例程序与本章开始的计算到期收益率通用程序的功能相同，但算法设计不同,其它计算,浮动利率证券的贴现差额计算公式：,浮动利率=参考利率+指数利差,贴现差额计算步骤：1在假定参考利率在证券到期前保持不变的条件下,计算现金流；2选出一个差额;3将现金流贴现;4将步骤3计算出来的现金流现值与证券的价格作比较,如果现金流的现值等于证券的价格,则贴现差额等于步骤2中假定的差额。,例3.10假定有一6年期的浮动利率证券。该证券的价格为99.3098美元,按参考利率加上80个基本点(指数利差)向外支付，参考利率的当前值是10%。这种证券的票息率每6个月调整一次，票息率为5.4%，到期价值为100美元。,表3.6不同贴现差额的计算结果,dataa;delete;%macroa(y,z,x);dataa1;don=1to12;ifn12thenp,dataa;mergeaa1;%menda;%a(0.05,0.004,80);%a(0.05,0.0042,84);%a(0.05,0.0044,88);%a(0.05,0.0048,96);%a(0.05,0.005,100);procprintdata=anoobs;run;,计算程序：,由计算结果得出，贴现差额应为96个基本点。,债券价格与必要收益率,例3.11表3.7给出了票面价值为1000美元、必要收益率从5%14%的20年期、票息率为9%的债券价格。,表3.7必要收益率与债券价格关系,dataa;delete;%macroa(y);dataa1;p1=45*(1-(1/(1+,%a(0.03);%a(0.035);%a(0.04);%a(0.045);%a(0.05);%a(0.055);%a(0.06);%a(0.065);%a(0.07);procprintdata=a;run;,结果：,Obsp1p2py11129.62372.4311502.06521040.16306.5571346.7263960.98252.5721213.5574890.67208.2891098.9685828.07171.9291000.0096772.16142.046914.20107722.08117.463839.54118677.0897.222774.31129636.5580.541717.091310599.9366.780666.7114,不含期权债券价格与收益率关系图：procgplotdata=a;plotp*y=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;title2不含期权债券价格与收益率关系图;labelp=价格y=必要收益率;run;,债券价格时间轨迹,例3.12列出面值为1000美元，期限为20年，票息率为9%，必要收益率为12%的债券逼近到期日时的债券价格情况。,title2;dataa;don=40to0by-2;p1=45*(1-(1/(1+0.06)*n)/0.06;p2=1000*(1/(1+0.06)*n);p=p1+p2;year=n/2;output;end;,procprintdata=anoobs;varyearp1p2p;run;,生成图表程序：,打印列表结果：YearP1P2P20677.08397.22774.3119668.071109.24777.31182.503890.00972.5000.0001000.001000.00,假定必要收益率不变的情况下,贴水债券时间轨迹图程序：dataa;seta;p0=1000;procgplotdata=a;plotp*year=1p0*year=2/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;symbol2v=nonei=joinr=1c=black;title2假定必要收益率不变的情况下，贴水债券时间轨迹;labelp=价格year=剩余到期年数;run;,例3.14假设有一种票息率为10%的公司债券，2003年3月到期，到期价值为100美元，清算日在1997年7月17日，若必要收益率为6.5%，求债券价格(适用30/360)。,dataa;delete;%macroa(y);dataa1;date1=17jul1997d;date2=01sep1997d;days1=datdif(date1,date2,30/360);w=days1/180;callsymput(x,w);/*创建一个值来自data步的宏变量x*/p1=0;don=1to12;p1=p1+5/(1+,dataa1;seta1end=lasobs;iflasobs;p2=105/(1+,计算结果：p=123.51,注：可以用SAS函数直接计算：pv=pvp(100,0.1,2,12,0.1222,0.065)。函数PVP用法：PVP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，y为必要收益率。也可以用EXCEL函数PRICE(DATE(1997,7,17),DATE(2003,3,1),0.1,0.065,100,2)。