周期函数运算(加,减,乘除,复合)结果分析

周期函数运算（加、减、乘、除、复合）结果分析 摘要 探讨了周期函数与周期的定义、周期函数的周期的性质及最小正周期的定义.进一步讨论了周期函数的和、差、积、商函数的周期性,从而得出了周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理,并说明了定理的应用.关键词 周期函数 周期 周期性 最小正周期 1周期函数与周期1.1 周期函数与周期的定义设函数,如果存在一个数,对任意,有,且,则函数叫做周期函数,数T叫做函数一个周期.函数具有周期的性质叫做函数的周期性.1.2 周期函数的周期的性质性质1 若是的周期,则也是的周期.证明 因为是的周期,所以.令,则,代入上式得: ,即: .所以也是的周期.性质2 若是的周期,且,则也是的周期.证明 (1)证明当时, ,则是的周期(运用数学归纳法). 当时, 是的周期.假定当时, 是的周期,则,那么当时,有.所以是的周期.由、可知:对于所有的自然数,则是的周期.(2)当时, ,显然, 是的周期(特殊周期).(3)证明当时, ,则是的周期.因为是的周期,所以由性质1可得: 也是的周期.又因为即: ,所以由以上(1)的结论可得: 是的周期.即: 是的周期.综合以上(1)、(2)、(3)三点可得:若是的周期, ,则也是的周期.由性质1和性质2可得出如下结论:结论1 一个周期函数至少有两个符号相反的周期.结论2 一个周期函数必有一个以上正周期.1.3 最小正周期的定义由结论1可得:一个周期函数的周期的个数至少是两个,或者是多个直至无限多个.由结论2可得:一个周期函数必定存在正周期.因此,可作出如下定义:设周期函数,把的所有正周期中的最小的一个叫做函数的最小正周期.显然,一个函数的最小正周期是唯一的,故最小正周期具有特殊的意义.因此,一个函数的周期通常是指最小正周期.2 周期函数的和、差、积、商函数2.1周期函数的和、差、积、商函数的周期性周期函数的和、差、积、商函数的周期性有何特点?下面的定理可给出明确的回答.定理1 设函数与都是定义在上的周期函数,周期分别为与,且（为正有理数, ,且与互为质数),若,则为函数的周期.证明 因为,且与互为质数),所以,即: 为与的最小公倍数.又因为与分别为与的周期,所以根据性质2可得: 为与的周期.所以 所以为函数的周期.同理可证明: 为函数的周期.这个定理叫做周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理.2.2周期函数的和、差、积、商函数周期性定理的应用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理为求两个周期函数的和、差、积、商函数的周期提供了一般的求解方法.具体的求解步骤如下:第一步:求出两个周期函数与的周期.设周期分别为与.第二步:求出两个周期函数的周期之比并表示为两个互质正整数之比.即 (为正有理数, ,且与互为质数).第三步:求出两个周期函数的周期的最小公倍数,即求出.那么最小公倍数即为两个周期函数的和、差、积、商函数的周期.显然,对于有限个周期函数的和、差、积函数,重复运用周期函数的和、差、积、商函数的周期性定理即可3 复合函数周期性3.1复合函数周期性的判定定理2 设是周期函数,函数与满足复合函数的条件,则复合函数是周期函数,且的周期也是复合函数的周期.证明 记,设为函数的一个周期.任何,则,. 同理,因此,为周期函数,的周期也是的周期.必须指出, 的最小周期未必是的最小正周期.例1 ,.复合函数,的最小正周期是,的最小正周期是,所以的最小正周期是的周期,但不是它的最小正周期.定理1可以推广到有限个函数复合的情形.推论 设是周期函数, ,这个函数满足复合的条件,记 ,则是周期函数,且的周期是复合函数的周期.例2 讨论函数的周期性.解 函数的定义域,函数可看作,的复合函数,容易验证在上是周期函数,具有最小正周期,有定理1的推论, 是周期函数.是函数的周期.函数的零值集 有最小正周期,因此, 是函数的最小正周期.在定理1中,如果是周期函数,是一般的函数,特别不是周期函数时,复合函数未必是周期函数.如,的复合函数不是周期函数.而,的复合函数是周期函数.有下面一般性的结论.定理3 设是周期函数,是的一个周期,则复合函数是周期函数,且时函数的周期.