应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第三章部分习题解答)

应用多元统计分析,第三章习题解答,.,2,第三章多元正态总体参数的假设检验,3-1设XNn(,2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(rn),证明,证明因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使,.,3,第三章多元正态总体参数的检验,.,4,其中非中心参数为,第三章多元正态总体参数的检验,.,5,3-2设XNn(,2In),A，B为n阶对称阵.若AB0,证明XAX与XBX相互独立.,证明的思路：记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得A=diag(1,r0,.,0)令YX，则YNn(,2In),第三章多元正态总体参数的检验,且,.,6,又因为XBX=YBY=YHY其中H=B。如果能够证明XBX可表示为Yr+1，,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。则XAX与XBX相互独立。,第三章多元正态总体参数的检验,.,7,证明记rk(A)=r.若r=n,由ABO,知BOnn,于是XAX与XBX独立；若r=0时,则A0,则两个二次型也是独立的.以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得,第三章多元正态总体参数的检验,.,8,其中i0为A的特征值(i=1,r).于是,令,r,第三章多元正态总体参数的检验,由ABO可得DrH11O，DrH12O.因Dr为满秩阵,故有H11Orr，H12Or(n-r).由于H为对称阵，所以H21O(n-r)r.于是,.,9,由于Y1，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故XAX与XBX相互独立.,第三章多元正态总体参数的检验,令YX，则YNn(,2In),且,.,10,设XNp(,),0,A和B为p阶对称阵,试证明(X-)A(X-)与(X-)B(X-)相互独立AB0pp.,第三章多元正态总体参数的检验,3-3,.,11,由“1.结论6”知与相互独立,第三章多元正态总体参数的检验,.,12,性质4分块Wishart矩阵的分布:设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中,又已知随机矩阵,则,第三章多元正态总体参数的检验,试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).,3-4,.,13,第三章多元正态总体参数的检验,证明:设,记,则,即,.,14,第三章多元正态总体参数的检验,当12=O时,对1,2,n,相互独立.故有W11与W22相互独立.,由定义3.1.4可知,.,15,性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X()(1,n)是来自p元总体Np(,)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,第三章多元正态总体参数的检验,令,其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则,.,16,第三章多元正态总体参数的检验,所以,.,17,第三章多元正态总体参数的检验,3-5,对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=0已知)的似然比统计量及分布.,解:总体XNp(,0)(00),设X()(=1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为,P66当=0已知的检验,.,18,第三章多元正态总体参数的检验,.,19,第三章多元正态总体参数的检验,.,20,第三章多元正态总体参数的检验,因,所以由3“一2.的结论1”可知,.,21,第三章多元正态总体参数的检验,3-6(均值向量各分量间结构关系的检验)设总体XNp(,)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，记(1,p).C为kp常数(k0.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.,.,45,第三章多元正态总体参数的检验,或者利用定理3.2.1,当n充分大时，=-2ln2(f)，其中f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因p=0.24320.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.,.,46,第三章多元正态总体参数