自动控制理论_23状态空间分析方法

经典控制理论描述系统数学模型的方法：外部描述：时域内为高阶微分方程、复频域内为输入输出关系的传递函数；,第九章状态空间分析方法,现代控制理论描述系统数学模型的方法：内部描述：一阶微分方程（时域）,从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。,利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来探讨系统的内特性，设计状态反馈和输出反馈。,卡尔曼,经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：系统模型为单输入单输出模型；忽略初始条件的影响；不包含系统的所有内部信息；无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。,复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。,什么是系统？,系统是由若干个部分相互联系而构成的有机整体.,包括内部结构和内部信息,系统内部也分成两部分：,互连关系,行为和状态,一、状态空间的基本概念,如何选取内部信息？,由控制任务决定：不同的系统有不同的控制任务。,选取应全面，应覆盖所有的内部信息,信息量恰到好处：“少一个不全，多一个多余”，,即线性无关。,状态：系统内部运动信息的集合,系统状态为各元器件的电压和电流,状态变量：用变量来表示状态的话，能完全描述系统运动状况的个数最小的一组变量即为状态变量。,特性：线性无关、个数唯一、状态不唯一,状态向量：状态变量的矢量组合,状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统）。,向量形式：,状态向量,输入向量,输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的个代数方程，称为系统的输出方程。,向量形式：,输出向量,例,解：依据牛顿定律,选择两个状态变量,状态方程,写成矩阵形式：,解：,例：建立如图所示的RLC电路的状态方程和输出方程。,微分方程,传递函数,只反映外部情况，无法获知内部联系,图1,定义状态变量,二阶微分方程，选择两个状态变量,状态向量,整理得一阶微分方程组为,状态方程,写成矩阵相乘的形式,可简写为,式中,选，则得到一阶微分方程组：,即：,状态变量选择不同，状态方程也不同。,两组状态变量之间的关系,P：非奇异矩阵,二、系统de状态空间表达式,解：1)选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。,2）根据基尔霍夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,整理得：,3）状态空间表达式为：,1)选取个状态变量；确定输入、输出变量；,建立状态空间表达式的步骤,状态变量、输入变量、参数,输出变量、状态变量、输入变量、参数,2)根据系统微分方程列出个一阶微分方程；,3)根据系统微分方程，列出个代数方程。,4)状态变量的选取原则,选择系统储能元件的输出物理量；,选择系统输出及其各阶导数；,根据微分方程建立状态空间：,选择状态变量,状态方程,输出方程,2.）化为向量矩阵形式：,系统矩阵,控制矩阵,输出矩阵,状态方程,输出方程,友矩阵,3.）系统结构图：,则状态空间表达式为：,解：选择状态变量,系统结构图,用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：,为标量,多输入多输出定常线性系统,三、线性定常系统状态方程的解,可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程,本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。,前面我们讨论了状态空间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。,由于状态空间表达式由两部分组成,即,仿照纯量微分方程：,向量,代入微分方程：,对求导：,两式相等必有：,*齐次状态方程的解：,已知状态方程,求,仿照纯量微分方程：,向量,代入,矩阵指数函数,状态转移矩阵,描述了状态向量由初始状态向任意时刻状态转移的内在特性。,(3)求齐次状态方程解的关键是求转移矩阵。,(2)系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于eAt，故称其为状态转移矩阵.,(1)齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解；,小结：,状态转移矩阵具有以下性质,状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵,例：求解系统状态方程,解：,*用拉氏变换法求解状态转移矩阵,齐次状态方程：,初始状态为：,两边取拉氏变换得：,整理得：,拉氏反变换得：,例用拉氏反变换法计算状态转移矩阵：,解：,则有：,四、传递函数矩阵,1、定义及表达式,零初始条件下，输出向量的拉氏变换与输入向量的拉氏变换之间的传递关系传递函数矩阵。,例：已知系统的状态方程，求传递函数矩阵。,解：,传递函