因式分解的常用方法(方法最全最详细)

因子分解的一般方法第一部分：方法介绍素因数分解：素因数分解是将一个多项式乘以几个整数式的形式，主要有公开因子法、公式法、十字相乘法、分组分解法、交换法等因子分解的一般步骤如下：(1)通常采用“提”、二“公”、三“分”、四“变”的顺序。 也就是说，先看有无公因性，然后再看是否可以直接利用乘法运算式。如果前两个步骤无法实施，可以利用分组分解法，分组的目的是分组后有公因性，或者利用公式法继续分解(2)如果上述方法均不成功，则选择可尝试配置法、换元法、保留系数法、试验除法、拆解法等方法。注意：要分解多项式，必须分解多项式，直到不能再分解为止。一、提案算法.ma mb mc=m(a b c )二、运用公式法在正式的乘法、除法中，学过几个乘法式，但是在这里反向使用是因子分解中常用的公式。 例如：(1) (ab ) (a-b )=a2-B2- a2-B2=(ab ) (a-b )；(2)(ab)2=a2ab2-a2ab2=(ab)2；(3) (ab ) (a2-ab2 )=a3 B3- a3 B3=(ab ) (a2-ab2 )(4) (a-b ) (a2ab2)=a3- b3- a3- b3=(a-b ) (a2ab2)然后添加两个常规表达式(5)a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca=(a b c)2；(6) a3b3c3-3ABC=(ABC ) (a2b2c2- a B- BC-ca )我知道的是三边的形状是()a .直角三角形b等腰三角形c等腰三角形d等腰直角三角形解答：三、分组分解法(1)分组后，可以直接提出公因性例1、分解因子：分析：从“整体”来看，该多项式的各项目没有公因性，也不能用公式进行分解，但从“局部”来看，由于该多项式的前两个项目含有a，后两个项目含有b，因此将前两个项目分为一组，将后两个项目分为一组进行分解解：原式=各组之间还有公因性！=例2、分解因子：解法1 :第一、第二项为一组解法2 :第一、四项为一组第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式=原式=练习：分解素因数1、2，(2)分组后，可直接应用公式例3、分解因子：分析：将第一项、第三项分为组，将第二项、第四项分为组，可以提出公因性，但提出后可以继续分解，只能分为别的组。解：原式=例4、分解因子：解：原式=练习：分解因子3、4，综合练习： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10 )(11)(12 )四、十字相乘(1)二次项系数为1的二次三项式用式直接分解。特征： (1)二次项系数为1(2)常数项为两个个数的乘积(3)一次项的系数是常数项两系数之和。思考：十字乘法有什么基本法则？例如，已知是05且是整数，如果能够通过十字乘法分解因子，则求出满足条件因子.分析：可串扰的二次三项式ax2 bx c都要求为0且完全平方。到了完全平方例5、分解因子：分析：把6分成两个个数乘以，把这两个个数之和定为5。因为6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6 )，所以可知只有23的分解是适当的，即2 3=5。 1 2解：=1 3=12 13=5用此方法分解的关键是将常数项分解为两个系数的乘积，且这两个系数的代数和必须等于一次项的系数。例6、分解因子：解：原式=1 -1=1 -6(-1) (-6)=-7练习5，分解素因数(1) (2) (3)练习6，分解因子(1) (2) (3)(二)二次项系数不为1的二次三项式条件： (1)(2)(3)分解结果：=例7、分解因子：分析：1 -23 -5(-6) (-5)=-11解：=练习7，分析原因： (1) (2)(3) (4)(3)二次项系数为1的一次多项式例8、分解因子：分析：视为常数，原多项式视为二次三项式，用十字相乘分解。1 8b1 -16b8b (-16b)=-8b解：=练习8，素因数分解(1)(2)(3)(4)二次项系数不是1的次数多项式例9、例10，1 -2y视为整体1 -12 -3y 1 -2(-3y) (-4y)=-7y (-1) (-2)=-3解：原式=解：原式=练习9，分析原因： (1) (2)综合练习10、(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9)(10 )思考：分析原因：五、兑换法。