圆与相似综合题的有关定理_第1页
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圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。）定理图形已知结论证法相交弦定理 O中，AB、CD为弦，交于点P。PAPBPCPD连结AC、BD，证：APCDPB切割线定理 O中，PT切O于点T，割线PB交O于点A。PT2PAPB连结TA、TB，证：PTBPAT割线定理PB、PD为O的两条割线，交O于A、C两点。PAPBPCPD过P作PT切O于T，用两次切割线定理2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：ABCD + BCAD = ACBD证明：在BAD内作BAE=CAD，交BD于E。因ABE=ACD，所以ABEACD， 从而 得 ABCD = ACBE ；易证ADEACB，从而 得BCAD = ACDE ；+ 得ABCD + BCAD = AC（BE+DE）= ACBD 3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。弦切角定理的证明：已知：AP切O于P，PQ是弦，则APQ是弦切角，APQ夹的弧是弧PQ， 弧PQ所对的圆周角记为PCQ 证明：APQ=PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）1圆心O在APQ外部 过P作直径BP，联结BC 则BPAP，APB=90，且BCP是直径BP所对的圆周角，BCP=90 则有APB=BCP，即APQ+BPQ=BCQ+PCQ 由于BPQ，BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以BPQ=BCQ 所以APQ=PCQ2圆心O在APQ的一边，PQ上 此时PQ是直径，则PQAP，APQ=90 而且PCQ是直径PQ所对的圆周角，PCQ=90 所以APQ=PCQ3圆心O在APQ内部 过P作直径BP，联结BC 则BPAP，APB=90，且BCP是直径BP所对的圆周角，BCP=90 则有APB=BCP 由于BPQ，BCQ都是弧BQ所
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