PRICE(settlement,maturity,rate,yld,redemption,frequency,basis)，注意，这里计算的是净价，需要进行调整得到全价。,首次发行贴水债券的债务处理,若首次发行的债券是贴水债券，则随着时间接近到期日，债券价格就接近票面价格，即价格有一个上升的趋势。在税收申报时，为了准确计算资本利得，有必要区分价格的上升是由于接近到期日还是由于市场行为引起的。因此，必须对发行价格进行调整，以便计算资本利得，原则上采用持续收益法。,首次发行贴水债券的债务处理过程：,1.计算年利息，即申报的毛收入，为调整后的发行价格与发行时到期收益率的乘积；2.计算票面利息；3.计算当年摊还的发行贴水额，为年利息(毛收入)与票面利息之差；4.计算调整后的发行价格，为当年摊还的首次发行贴水额与原发行价格之和。,例3.15票息率为4%(半年付一次息)的5年期债券，以7683美元的价格发行，赎回价值为10000美元。假设该债券的到期收益率为10%，求调整后的发行价格。,dataa;p=7683;don=1to10;year=n/2;t=p*0.05;c=10000*0.02;b=t-c;p=b+p;putyear=p=t=c=b=;output;end;labelyear=持有年限t=申报的毛收入,c=票面利息b=调整的发行贴水p=调整后的发行价格;run;datab;seta;optionsnocenter;procprintdata=blabelnoobs;varyeartcbp;title以持续收益法调整发行价格;title;options;run;,输出结果：持有年限年利息（毛收入）票面利息当期摊还的发行贴水调整后的发行价格0.5384.150200184.1507867.151.0393.358200193.3588060.511.5403.025200203.0258263.532.0413.177200213.1778476.712.5423.835200223.8358700.543.0435.027200235.0278935.573.5446.779200246.7799182.354.0459.118200259.1189441.474.5472.073200272.0739713.545.0485.677200285.6779999.22,债券久期计算,久期是反映债券价格波动的一个指标。它对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实际表示的是投资者收回初始投资的实际时间。,久期与修正久期计算,麦考雷(Macaulay)久期的计算公式：麦考雷久期(以期间计)=麦考雷久期(年)=麦考雷久期(以期间计)/k其中：PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值；n为债券持有期内现金流的期间总数；TPV为债券各期现金流的总现值;k为每年支付现金流的次数。,修正久期=其中：PVCFt为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现而得债券在第t期的现金流现值；n为债券持有期内现金流的期间总数；TPV为债券各期现金流的总现值；Y为到期收益率的一半。,债券组合的久期计算公式：债券组合的久期=,其中：,债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；,债券i的修正久期；,债券组合中债券的个数。,例3.16面值为100美元，票息率为10%的5年期债券,收益率为10%,计算久期(以年计)及修正久期。,dataa;c2=0;tc2=0;don=1to10;t=n;ifn10thenc=5;elseifn=10thenc=105;a=1/(1+0.05)*n);c1=c/(1+0.05)*n);tc1=t*c1;c2=c2+c/(1+0.05)*n);tc2=tc2+t*c/(1+0.05)*n);ifn=10thend=tc2/(c2*2);md=d/(1+0.05);output;end;,datab;seta;dropc2tc2n;labelt=时间c=现金流a=1美元的现值c1=现金流的现值tc1=t*pvcfd=久期(以年计)md=修正久期;procprintdata=blabelnoobs;title久期及修正久期;vardmd;run;,输出结果：久期(以年计)修正久期4.053913.86087,注：修正久期可直接用SAS函数计算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1);函数DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，y为收益率。或用EXCEL函数，久期=DURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)函数duration的用法：DURATION(settlement，maturity，coupon，yld，frequency，basis)。