证明 设的定义域为,记,则的定义域.任意,则,由为的周期,有,即,所以.又,因此,为周期函数,为的周期.也要指出,两个非周期函数的复合,可能是周期函数.例3 ,这两个函数都不是周期函数,但它们的复合函数是周期函数,且有最小正周期.3.2几类复合周期函数的最小正周期问题3.2.1 的最小正周期定理4 函数是定义在上的不恒为零的周期函数,则其倒数函数是集合上的周期函数,且函数的周期都是的周期.必须指出,函数与的周期未必是一致的.例4 函数显然, 是以2为最小正周期的周期函数.易见是以1为最小正周期的周期函数.定理5 若函数是上的不恒为零的周期函数,则函数与的周期一致.证明 由定理1,函数的周期都是函数的周期. ,设为函数的任意一个正周期.任意,则,且,从而 (1)任意,则,因此.从而, (2)由(1),(2)两步证明,为函数的周期,所以函数的每个周期都是的周期. 由定理5,立即有:推论 函数是上的不恒为零的具有最小正周期的周期函数,则函数与具有相同的最小正周期.3.2.2 的最小正周期定理6 函数是周期函数,则是周期函数,且函数的周期都是的周期.证明 因为是周期函数, 是它的周期所以 (都是在定义域内) ,由绝对值的性质得 ,所以也是周期函数, 是它的周期.必须指出,函数的周期未必是函数的周期,甚至可能有最小正周期,但未必有最小正周期.例 1: 证明函数是周期函数,并求出它的一个周期.证明 因为和都是周期函数, 是它们的周期, 所以由上面定理 6得 和都是周期函数, 并且是它们的周期, 由上面定理 得也 是 周 期 函 数 , 又 因 为, 所以是的一个周期.例5 函数,函数=有周期,但不是的周期.还要指出,定理6的逆不成立,即函数为周期函数时,函数未必是周期函数.例6 函数=不是周期函数,但函数是周期函数.3.2.3 的最小正周期定理7 函数是周期函数,若为正奇数,则函数是周期函数,且函数与的周期一致.定理8 函数是周期函数,若为正偶数, 则函数是周期函数,且函数与的周期一致.定理9函数是不恒为零的周期函数, 若为负奇数,则函数是周期函数,且与的周期一致.定理10函数是不恒为零的周期函数, 若为负偶数,则函数是周期函数,且与的周期一致.3.2.4 的最小正周期3.2.4.1 为正奇数时,函数的定义域与的定义域相同,且,因此,由定理7可得定理7函数是周期函数,若为正奇数,则函数是周期函数,且函数与的周期一致.3.2.4.2 为正偶数时,函数是非负的周期函数,则函数的定义域.因此,由定理8,有定理8函数是非负的周期函数,若为正偶数, 则函数是周期函数,且函数与的周期一致.3.2.4.3 为负奇数时,函数的定义域与的定义域相同,且.因此,由定理9,有定理9函数是不恒为零的周期函数,若为负奇数，则函数是周期函数,且函数与的周期一致.3.2.4.4 为负偶数时,函数是不恒为零的非负的周期函数, 函数的定义域与的定义域相同,且.因此,由定理10,有定理10函数是不恒为零的非负的周期函数,若为负偶数，则函数是周期函数,且函数与的周期一致. 参考文献1王清印,吴和琴.函数周期性初论M.北京:煤炭工业出版社,1987.2梁力平.对周期函数及其和、差、积、商函数周期性的探讨J. 韶关学院学报,2006,(27).3杨曼英.关于周期函数及最小正周期的探讨J. 娄底师专学报,2001,(2).4费强.周期函数性质初探J.数学学习与研究,2014,(13).5宣立新,马明.周期函数初论M.合肥:安徽教育出版社,1989.6潘劲松.关于周期函数定义的研究J. 湖南师范大学自然科学学报,2012,(35).英文摘要Probed into cycle function and cycle properties of the sum, the difference, the product and the quotient of itAbstract The paper probes into the definition of cycle function and cycle, cycle properties of cycle function and the definition of least positive cycle, and furthermore probes into cycle properties of the sum ,the d