应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答)

应用多元统计分析,第二章部分习题解答,.,2,第二章多元正态分布及参数的估计,2-1设3维随机向量XN3(,2I3)，已知,试求Y=AX+d的分布.,解:利用性质2,即得二维随机向量YN2(y,y),其中：,.,3,第二章多元正态分布及参数的估计,2-2设X=(X1,X2)N2(,)，其中,（1）试证明X1+X2和X1-X2相互独立.（2）试求X1+X2和X1-X2的分布.,解:(1)记Y1X1+X2(1,1)X,Y2X1-X2(1,-1)X，利用性质2可知Y1,Y2为正态随机变量。又,故X1+X2和X1-X2相互独立.,.,4,第二章多元正态分布及参数的估计,或者记,由定理2.3.1可知X1+X2和X1-X2相互独立.,.,5,第二章多元正态分布及参数的估计,(2)因,.,6,第二章多元正态分布及参数的估计,2-3设X(1)和X(2)均为p维随机向量,已知,其中(i)(i1，2)为p维向量,i(i1，2)为p阶矩阵，(1)试证明X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.(2)试求X(1)+X(2)和X(1)-X(2)的分布.,解:(1)令,.,7,第二章多元正态分布及参数的估计,由定理2.3.1可知X(1)+X(2)和X(1)-X(2)相互独立.,.,8,第二章多元正态分布及参数的估计,(2)因,所以,注意:由D(X)0,可知(1-2)0.,.,9,第二章多元正态分布及参数的估计,2-11已知X=(X1,X2)的密度函数为,试求X的均值和协方差阵.,解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=12,.,10,第二章多元正态分布及参数的估计,类似地有,.,11,第二章多元正态分布及参数的估计,0,.,12,第二章多元正态分布及参数的估计,所以,故X=(X1,X2)为二元正态分布.,.,13,第二章多元正态分布及参数的估计,解二:比较系数法设,比较上下式相应的系数,可得:,.,14,第二章多元正态分布及参数的估计,故X=(X1,X2)为二元正态随机向量.且,解三:两次配方法,.,15,第二章多元正态分布及参数的估计,即,设函数是随机向量Y的密度函数.,.,16,第二章多元正态分布及参数的估计,(4)由于,故,(3)随机向量,.,17,第二章多元正态分布及参数的估计,2-12设X1N(0,1),令,证明X2N(0,1);证明(X1,X2)不是二元正态分布.,证明(1):任给x,当x-1时,当x1时,.,18,第二章多元正态分布及参数的估计,当-1x1时,(2)考虑随机变量Y=X1-X2,显然有,.,19,第二章多元正态分布及参数的估计,若(X1,X2)是二元正态分布,则由性质4可知,它的任意线性组合必为一元正态.但Y=X1-X2不是正态分布,故(X1,X2)不是二元正态分布.,.,20,第二章多元正态分布及参数的估计,2-17设XNp(,),0,X的密度函数记为f(x;,).(1)任给a0,试证明概率密度等高面f(x;,)=a是一个椭球面.(2)当p=2且(0)时，,概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆的方程式，长轴和短轴.,证明(1):任给a0,记,.,21,第二章多元正态分布及参数的估计,令,则概率密度等高面为,(见附录5P390),.,22,第二章多元正态分布及参数的估计,故概率密度等高面f(x;,)=a是一个椭球面.,(2)当p=2且(0)时,由,可得的特征值,.,23,第二章多元正态分布及参数的估计,i(i=1,2)对应的特征向量为,由(1)可得椭圆方程为,长轴半径为方向沿着l1方向(b0);,短轴半径为方向沿着l2方向.,.,24,第二章多元正态分布及参数的估计,2-19为了了解某种橡胶的性能，今抽了十