平面向量的坐标表示及其运算

一.情况介绍上海新宿中学的4名健美操队选手在a、b、c、d长10米、宽8米的矩形表演领域EFGH内进行健美操。(1)如果在某一时刻，4名队员a、b、c、d保持了如图1所示的平行四边形阵型。队员a在点f，队员b在侧FG的f点3米处，队员d在EF边2米处，距FG边5米处。这时能确认队员c的位置吗？说明这时队员c在离EF 5米的FG侧5米处。这张图表更特殊，学生们很快就会得到答案，这时老师引入了第二个问题。(2)如果某个时候4名队员a，b，c，d维持了如图2所示的平行四边形阵型。a队在EF 2米，b队在EF 6米，FG 3米，d队在EF 4米，FG 5米。你确定队员c的位置吗？第二，学习新的课程。1.向量的正交分解在平面直角座标系统中，与正x轴线和y轴线方向相同的两个单位向量称为基准单位向量，以原点o开始的向量称为位置向量，如下所示：下图左侧是位置向量。想法1:对于其中一个位置矢量，可以用基本单位矢量表示吗？上图右侧，点a的坐标为小x轴，y轴的投影分别为m，n时，矢量是否表示为和？添加矢量时平行四边形法则用基本单位矢量表示吗？(向量与实数相乘的几何意义如下：看上面的公式，平面正交坐标系中的位置矢量可以表示为两个相互垂直的基本单位矢量的线性组合。这个矢量我们称之为矢量的正交分解。2.向量的座标表现法想法2:对于平面正交坐标系中的任意矢量，是否可以正交分解为基本单位矢量的线性组合？下图左侧。显然，可以通过从上图右侧的原点o开始创建位置向量。因此，在平面直角座标系统中，任意向量具有相同的位置向量。因此，我们可以通过研究相应的位置矢量来研究矢量的特性。由于任何一个位置矢量都可以正交分解为基本单位矢量的线性组合，因此平面内的任何矢量都可以正交分解为基本单位矢量的线性组合。也就是说：=上述基本单位向量之前的系数x，y是位置向量(与向量相同)的端点a的座标。基本单位矢量是固定不变的，因此通常提取系数x，y以获得对齐的实数对(x，y)。您可以看到对齐的实数对(x，y)与向量的位置向量一一对应。因此，使用一对对齐实数(x，y)表示矢量，并将(x，y)记录为矢量的坐标。=(x，y)描述(x，y)不仅是向量的座标，也是相同位置向量端点a的座标！如果将矢量的起点放置在坐标原点，则端点a的坐标是唯一的，因此矢量的坐标也是唯一的。这将通过合并点和矢量、矢量和坐标来简化复杂的问题。根据上述措辞，如下：范例1。建立向量的座标，如图所示。解法：由贴花指出与向量相同的位置向量，可以知道与向量相同的位置向量，可以知道描述对于位置矢量，端点的坐标是矢量的坐标。对于起点不在原点的矢量，首先查找相同的位置矢量，然后使用位置矢量的坐标获取其坐标。那么，有没有方法直接创建任意矢量的坐标，而不通过位置矢量呢？答案是肯定的，非常简单。但是要解决这个问题，几分钟后再进行。先学习用矢量坐标表示的运算。3.向量的座标表示运算学习矢量的运算，知道矢量有加法、减法、实数和矢量的乘法等运算，那么学习矢量的坐标表示后，我们如何用矢量的坐标来表示这些运算呢？就说是失误吧。因为所以所以有：上述第一个公式可以表示两个矢量的和(差)的横坐标等于其横坐标的和(差)，两个矢量的和(差)的纵坐标等于其纵坐标的和(差)，通常两个矢量和(差)的坐标等于其坐标的和(差)。同样，第二个公式通常可以说，数和矢量的乘积的横坐标等于数和矢量的横坐标的乘积，数和矢量的乘积的纵坐标等于数字和矢量的纵坐标的乘积，以及数字和矢量相应坐标的乘积。4.应用和深化现在，我们来看看如何直接写任意矢量的坐标，而不通过位置矢量的问题：21世纪教育网范例2 .下图左侧，平面正交坐标系中的任意两点如何用p，q的坐标表示矢量？解法：上图右侧，向量所以有说明以上公式表明，平面直角坐标系中所有矢量的横坐标可以称为端点的横坐标和起点的横坐标的差值，纵坐标可以称为端点的纵坐标和起点的纵坐标的差值，即“任意矢量坐标=端点-起点坐标”。范例3 .图中a、b和c的三点坐标分别为、(1)写矢量的坐标。(2)四边形ABCD为平行四边形时，取得d的座标。解决方案：(1)(2)在上图中，四边形ABCD是平行四边形，因此点d的坐标为：又来了高句丽由此可以看出因此，点d的坐标为。练习：(1)在本单元开头我们提出的任何时刻，请回答健美操运动员c的位置问题2分钟。