(1)、改变单项式例1分解因子x6 14x3 y 49y2分析：关注x6=(x3)2，将单项式x3复原，设x3=m，则x6=m2，原来的式子变形为m2 14m y 49y2=(m 7y)2=(x3 7y)2。(2)、转换多项式例2分解因子(x2 4x 6) (x2 6x 6) x2分析：正题前面的两个多项式有相同的部分，我们只能复原相同的部分，如果x2 6=m，则变形为x2 4x 6=m 4x，x2 6x 6=m 6x(m4x ) (m6x ) x2=m 210 x 24 x2=m 210 x 25 x 2=(m 5x)2=(x2 6 5x)2=(x 2)(x 3)2=(x 2) 2 (x 3)2。以上的转换元法仅转换多项式的一部分，因此被称为“局部转换元法”。 当然，也可以将前面两个多项式中的任意一个都转换为“整体转换元法”。 例如，如果x2 4x 6=m，则变形为x2 6x 6=m 2xm (m2x ) x2=m2 x2=(MX )2=(x2 x 4x 6x )2=(x2x6x ) 2=(x 2)(x 3)2=(x 2) 2 (x 3)2。在此示例中，假设m=(x2 4x 6) (x2 6x 6)=x2 5x 6，则x2 4x 6=m-x，x2 6x 6=m x(MMX ) (m-x ) x2=m2- x2x2=m2=(x 25 x6)2= (x2) (x3) 2=(x 2) 2 (x 3)2。例3分解因子(x-1)(x 2)(x-3)(x 4) 24 .分析：这个问题前面有4个多项式的乘积，可以将它们分为2个多项式的乘积。 无论怎样分组，最高项为x2，常数项不相等，所以只能使一次项相同。 因此，将(x-1)(x 2)(x-3)(x 4)分组成 (x-1 ) (x-3 ) (x4) =(x2x-2 ) (x2x-12 )，改变例2的形状进行了解决。我们采用平均转换算法，若设m= (x2 x-2) (x2 x-12)=x2 x-7，则x2 x-2=m 5，x2 x-2=m-5，原来的形状为(M5 ) (m-5 ) 24=m2-25=m2-1=(m1 ) (m-1 )=(x2x-7-1 ) (x2x-7-1 )=(x2x-6 ) (x2x-8 )=(x-2 ) (x3 ) (x2x-8 )(3)、换算常数例1分解因子x2(x 1)-20032004x分析：这个问题用一般思路解答不出效果。 注意两个数字2003和2004的关系，并且对其中一个常数进行转换。 例如，若设m=2003，则2004=m 1.因此，原来的形状向右变形x2 (x1 )m (m1 ) x=x x (x1 )-m (m1 ) =x (x2x-m2-m )=x (x2-m2 ) (x-m ) =x (x-m ) (x-m ) (x-m ) =x (x-m ) (xm1 )=x (x-2003 ) (x 20031 )=x (x-2003 ) (x 2004 )例13、分解因子(1)(2)解： (2005=，原则=(2)类似于模型的多项式在分解因子时可以将四个因子乘以两组。公式=那样的话表达式=练习13，素因数分解(1)(2)(3)例14、分解因子(1)观察：该多项式的特征，每项的次数减少1，系数为“轴对称”。 这个多项式属于“等距多项式”。方法：提及中间项的文字及其次数，保留系数后再使用换算法。解：原式=。那样的话表达式=(2)解：原式=。那样的话表达式=练习14，(1)(2)六、增加项目，分解项目，分配方法。例15、分解因子(1)解法1项。 加入解法2项。表达式=表达式=(2)解：原式=练习15，分解原因(1) (2)(3) (4)(5) (6)七、保留系数法。例16、分解因子分析：原式的前三项可分，但原多项式必分解：设定=22222222卡卡卡卡卡卡卡62222222222卡卡卡卡卡卡卡比较左右相同项的系数就可以看出来公式=例17、(1)为什么有值，多项式能够分解因子并分解该多项式。(2)如果两个因子为和，则求得的值。(1)分析：前两个可以分解为，所以多项式分解的形式必须是解：设定=则=相应系数相比较，可以得出解：或当时，原多项式可以分解当时，原式=；当时，式=(2)分析：因为是三次式，所以必须分为三个一次式相乘，第三个因子必定是形式上的一次二项式。解：设定=则=解析=21练习17、(1)分解原因(2)分解因子(3)分解为2个一次因子的积，求出常数，可以分解因子。(4)为什么有值，可以分解为2个一次因子的乘积，并分解该多项式。第二部分：练习题大全经典1 :一、填空问题1 .把一个多项式变成几个正式的_形式称为素因数分解。2分解因子： m3-4m=3 .分解的原因： x2-4 y2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4、