全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教育专业委员会全国中学数学竞赛题一、选题(共5小题，每小题6分，共30分)如果实数a、b、c在轴上的位置如图所示，则代数式能够简化为()(A) (B) (C) (D)a1 (b ) .如果是，则的值为().(A) (B) (C)2 (D )2 (a ) .在正比函数y=ax(a 0 )和反比函数y=(b 0 )图像中存在两个交点的情况下，如果将一个交点的坐标设为(-3，-2)，则另外一个交点的坐标为().(a ) (2，3 ) (b ) (3，-2) (c ) (-2，3 ) (d ) (3，2 )在平面正交坐标系中，满足不等式x2 y22x 2y整数点坐标(x，y )的个数为().(A)10 (B)9 (C)7 (D)53 (a ) .所给实数，且这4个数据的平均值与中央值之差的绝对值为().(A)1 (B) (C) (D )3 (b ) .如图所示，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线ABC为等边三角形，AD=3，BD=5CD的长度是。(A) (B)4(C) (D)4.54.(甲).钱先生和玲先生每人有一些金额为整数元的人民币。 钱先生对玲说：“如果你给我2元，我的金额就是你的n倍。”小林对钱先生说：“如果你给我n元，我的钱数就是你的2倍。” 其中n是正整数，且n的可能值的数目等于().(A)1 (B)2 (C)3 (D)44 (b ).x方程式为正整数)的正根小于3时，这种方程式的数目为().(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 85 (a ) .质量均匀的立方体骰子的6个面的数字分别投掷1、2、3、4、5、6 .骰子2次，其上面的数字之和除以4的馀数分别为0、1、2、3的概率时，最大的是().(A) (B) (C) (D )5 (b ) .黑板上总共写着100个数字。每次操作从黑板上的数字中选择2个删除，在黑板上写数字的话，经过99次操作在黑板上剩下的数字是().(A)2012 (B)101 (C)100 (D)99二、填空问题(共5小问题，每小问题6分钟，共30分钟)6 (a ) .按照图那样程序进行操作，是规定程序的执行从输入一个值x 变为结果487 的一次操作.6 (b ) .如果a、b、c为正且满意，则的值为。7 (a ) .如图所示，正方形ABCD的边长为2e、f分别是AB、BC中点、AF和DE、DB分别与点m、n相交时DMN面积如图7 (b )所示，假设点a在半径为20的圆o上，以OA为一条对角线设为矩形OBAC，直线BC与d、e这2点相交的圆o，则线段CE、BD的长度之差为正。如果与8 (a ).x有关方程式x2 kx k2-3k=0的两个实数根分别为，则的值为.8 (b ) .如果设为整数且能够被1n2012.5整除，则所有个数为.9 (甲).2名8年级和9年级m人一起参加象棋比赛，比赛是单周期，所有参加者都正好进行比赛。 得分规则是，每场比赛胜利者3分，失败者0分。平局各1分，比赛结束后，所有同学的得分合计为130分，平局数不超过比赛局数的一半的话，m的值为如果正数x、y、z是三角形的三边的长度，则称为三角形的数量，如果和都是三角形的数量，则能够取得的值的范围为.如图10 (a )所示，四边形ABCD与o内接AB是直径，AD=DC .是BA，CD分别延长交点是BFEC，和EC的延长线是与点f相交。如果AE=AO，BC=6则为CF的身材高大10 (b ) .已知偶数且为1100 .当唯一正整数对成立时，这样的个数为.三、解答问题(共4题，1题15分钟，共60分钟)11 (a ) .二次函数已知，当时恒有的关于x的方程式的两个实数根的倒数和小于.求出的值的范围如图所示，在正交坐标系xOy中，点a位于y轴负半轴上，点b、c分别位于x轴的正、负半轴上。 点d位于线段AB上，将CD交叉点y轴连接到点e，并且。 求出图像通过b、c、e三点的二次函数的解析式。12 (a ) .图，4444444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡612 (乙).图，44444444444444气体气体气体(1)OI是IBD的外接圆的切线(2)AB AD=2BD。已知整数a、b在a-b是素数、ab是完全平方数、2012时，求出a的最小值.13 (乙).给正整数，在唾沫形状中最多几个内角相等？ 说明理由14 (a ) .求出所有正整数n，使正整数存在，满足且14 (b ) .将，(n2 )任意分为两组，如果能够在任意一组中找到数字(也可以相同)，则求出的最小值为参考解答一、选择问题1 (甲).c解：由实数a、b、c在轴上的位置可知然后呢所以呢1 (乙).b解：2 (甲).d解：利用正比函数和反比函数的图像及其对称性，可知两个交点关于原点对称，所以另一个交点的坐标为(3，2 )。2 (乙).b解：根据问题设定x2 y2x2 2y，得到0-2它们都是整数能解开以上合计为九对。3 (甲).d解：因为我从问题中知道，这四个数据的平均值，中值是多少所以呢3 (乙).b解：如图所示，以CD为边，等边为CDE，连接AE。因为AC=BC，CD=CEBCD=BCA ACD=DCE ACD=acebcdace，BD=AE再见了在rt中所以DE=所以CD=DE=44 (甲).d解：钱先生的全部金额为x元，玲先生的全部金额为y元，全部为非负整数x得到(2y-7)n=y 4消去2n=.由于是正整数，因此2y-7的值分别为1，3，5，15，因此y的值只有4，5，6，11。 因此，n的值分别为8、3、2、1。x的值分别为14、7、6、74 (乙).c解：从一次二次方程的根与系数的关系得知，两个积，方程的根为正和负。 从二次函数的图像得知，那时.因为一切都是正整数，所以1q5； 或者是1q2，在那个时候.而且，7组符合问题意思.5 (甲).d解：掷两次骰子，面朝上的两个数字组成的秩序数为36个，和除以4的馀数分别为0、1、2、3的秩序数为9个