平行四边形超级难题学霸挑战2

2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷一选择题（共9小题）1如图所示，在ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A1cm2B1.5cm2C2cm2D3cm22如图，ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MNAB，PQBC，则下列结论中正确的是（）ASMOD=SNOBBS四边形BNOP=S四边形DMOQCSABD=2S四边形AMOPDS四边形AMOP=S四边形CNOQ3如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MNABDC，EFDACB，则有（）AS1=S4BS1+S4=S2+S3CS1S4=S2S3D都不对4如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，且BNAN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则ABC的周长是（）A28B32C18D255根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A3nB3n（n+1）C6nD6n（n+1）6在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A2BCD157AD是ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）AAD6BAD2C2AD6D1AD38如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A15B12C9D69ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上已知BE=DE，CF=FG，则A的度数（）A等于80B等于90C等于100D条件不足，无法判断二选择题（共7小题）10如图，ABC中，BD平分ABC，ADBD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF= 11在ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有 个12在ABC中，BC=10，B1、C1分别是图中AB、AC的中点，在图中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图中B1，B2B9；C1C2C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+B9C9的值是 13已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“BAD=BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“DBA=CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是 14已知ABC周长为1，连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为 15如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5= 16如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且SAEF=6cm2，SDCF=54cm2，则S平行四边形ABCD= cm2三选择题（共23小题）17如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积18如图，ABCD，ACB=90，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F求证：（1）DEAC；（2）ACD=ACE19如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE（不需证明）（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而1=2，再利用平行线性质，可证得BME=CNE）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD的形状并证明20已知：如图，ADBC，ACBD于O，AD+BC=5，AC=3，AEBC于E求AE的长21已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，CNAD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M试判断BM=MC的正确性如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由22已知：如图在ABCD中，AC，BD交于O，CEBD于E，AFBD于F，连接AE，CF（1）判断四边形AFCE的形状；（2）证明你的结论23已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，ADBC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高24已知：如图（1），AC是ABCD的对角线，直线MN过点D，且MNAC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有 （只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有 （只写一组）请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明25如图，在ABC中，AB=6cm，BC=8cm线段BC所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D（1）经过多少秒后ED是ABC的中位线？此时ED的长为多少？（2）经过多少秒后ED的长为2cm？26如图，已知ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边ADE（1）ACD和CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，DEF=3027如图，在ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MNAD，MN=AD28如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点说明1与2的大小关系29如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积30如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形（1）当ABAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件31如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F（1）求证：ABEDFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论32在HBC中，B=C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD求证：ADBC33如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F若PE=PF，且AP+AE=CP+CF（1）求证：PA=PC（2）若AD=12，AB=15，DAB=60，求四边形ABCD的面积34（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗？请在图上画出对应的示意图（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若AEH，BEF，CFG，DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是 （不要求说明理由）35操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的ADE纸片绕点E旋转180后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的BFE纸片绕点E旋转180到AF1E位置；沿HG剪开并将其中的DGH纸片绕点H旋转180到AG1H位置；沿FG剪开并将CFG纸片放置于AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G则四边形FF1G1G的形状是 36如下图，已知BE、CD分别是ABC的角平分线，并且AEBE于E点，ADDC于D点求证：（1）DEBC；（2）37已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分DAB和CBA（1）求证：APPB；（2）如果AD=5，AP=8，求APB的面积38在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分BAD和BCD，（1）AC与EF互相平分吗？试说明理由（2）若B=60，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF的周长和面积39如图，已知AD与BC相交于E，1=2=3，BD=CD，ADB=90，CHAB于H，CH交AD于F（1）求证：CDAB；（2）求证：BDEACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE四解答题（共1小题）40如图所示，在ABCD中，ABBC，A与D的平分线交于点E，B与C的平分线交于F点，连接EF（1）延长DE交AB于M点，则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条？说明理由；（不再另外添加字母和辅助线）（2）EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？（3）如果将条件“ABBC”改为“ABBC”，其它条件不变，EF、BC与AB的关系又如何？请画出图形并证明你的结论2018年05月22日y冬夏y的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1如图所示，在ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（）A1cm2B1.5cm2C2cm2D3cm2【解答】解：连接MN，作AFBC于FAB=AC，BF=CF=BC=8=4，在RtABF中，AF=，M、N分别是AB，AC的中点，MN是中位线，即平分三角形的高且MN=82=4，NM=BC=DE，MNOEDO，O也是ME，ND的中点，阴影三角形的高是AF2=1.52=0.75，S阴影=40.752=1.5故选B2如图，ABCD中，点O是对角线BD上的任意一点，过点O作MNAB，PQBC，则下列结论中正确的是（）ASMOD=SNOBBS四边形BNOP=S四边形DMOQCSABD=2S四边形AMOPDS四边形AMOP=S四边形CNOQ【解答】解：平行四边形中，MNAB，PQBC，SBOP=SBON，SMOD=SQOD，S（BOP+APOM+MOD）=S（BON+CQON+QOD）SAPOM=SCQONA、B、C说法都不正确，故选D3如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MNABDC，EFDACB，则有（）AS1=S4BS1+S4=S2+S3CS1S4=S2S3D都不对【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DEh1，S2=AFh2，S3=ECh1，S4=FBh2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DEh1+FBh2=AFh1+FBh2，S2+S3=AFh2+ECh1=AFh2+FBh1，故B错误；S1S4=DEh1FBh2=AFh1FBh2，S2S3=AFh2ECh1=AFh2FBh1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C4如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，且BNAN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则ABC的周长是（）A28B32C18D25【解答】解：延长线段BN交AC于EAN平分BAC，BAN=EAN，AN=AN，ANB=ANE=90，ABNAEN，AE=AB=6，BN=NE，又M是ABC的边BC的中点，CE=2MN=21.5=3，ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，故选：D5根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A3nB3n（n+1）C6nD6n（n+1）【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=16，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）6，第n个中有3n（n+1）个平行四边形故选：B6在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD面积为（）A2BCD15【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3bAB边上的高是3x，BC边上的高是5y则S=5a3x=3b5y即ax=by=AA4D2与B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是5y=4y则AA4D2和B2CC4的面积是2by=同理D2C4D与A4BB2的面积是则四边形A4B2C4D2的面积是S=，即=1，解得S=故选：C7AD是ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是（）AAD6BAD2C2AD6D1AD3【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE、CE，AD=DEAD是ABC中BC边上的中线BD=DC四边形ABEC为平行四边形BE=AC=4在ABE中：BEABAEBE+AB即22AD61AD3故选：D8如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（）A15B12C9D6【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE，AH分别是ABC的中位线和高，BH=CH=BC=6=3，AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH=4，SADE=BC=3=3，设DOE的高为a，FOG的高为b，则a+b=2，SDOE+SFOG=DEa+FGb=3（a+b）=32=3，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是SADE+SDOE+SFOG=3+3=6故选：D9ABC与平行四边形DEFG如图放置，点D，G分别在边AB，AC上，点E，F在边BC上已知BE=DE，CF=FG，则A的度数（）A等于80B等于90C等于100D条件不足，无法判断【解答】解：BE=DEB=BDE四边形DEFG是平行四边形ADG=BADG=BDE同理：AGD=CGFAGD+CGF+DGF=180，DGF+GDE=180AGD+CGF=GDEADG+BDE+GDE=180ADG+BDE+AGD+CGF=180ADG+AGD=90B+C=90A=90故选：B二选择题（共7小题）10如图，ABC中，BD平分ABC，ADBD于D，F为AC中点，AB=5，BC=7，则DF=1【解答】解：延长AD交BC于EADBD，BD平分ABCABDEBDBE=AB=5又BC=7EC=BCBE=75=2DF为AEC的中位线DF=EC=2=1故答案为111在ABCD中，两对角线交于点O，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，那么以图中的点为顶点的平行四边形共有4个【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形EFGH是平行四边形；根据SAS可分别证明：AHDCFB，AFBCGD，可得，AH=CF，AF=CH，所以AHCF是平行四边形；同理可得BGDE是平行四边形，则以图中的点为顶点的平行四边形是四边形EFGH、ABCD、AHCF、BGDE，故有4个故答案为412在ABC中，BC=10，B1、C1分别是图中AB、AC的中点，在图中，B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点，在图中B1，B2B9；C1C2C9分别是AB、AC的10等分点，则B1C1+B2C2+B9C9的值是45【解答】解：当B1、C1是AB、AC的中点时，B1C1=BC；当B1，B2，C1，C2分别是AB，AC的三等分点时，B1C1+B2C2=BC+BC；当B1，B2，C1，Cn分别是AB，AC的n等分点时，B1C1+B2C2+Bn1Bn1=BC+BC+BC=BC=5（n1）；当n=10时，5（n1）=45；故B1C1+B2C2+B9C9的值是45故答案为4513已知四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果只给条件“ABCD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：（1）如果再加上条件“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（2）如果再加上条件“BAD=BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（3）如果再加上条件“AO=OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；（4）如果再加上条件“DBA=CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形其中正确的说法是（2）（3）【解答】解：其中正确的说法是（2）、（3）因为再加上条件“BAD=BCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD一定是平行四边形；如果再加上条件“AO=OC”，即可证明AOBCOD，所以，AB=DC，那么四边形ABCD一定是平行四边形故答案为：（2）（3）14已知ABC周长为1，连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2010个三角形的周长为【解答】解：连接ABC三边中点构成第二个三角形，新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2010个三角形与原三角形的相似比为1：22009，ABC周长为1，第2010个三角形的周长为 故答案为：15如图，对面积为1的平行四边形ABCD逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1D=2CD，D1A=2AD，顺次连接A1，B1，C1，D1，得到平行四边形A1B1C1D1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1D1、D1A1至点A2，B2，C2，D2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2D1=2C1D1，D2A1=2A1D1，顺次连接A2，B2，C2，D2记其面积为S2；按此规律继续下去，可得到平行四边形A5B5C5D5，则其面积S5=135【解答】解：如图，连接BD，B1D，B1C=2BC，B1DC的面积是DBC的面积的两倍，又C1D=2DC，B1C1D的面积是B1DC的两倍，B1C1C的面积是DBC的面积的6倍，也就是平行四边形ABCD的面积的三倍，以此类推，其余三个三角形的面积都是平行四边形面积的三倍，新的平行四边形的面积是原来平行四边形面积的13倍，按此规律继续下去，那么平行四边形A5B5C5D5的面积是135故填空答案13516如图，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，DE与AC交于点F，且SAEF=6cm2，SDCF=54cm2，则S平行四边形ABCD=144cm2【解答】解：设SAEF的高为h1，SDCF的高为h2，平行四边形的高为h平行四边形ABCDAEFCDFSAEF=6cm2，SDCF=54cm2AE：DC=AE：AB=1：3，h1：h2=1：3AB=3AEh=h1+h2h=4h1SAEF=AEh1=6AEh1=12S平行四边形ABCD=ABh=3AE