导数与函数的零点

导数的应用(2),教学目标:用导数解决零点问题,证明不等式及其应用.,教学重点:重点是用导数解决有关函数零点的问题,不等式的证明及应用结论解决有关问题.,教学难点:难点是用导数解决函数零点问题时对参数的讨论.,复习回顾,1.求函数的单调区间：,3.求函数的极值的方法及步骤：,4.求函数的最值的方法及步骤：,2.已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围：,导数的应用(2),2.设a1,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明f(x)在上仅有一个零点.(3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:,1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D),变式训练1:设函数(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.,导数的应用(2),3.已知函数(1)若,求f(x)的单调区间.(2)若当x0时f(x)0,求实数a的取值范围.,变式训练3.设函数(1)若a=0,求f(x)的单调区间.(2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.,变式训练2.已知函数,g(x)=-lnx(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,例题解答,1.解由题意知,有两个实根设,则,1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D),当a0时,g(x)在单调递增g(x)不可能有两个零点,则f(x)不可能有两个极值点.,当a0时,由,得当时,g(x)单调递增当时,g(x)单调递减所以g(x)有最大值由题意知,得故a的取值范围为,例题解答,1.已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围()A)B)C)(0,1)D),1.解由题意知,有两个实根,即有两个实根即y=lnx与y=2ax-1的图像在有两个交点如图,设y=lnx与y=2ax-1的图像切于点(m,lnm)则由,解得m=1所以k=2a=1，得故a的取值范围为,变式训练1:设函数(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.,变式训练1的答案,解:(1)f(x)的定义域为,由k0,可得所以当0x2时,函数f(x)单调递减所以当0x0时,设函数则,当0k1时,由0X2,得,g(x)单调递增故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.,当时,由0X2,得,g(x)单调递减故g(x)不可能有两个零点,即f(x)不可能有两个极值点.,当时,由,得x=lnk当0xlnk时,函数g(x)单调递减当lnk1,函数(1)求f(x)的单调区间(2)证明f(x)在上仅有一个零点.(3)若函数y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:,2.证明:有(1)知f(x)在R上单调递增,且f(0)=1-a1,故a-10,所以,例题解答,所以,故所以,使得又f(x)在上单调递增所以f(x)在上仅有一个零点.,(3)证明:令,得x=-1所以点P坐标为所以OP的斜率为由f(x)在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,得,要证只需证即证设则由,得m=0当时,g(m)单调递减当时,g(m)单调递增所以故成立所以,例题解答,变式训练2的答案,解:(1)设曲线y=f(x)与x轴切于点,则,即解得当时,x轴是y=f(x)的切线.,变式训练2.已知函数,g(x)=-lnx(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,(2)当x1时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0故h(x)在无零点.,当x=1时,若,则f(1)=h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,x=1是h(x)的一个零点若,则h(1)=f(1)0故f(x)(0,1)上无零点.()当a-3时,f(x)在(0,1)单调递减且,f(x)在(0,1)内仅有一个零点.,()当-30时,g(x)单调递增,而g(0)=0所以当x0时,g(x)0,即f(x)0,例题解答,若a1,则当时,g(x)单调递减而g(0)=0,从而当时,g(x)h(0)=0故,则g(x)在上单调递增。所以由于在恒成立。所以a1a的取值范围为,变式训练3的答案,(2),则令,则,当时,恒成立,g(x)在单调递增所以g(x)g(0)=0,即,故f(x)在单调递增所以f(x)f(0)=0,即不等式f(x)0成立.,当时,g(x)在(0,ln2a)单调递减,而g(0)=0g(x)g(0)=0,则,f(x)在(0,ln2a)单调递减而f(0)=0,故f(x)0,不合题意.,综上,得a的取值范围为,解:(1)a=0时,则当x0,f(x)单调递增故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,变式训练3.设函数(1)若a=0,求f(x)的单调区间.(2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.,变式训练3的答案,解:(1)a=0时,则当x0,f(x)单调递增故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(2)由(1)知,当且仅当x=0时等号成立当1-2a0时,即时,而f(0)=0于是x0时,f(x)0,由,得,故从而当时,故当0xln2a时,f(x)单调递减,而f(0)=0,于是f(x)0综上得a的取值范围为,1.设,x0,n(1)求(2)证明:在内有且仅有一个零点(记为),且,课后作业,2.已知函数(1)设g(x)是f(x)的导函数,求函数g(x)在区间上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2a0且x1时,求k的取值范围.,1.设,x0,n(1)求(2)证明:在内有且仅有一个零点(记为),且,课后作业答案,解:(1)所以则-得,所以,(2)因为,所以在内至少有一个零点.,课后作业答案,又,所以在内单调递增所以在内有且仅有一个零点.,由于,所以由此可得故所以即在内有且仅有一个零点,且,课后作业答案,2.已知函数(1)设g(x)是f(x)的导函数,求函数g(x)在区间上的最小值.(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-20即1-b0,e-2a-b0又f(1)=e-a-b-1=0,得b=e-a-1所以1-(