高一数学等比数列的前n项和课件 新课标 人教版A

等比数列的前n项和,制作人：王晓宁,学号：40915002,09级教育学一班,学习目标,1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法；2.运用等比数列前n项和公式进行求和；3.通过公式的推导和运用培养学生等价转化，分类讨论的数学思想。,学习任务,1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法；2.等比数列前n项和公式的应用；,传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！,即求：+=?,1,21,22,23,263,分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：,如果将等式两边同乘q，则得到一个新的等式,我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？,提出问题：若等比数列首项为a1，公比为q，前n项的和如何？已知：等比数列an，公比为q，求Sn=a1+a2+an,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn1,qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn,从第二项起，每一项为前一项的q倍,Sn=a1+a2+an,=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,-得,Sn-qSn=a1-a1qn,(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时,当q=1时,Sn=,Sn=na1,即：,当q1时,Sn,以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”,等比数列的前n项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种,有兴趣的同学可别忘了下去研究啊！,等比数列的前n项和公式为：,以下问题你能回答吗？,公式中的qn的n是项数n吗？,是,在公式（1）中，当q1时，分母是1q时，分子是，分母是q1时，分子是。,当公比q不确定时，应当分q=1和q1两种情况讨论。,D,D,练习：等比数列1，21，22，23，263的所有项的和是（）A.264B.2631C.2641D.2641数列a，a2，a3，an的前n项和为（）A.B.0C.nD.以上都不对等比数列，前8项和为_,264-1，这个数很大,超过了1.841019,假定千粒麦子的质量为40g，则填满棋盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。,“，”,+=?,一尺之棰,日取其半,万世不竭,n天之后取得的木棒的总长呢？,n天之后，我们总共取的木棒长度为：,Sn=,例1：远望巍巍塔七层，,分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？,红光点点倍加增，,其灯三百八十一，,请问尖头几盏灯？,这首古诗的答案是什么？,？,解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：S7=解得a1=3，故尖头有灯3盏,数学建模：已知等比数列，公比q=2n=7，S7=381求a1,通过上面例题与习题的求解，可以看出，在公式中涉及到了五个量，我们只要知道其中的三个量，利用等比数列的通项公式，及等比数列的前n项和公式就可以求出另外两个量。即“知三求二”。,例2：求和：Sn=,分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。,引申：（1）当把x1这个条件去掉时，上式该如何求和呢？,（2）当把x1，y1这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？,Sn=,分析：应该分x=1和x1两种情况讨论,=,3.2等比数列的复习,2.等比数列的通项公式:,即：=q(n2，q0),1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q0),3.2等比数列的复习,3.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列,4.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=（a,b同号）,例如：数列“3,3,3,3,3”,5.等比数列的性质：,1)若m+n=p+k，则,2)若m+n=2p，则,3.2等比数列的复习,6.判断等比数列的方法:,1）定义法如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q0）,即：=q(n2，q0),2）中项法：,3）通项公式法：,7.等比数列的增减性：,(1)当q1,a10或0q1,a11,a10时,an是递减数列,例1：数列“1,2,4,8,16”(q=2),例2：数列“-88，-44，-22，-11”(其中q=0.5),例1：“-1，-2，-4，-8，-16”（q=2）,例2：数列“32，16,8,4,2”(q=0.5),(4)当q0时,an是摆动数列,(3)当q=1时,an是常数列,例：数列“1,1,1,1,