4h1=12AEh1=144cm2三选择题（共23小题）17如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，AM=9，BD=12，AD=10，求平行四边形ABCD的面积【解答】解：过D作DEAM交BC的延长线于E四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DEAM，四边形AMED是平行四边形，AD=ME，AM=DE，M是BC的中点，AD=10，MB=5，BE=BM+ME=15，四边形AMED是平行四边形，AM=DE=9，BD=12，92+122=152，即BD2+DE2=BE2，DBE为直角三角形BE边上的高为=，平行四边形ABCD的面积为10=7218如图，ABCD，ACB=90，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F求证：（1）DEAC；（2）ACD=ACE【解答】证明：（1）直角三角形ACB中，CE是斜边AB的中线，CE=AE=BE=CD，又ABCD，BCDE为平行四边形，BCDE，ACBC，DEAC（2）CDAB，ACD=CAE由（1）知EC=EA，A=ACEACD=ACE19如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则BME=CNE（不需证明）（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而1=2，再利用平行线性质，可证得BME=CNE）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD的形状并证明【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PEAB，PEF=ANF，同理PF=，PFCD，PFE=CME，又PE=PF，PFE=PEF，OMN=ONM，OMN为等腰三角形（2）判断出AGD是直角三角形证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，F是AD的中点，HFAB，HF=AB，同理，HECD，HE=CD，AB=CDHF=HE，EFC=60，HEF=60，HEF=HFE=60，EHF是等边三角形，3=EFC=AFG=60，AGF是等边三角形AF=FD，GF=FD，FGD=FDG=30AGD=90即AGD是直角三角形20已知：如图，ADBC，ACBD于O，AD+BC=5，AC=3，AEBC于E求AE的长【解答】解：过点A作AFDB交CB的延长线于点F，（1分）ADBC，四边形AFBD是平行四边形FB=ADAD+BC=5，FC=FB+BC=AD+BC=5（2分）ACBD，FAAC（3分）在FAC中，FAC=90，AC=3，FC=5，AF=4（4分）AEBC于E，AFAC=FCAEAE=（5分）21已知：如图，在ABC中，AD平分BAC，CNAD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M试判断BM=MC的正确性如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由【解答】解：结论BM=MC正确证明过程如下：AD平分BAC，NAE=CAECEAD，AEN=AEC=90AE=AE，ANEACENE=CEF为AC的中点，AF=CFEFABAF=CF，BM=MC22已知：如图在ABCD中，AC，BD交于O，CEBD于E，AFBD于F，连接AE，CF（1）判断四边形AFCE的形状；（2）证明你的结论【解答】解：（1）四边形AFCE是平行四边形（2）在ABE和CDF中ABE=CDF，AEB=CFD=90，AB=CD，ABECDFBE=DF又ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=ODOE=OFAECF是平行四边形23已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，ADBC，AC=4，BO=，AB=5，BC=3（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；（2）求四边形ABCD的边AB上的高【解答】解：（1）四边形ABCD为平行四边形AC=4，BC=3，AB=5，AC2+BC2=AB2ACB=90在RtOBC中，OB=，BC=3，AC=4，OA=2，OA=OCADBC，DAO=BCO又AOD=COB，AODCOBBC=ADBCAD，四边形ABCD为平行四边形（2）设AB边上的高为h，S平行四边形ABCD=BCAC=ABh，34=5h，h=2.4即AB边上的高为2.424已知：如图（1），AC是ABCD的对角线，直线MN过点D，且MNAC，分别交BA、BC的延长线于点M、N，我们容易得到MD=DN探究：（1）如图（2），若将MN向左平移，MN分别交AD、CD于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ（只写一组）；（2）如图（3），若将MN向右平移，MN分别交AD、CD的延长线于P、Q，在直线MN上相等的线段有MP=NQ（只写一组）请在探究（1）、（2）中任选一结论加以证明【解答】解：探究（1）：如图（2），在直线MN上相等的线段有MP=NQ探究（2）：如图（3），在直线MN上相等的线段有MP=NQ选择探究（1）：如图（2），证明MP=NQ理由：如图（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC；又MNAC，四边形ACNP是平行四边形，NP=AC同理可证MQ=AC，NP=MQPQ+QN=MP+PQ，MP=NQ25如图，在ABC中，AB=6cm，BC=8cm线段BC所在直线（即动点E）以每秒2cm的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行，运动过程中与AB的交点为E，与AC的交点为D（1）经过多少秒后ED是ABC的中位线？此时ED的长为多少？（2）经过多少秒后ED的长为2cm？【解答】解：（1）ED是ABC的中位线即E、D分别为AB、AC的中点，则ED=BC=4cm，BE=AB=3cm，动点速度为每秒2cm，时间为t=1.5s；（2）ED的长为2cm，即ED=BC，AE=AB=1.5cm，BE=6cm1.5cm=4.5cm故时间t=2.25秒，答：（1）经过1.5秒后ED是ABC的中位线，此时ED的长为4cm，（2）经过2.25秒后ED的长为2cm26如图，已知ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边ADE（1）ACD和CBF全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）当点D在线段BC上移动到何处时，DEF=30【解答】解：（1）ACDCBF证：ABC为等边三角形AC=BCACD=B=60CD=BFACDCBF（SAS）（2）四边形CDEF为平行四边形ACDCBFDAC=BCF，CF=ADAED是等边三角形AD=DECF=DEACG+BCF=60ACG+DAC=60AGC=180