修正久期=MDURATION(DATE(1995,1,1),DATE(2000,1,1),0.1,0.1,2)，mduration用法同duration.,例3.19面值为100美元，票息率为10%，到期收益率为10%的5年期债券，以平价出售，计算久期。,%macrod(i,y,p);dataa;x=100*(,输出结果：d=8.1078216756,修正久期的近似计算,近似久期=其中：V-为收益率下降证券的估计价格；V+为收益率上升证券的估计价格；V0为证券初始价格；为证券收益率的变化。,例3.20票息率为7%，到期收益率为10%的20年期债券，以74.26美元的价格出售，收益率上升或下降20个基本点的价格变化如下所示，试计算近似修正久期。V-=75.64468623V+=72.917291682V0=74.261370469=0.002(半年变化10个基本点),收益率上升或下降20个基本点的债券初始价格计算程序：,dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to,dataa;setaa1;putp=;%menda;%a(40,0.05,0.035,100);%a(40,0.052,0.035,100);%a(40,0.048,0.035,100);run;,p=74.261370469p=71.611134614p=77.068604183,近似久期计算程序：,%macromd(Vu,Vd,V,y);dataa;md=(,输出结果：MD=9.15701589结果接近精确值md=9.1802370384,精确值计算程序：,%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to,ifn=,输出结果为：md=9.1802370384,债券凸度计算,凸度(分期限计算)=凸度(按年计算)=凸度(分期限计算)/零票息债券的凸度=其中：PVCFt为以第t期对应的收益率贴现得到的第t期现金流现值；n为总的时期数；Y为到期收益率的一半；PVTCF为以到期收益率贴现得到的各期现金流总现值；为每年付息的次数。,例3.21假设面值为100美元，5年期的票息率为8%的债券,每半年付息。假设该债券的初始收益率为10%，计算该债券的凸度。,%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to,ifn=,计算结果：凸度(以半年记)concave=78.29424228凸度(以年计)yearlyconcave=19.57356057,注：也可以用SAS函数直接计算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1);函数convxp的用法：CONVXP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔，y为收益率。,例3.22假设面值为100美元，5年期的零息票债券，年收益率为10%，计算凸度。,%macroconcave(n,y);dataa;concave=,计算结果：凸度concave=99.77324263,计算凸度引起的价格变化,凸度引起价格变化百分比的估计值=,例3.24面值为100美元，期限为15年的票息率为8%的债券，每半年付息，其初始收益率为10%。若收益率由10%增长到13%，计算凸度引起的价格变化。,首先计算年凸度：只需要将上面凸度计算程序中的宏参数值改为%d(0.05,4,30,100)即可求得年凸度为94.3571。,%macrovp(x,y);dataa;caused=0.5*,计算结果：凸度引起的价格变化为caused=4.2460695%,美元凸度,美元凸度=凸度初始价格.为确定美元引起的价格变化幅度，可以利用以下公式：凸度解释的价格变化幅度=,例3.25期限为15年的票息率为8%的债券，收益率为10%，计算每100美元面值债券的美元凸度。,首先计算凸度和初始价格：凸度=94.36初始价格=84.627548973凸度前面已经计算过，初始价格的计算程序为：,dataa;delete;%macroa(n,y,cupon,par);dataa1;p1=0;%doi=1%to,iflasobs;p2=,计算的初始价格为p=84.627548973,计算美元凸度程序：%macroanlaye(x,y,p);dataa;concave=计算结果：美元凸度concave=7985.4555211100基点的价格变化vp=0.3992727761200基点的价格变化vp=1.5970911042,近似凸度,近似凸度=其中：V-为收益率下降证券的估计价格；V+为收益率上升证券的估计价格；V0为证券初始价格；为证券收益率的变化。,例3.26面值为100美元，期限为20年，票息率为7%的债券，到期收益率为10%，假设发生20个基点的变化，计算凸度。