即：在某一时刻，四名队员a、b、c和d保持平行四边形的队形，如图所示。下图左侧，组a距EF边2米，组b距EF边6米，组d距FG边3米，组d距EF边4米，组b距FG边5米。此时能确认队c的位置吗？解决方案：设置正交坐标系，将点f作为坐标原点，将边FG作为x轴，将边FE作为y轴，如上图所示。按问题设置A(2，1)、B(6，3)、D(4，5)、C(x，y)将使ABCD充当平行四边形。又来了高句丽因此，x=8，y=7，即C(8，7)。答：c队距EF队8米，距FG队7米。(2)某一时刻，4名队员a、b、c、d保持了平行四边形队形。a队队员在EF侧2米，FG侧1米，b队队员在EF侧6米，FG侧3米，c队队员在矩形阴影的一部分(包括边界)，如下图左侧所示。此时队员d能拥有的位置区域确定吗？解决方案：设置正交坐标系，如上图右侧所示，将点f作为坐标原点，将边FG作为x轴，将边FE作为y轴。依问题设定A(2，1)、B(6，3)、D(x，y)可让ABCD以平行四边形执行以下作业：得到D(x，y)，C(x 4，y 2)在问题中因此，团队成员d的可能位置区域可以获得阴影部分(删除点b)，如图所示。范例4 .已知向量和所需座标。解决方案：因为，所以三.整合练习1.建立向量的座标，如图所示。2.如果终点坐标为(2，1)，则起点的坐标为；如果起点坐标为(2，1)，则终点坐标为。已知向量和寻找的座标。解决方案：1 .作为问题：2.如果起点的坐标为(x，y)，则起点的坐标为(2，1)-(x，y)=(-1，2)，已求解：(x，y)=(3，-1)，即起点的坐标为()如果终点的坐标为(x，y)，则起点的坐标为(x，y)-(2，1)=(-1，2)，已求解：(x，y)=(1，3)，即起点的坐标为(1，3)3.=3=3其他方法:=内容扩展：1，已知向量。(1)在坐标平面上绘制矢量。拯救=；来源：121世纪教育网(2)如果矢量端点q坐标为，则矢量起点p坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)矢量的模块与两点p，q的距离关系是。如果是这样的话练习1:已知向量，寻找说明在问题1中，首先给出了矢量，并在坐标平面上绘制了矢量，以提高多形状结合的问题解决意识。识别矢量模型的方法是平面上两点的距离。从而发现和掌握矢量模块的方法和几何意义。布局(2)小问题的目的是探讨整合位置向量和自由向量的概念，认识到某一个自由向量可以转换为位置向量，然后意识到。通过自由向量和位置向量的学习，推导出向量平行的概念。向量平行概念：如果两个向量都有常数，则这两个向量平行于向量。2.在坐标平面上绘制以下三个点以完成以下问题：(1)将以下矢量的坐标和模具填充到表中：向量座标(1，2)(2，4)(3，6)向量的模(2)你通过绘画得到什么结论？(？三点a、b和c位于一条直线上(3)分析表中矢量的模式。发现了什么？(4)分析表中的矢量。你还找到了什么？，说明养成解决问题后反思的习惯，如何判断3点同一线？方法1:计算三个矢量的模式长度关系。方法2:检查两个非零矢量之间是否存在非零常数。通过分析表中的矢量坐标，你发现了什么？矢量坐标之间有比例关系。思考：如果矢量用坐标表示，则为示例()条件。a，需要足够的b，需要不足c，完全不必要d，不适当或不必要因此，通过改进，教科书范例5如果有两个非零向量，充分的条件是。分析：代数证明的方法和技术严谨。证明：通过两个阶段证明，需要先证：非零矢量有非零错误。，可以清理：删除立即重新认证充分性：如果(1)，则，的值不是0。是如果(2)，中至少有两个为零。如果是这样的话，是从非零矢量导出的，由非零矢量导出，此时存在，即如果是这样，同样可以证明总而言之，在当时总是因此，命题得到证明。【说明】这个问题是典型的代数证明，推理严谨明确的水平，更高的要求，培养数学思维能力的好例子。练习2:1.是已知向量，x是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _设定(x1，y1)，=(x2，y2)会套用以下共线先决条件()有实数，所以=或=。； ()/(-)a，0个b，1个c，2个d，3个3.设定为单位向量，(1)是平面内的向量时，有三个命题：(2)平行的情况；与(3)平行。以上命题中假命题的