（ACG+DAC）=120DGF=AGC=120AED是等边三角形ADE=60DGF+ADE=180CFDE综合可得四边形CDEF是平行四边形（3）AC=BC，当点D是BC中点时，BF=CD=BC=AB，CF为AB边上的中线，CF平分ACB，DEF=ACB=30，当点D是BC中点时，DEF=3027如图，在ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MNAD，MN=AD【解答】证明：连接EF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BCDE=CF，AE=BF四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形BM=ME，CN=NEMN是BCE的中位线MNAD，MN=AD28如图，任意四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别为BC、AD的中点说明1与2的大小关系【解答】解：连接BD，取BD的中点G，连接MG，NGG、N、M分别是BD、BC、AD的中点，GN是ADB的AB对的中位线，GM是BCD的CD对的中位线NGAB，NG=AB，GMCD，GM=CD1=GNM，2=GME又AB=CDMG=NGGNM=GME1=229如图，已知ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积【解答】解：（1）（选证一）BDEFEC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度CD=CE，EDC是等边三角形DE=EC，CDE=DEC=60BDE=FEC=120度又EF=AE，BD=FEBDEFEC（选证二）BCEFDC证明：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=60度又CD=CE，EDC是等边三角形BCE=FDC=60，DE=CEEF=AE，EF+DE=AE+CEFD=AC=BCBCEFDC（选证三）ABEACF证明：ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=BAC=60度CD=CE，EDC是等边三角形AEF=CED=60度EF=AE，AEF是等边三角形AE=AF，EAF=60度ABEACF（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等边三角形CDE=ABC=EFA=60度ABDF，BDAF四边形ABDF是平行四边形（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形EFAB，EFAB四边形ABEF是梯形过E作EGAB于G，则EG=S四边形ABEF=EG（AB+EF）=（6+4）=1030如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形（1）当ABAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件【解答】（1）证明：ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60CBA=FBEABCEBFEF=AC又ADC为等边三角形，CD=AD=ACEF=AD同理可得AE=DF四边形AEFD是平行四边形（2）解：构成的图形有四类，一类是菱形，一类是线段当图形为菱形时，BAC60（或A与F不重合、ABC不为正三角形）；当图形为线段时，BAC=60（或A与F重合、ABC为正三角形）31如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F（1）求证：ABEDFE；（2）试连接BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCF1=2，3=4E是AD的中点，AE=DEABEDFE（2）解：四边形ABDF是平行四边形ABEDFE，AB=DF又ABDF四边形ABDF是平行四边形32在HBC中，B=C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连接AD求证：ADBC【解答】（1）证明：如图，当A、D为BH、CH的中点时，AD=BC（2）证明：如图，当A，D不是BH、CH的中点时B=C，BH=HCDH=AB，AH=CD过B作BEAD，过D作DEBH，BE与DE交于E点，连接EC四边形ABED为平行四边形，EDC=HDE=AB，BE=ADDH=DE又CD=AHADHCEDCE=ADBE=CE在BEC中，BE+ECBC，2ADBCADBC综合（1），（2）可得，ADBC33如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F若PE=PF，且AP+AE=CP+CF（1）求证：PA=PC（2）若AD=12，AB=15，DAB=60，求四边形ABCD的面积【解答】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CFAP+AE=CP+CF，PN=PMPE=PF，四边形EMFN是平行四边形ME=FN，EMA=CNF又AME=AEM，CNF=CFN，EAMFCNAM=CNPM=PN，PA=PC（2）解：PA=PC，EP=PF，四边形AFCE为平行四边形AECFPED=PFB，EPD=FPB，EP=PF，PEDPFBDP=PB由（1）知PA=PC，四边形ABCD为平行四边形AB=15，AD=12，DAB=60，四边形ABCD的面积为9034（1）如图，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片吗？请在图上画出对应的示意图（3）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若AEH，BEF，CFG，DGH的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是28（不要求说明理由）【解答】解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形连接AC在ABC中，因为E、F分别是AB、BC的中点，即EF是ABC的中位线，所以EFAC，EF=AC在ADC中，同样可以得到HGAC，HG=AC所以四边形EFGH是平行四边形（2）如图，（3）四边形ABCD是面积是2835操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的ADE纸片绕点E旋转180后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的BFE纸片绕点E旋转180到AF1E位置；沿HG剪开并将其中的DGH纸片绕点H旋转180到AG1H位置；沿FG剪开并将CFG纸片放置于AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G则四边形FF1G1G的形状是平行四边形【解答】解：操作2：四边形FF1G1G的形状是平行四边形连接AC在