,已知条件：V-=75.64V+=72.92V0=74.26=0.002,%macroconcave(Vu,Vd,V,y);dataa;yearlyconcoave=(,计算结果：concoave=134.66199838精确计算凸度(以年计)yearlyconcave=132.077,精确计算凸度的程序：,%macrod(y,cupon,period,p0);dataa;c2=0;tc2=0;don=1to,ifn=,结果：精确计算凸度(以年计)yearlyconcave=132.077,抵押支持债券贷款利率计算,例3.27一宗4年期抵押贷款，设未来5年每年的贷款利率分别为8%，10%，12%，13%，11%。计算抵押贷款利率。,dataa;I=(1+0.08)*(1+0.1)*(1+0.12)*(1+0.13)*(1+0.11)*0.2-1;PutI=;run;,抵押贷款利率I=0.1078658,绩效衡量,债券组合的到期收益率,其中：Rp为组合到期收益率；V1为期末组合市价；V0为期初组合市价；D为评估期内组合对客户的现金分配。,例3.28一个债券投资组合期初与期末市场价格分别为1亿美元和1.12亿美元，在评估期内分给投资人500万美元的利息收入。,收益率计算：,%macror(v1,v0,d);data;r=(,计算结果：r=0.17,例3.29第1至4月的组合子期收益率分别为12%，25%，-15%和-2%，则月平均收益率为5%。,算术平均时序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(,计算结果：r=0.05,几何平均时序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(,计算结果：r=0.039185933,美元权重收益率,美元权重收益率就是内生收益率。,例3.30一个7月初市价为100000美元的组合，79月每月抽回资金5000美元，没有客户的追加现金投入，9月底组合市价为110000美元。,计算程序：data;don=0.07to0.10by0.001;p=5000/(1+n)+5000/(1+n)*2)+115000/(1+n)*3);r=n;ifabs(p-100000)100thenputp=r=;end;run;,计算结果：p=99941.704989r=0.081,算术平均收益率,算术平均收益率计算简单，不同时间段的权重都相同。算术平均收益率指标有时不太合理，会产生误解，参考下面例子。,例3.31一年中,前四个月的收益情况分别是一月50，二月50，三月50，四月50。如果只关注这四个月的投资收益情况，算术平均收益率=(50505050)/40。换句话说，平均收益率是0。但是看一下数据会知道，在这四个月中该投资者是亏损的。所以，算术收益率带来的是错误的结论。如果在十二月底投资$1,000,000，根据前四个月收益数据，四月底的资本剩余为$562,500，计算公式如下：算术平均收益率存在的问题可以由几何平均收益率解决。,几何平均收益率,实际中几何收益率常常有两种形式：价值加权(value-weighted)几何平均，时间加权(time-weighted)几何平均。价值加权收益率(或者称作美元加权收益率dollar-weightedrateofreturn)，是在一系列现金流中找到一个公共的收益率。一般情况下，可以用下面的公式计算收益率r：,这里是在t时刻来自证券组合的净现金流量(收益现金流减去支出现金流)，t=1,.T。是组合一开始的市场价值。是结束时刻的市场价值。,例3.32分别计算下面两个投资的价值加权和时间加权收益率。1.起始投资额为50(即投资组合起始时的市场价值为50)；一年后，投资组合的价值为100。,首先计算年度价值加权收益率，以表示：,解为100。现在计算年度时间加权收益率，以表示，则：,2.起始投资额为50；六个月后，净现金流为25(现金流出)，一年后投资组合的价值为100。,首先计算年度价值加权收益率，以表示：,解为40.69。现在计算年度时间加权收益率，以表示，则：,其中和分别是前六个月和后六个月的时间加权收益率。于是，得到年度时间加权收益率为：,例3.33第1至4月的组合子期收益率分别为12%，25%，-15%和-2%，则月平均收益率为5%。,算术平均时序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(,计算结果：r=0.05,时间加权几何平均时序收益率程序：%macror(r1,r2,r3,r4,n);dataa;r=(,计算结果：r=0.039185933,二叉树定价模型,第1年利率二叉树状结构如下：其中：为1年期远期利率的波动率，本节假设为10%；r1,L为第1年年末较低的1年期远期利率；r1,H为第1年年末较高的1年期远期利率；e为自然对数的底数(2.71828)。,不含期权债券的二叉树定价模型,例3.34有一票息率为5.25%的还有3年到期的不含权的债券，到期价格为100美元，利率结构为：r0=3.5%,r1=4.074%,r2=4.53%。计算债券的初始价