复数运算的常用规律和几何意义

复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。 多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a+bi)2=a2-b2+2abi (a,bR)(a-bi)2=a2-b2-2abi (a,bR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i (bN) 3. Z+=2ReZ Z-=2(ImZ)i(其中ReZ,ImZ分别表示复数Z的实部和虚部)4.Z=Z2=25.设w=-+i 则w3=1,1+w+w 2=0,=w2=6. (Z20)7.Z1Z2=Z1Z2 =(Z20)8.Z=ZR9.Z=-Z=ki(kR) =Z10.r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)rk(cosk+isink) =r1r2r3rkcos(1+2+3+k)+isin(1+2+3+ +k)其中r1r2r3rk0 (1、2、3k R)复数的几何意义加法的几何意义：设，各与复数Z1，Z2对 应 ，以，为边的平行四边形的对角线 就与Z1+Z2对应。减法的几何意义：设，各与复数Z 1，Z2对应，则图中向量所对应的复数就是Z2-Z1。Z1-Z2的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。乘法的几何意义：设表示复数r(cos+isin)(r0)，把绕A点按逆时针方向旋转角，旋转后再把所得向量的长度变为原来的k倍(k0)得到，则对应的复数是r(cos+isin)k( cos+isin)，如果把绕A点按顺时针方向进行同样方式的旋转 和伸缩，那么所得向量对应的复数是r(cos+isin)k(cos-isin)除法是乘法的逆运算，除法也可表现为乘法的形式，Z1Z2=Z1()因此除法运算的几何意义与乘法运算的几何意义实质相同。复数方根的几何意义：设对应的复数是Z，Z的n次方根(n2,nN)对应于 从原点出发且在 原点处n等分圆周角的n个向量，这n个向量的模都是，其中一个向量的辐角是复数Z的辐角的n分之一，图中画出了模为8的向量所对应的复数的三次方根，其中的辐角取辐角的三分之一。由复数的几何意义推导的结论1.Z1Z20，则Z1+Z2=Z1-Z2=i (R且0)对应的向量2.设P点对应的复数为Z1，点Q对应的复数为Z2，则向量对应的 复数是Z2-Z13.向量绕点P顺时针方向旋转角(0)所得到的向量对应的复数 应是(Z2-Z1)cos(-)+isin(-)而旋转之后点Q对应的复数应是(Z 2-Z1)cos(-)+isin(-)+Z14.Z-Z1=Z-Z2表示以复数Z1、Z2在复平面内对应的点为端点的线段垂直平分线的方程。5.Z-Z0=r表示以Z0为复平面内对应的点Z0为圆心，半径是r的圆的方程。6.Z-Z1+Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在复平面内对应的点Z 1、Z2为焦点，长轴是2a的椭圆方程。 7.Z-Z1-Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在复平面内对应点Z1 、Z2为焦点，实轴长是2a的双曲线方程，在复数集上的方程主要有三个问题：复数集上 方程的求解；根据方程解的情况讨论参数的取值范围；与复数集上方程有关的计算或证明。求解复数集上的方程主要有以下四种解法：设Z=x+yi(x，yR)从而转 化为关于实数x，y的方程。若是复数集上的