几何概型教案

3-3.3 几何概型一、教材分析在人教版高中数学教材的知识体系中，几何概型被安排在必修3的第三章第三节，是继古典概型后对另一常见概型的学习，是在古典概型基础上进一步的拓展，将等可能事件的概念从有限延伸至无限。学好此节内容有助于学生全面系统地掌握概率知识和进一步形成辩证思想。二、学情分析学生已经学习了概率的含义以及古典概型的计算方式，对概率有一定的了解，掌握了一定的概率求解方法，掌握了古典概型的相关知识。通过对比分辨两种概型的区别与联系，进行几何概型的学习。三、教学目标1、知识与技能：通过实际操练，使学生从多种维度体验几何概型的实际应用，初步体会几何概型的意义；将古典概型与几何概型进行对比，使学生明确几何概型与古典概型的区别，掌握几何概型概率计算公式的应用,能够运用线性规划等方法解决复杂的几何概型问题。通过思维拓展，使学生初步了解随机模拟方法的使用及其实际意义。2、过程与方法：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯，培养学生实践能力、协调能力、创新意识和处理数据能力以及应用数学意识。3、情感、态度与价值观：帮助学生养成合作交流的习惯，初步形成建立数学模型的能力，通过学生的实际操作，激发学生学习的兴趣，重视数学在实际生活中的作用。四、教学重点、难点1.教学重点正确理解几何概型的定义、特点；会用几何概型概率公式求解随机事件的概率。2.教学难点根据古典概型与几何概型的区别，来判断一个试验是否为几何概型；将实际问题抽象成几何概型,并灵活运用各类方法解决几何概型问题.五、教法选择“以学生为主体”的探究性教学，讲授法，谈话法六、教学过程本节课的教学，共分为五个部分：一、知识梳理二、情境导入三、问题探究四、思维拓展五、回顾小结七、教学设计一、知识梳理【师】：同学们，上节课我们学习了古典概型，通过以下情景我们来回顾一下。情景一：区间0,4上取一整数，恰好在区间0,1上的概率是多少？（板书在右边）这个情境里，基本事件是什么？基本事件有哪些？每一个基本事件发生的可能性为多少？什么情况下事件A发生？【生】：所取得的整数；01234五个；1/5；0,1；2/5【师】：非常好，由此我们可以得出情景一下的概率为2/5.那么由此我们可以知道古典概型有什么特点呢？【生】：基本事件可数，发生的可能性相同。【师】：很好，同学们对古典概型掌握的还不错。古典概型的特点就是等可能性与有限性。（板书）教学设计意图：通过对知识的梳理，帮助学生形成自己的知识结构体系，为解决问题储备理论依据。二、情境导入【师】：我们知道，在区间上不仅有整数，还有分数，这二者构成了（学生回答实数）。如果我要在区间0,4上取实数使其恰好在区间0,1概率是多少？情景二：区间0,4上取一实数，恰好在区间0,1上的概率是多少？（板书在右边）同学们思考一下。【生】：思考并回答。1/4【师】：我们知道实数是有无穷多个的，要使所取的实数落在区间0,4，取任何一个在这个区间上的实数的可能性（学生答是一样的），并且这种可能性有（学生答无限多种）同样，要使其落在区间0,1也有无限多种可能，无穷比无穷，这在我们目前的能力范围之外，那我们该如何去解释1/4的由来呢？（学生思考）那么这个数是否应在0到1上这一段，这一区段的长度为1，而我们全部的可能的取值区段是否是有这4段？可能取值的区段长度为（学生答4），因此呢，概率就是（学生答1/4）同学们回答的很好，这就是从几何的角度上来研究无限可能的概率模型，由此我们接下来引入几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型几何概型，顾名思义，是从几何角度来研究的概率模型。什么是构成该时间区域的长度呢？我们来看回情景二，从我们刚才的解释不难理解，情景二下区域长度分别是基本事件发生的区间0到1和区间0到4的长度。我们知道，长度是一维的，面积、角度属于二维，体积则涉及到了三维，从几何概型研究的维数我们也能体会到数学的完整性与多面性。与研究古典概型类似的，我们来看看几何概型有什么特点呢？（引导学生回答出等可能性与无穷性）（板书）从这个定义我们能得几何概型的公式是什么呢？（学生思考并回答）（板书）【师】：那么古典概型与几何概型的区别与联系是什么？我们来看一下这个表格，请大家加以完善。古典概型几何概型所有的试验结果有限个(n个)无限个每个试验结果的发生等可能等可能概率的计算P(A)=m/n？同学们，从这张表格里，大家能发现些什么吗？ 【生】：从这个表格我们可以知道，古典概型与几何概型每个事件发生的可能性相同，他们最大的区别就在于基本实验结果的有限性与无限性【师】：那么如何去判断应该是古典概型还是几何概型呢？【生】：基本实验结果有有限个就是古典概型，无限个就是几何概型。【师】：非常好。教学设计意图：为学生提供较形象基础的的问题情景，帮助学生顺利地进入学习情景。类比、比较是重要的学习方法，通过对古典概型与几何概型的对比能够激活学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。三、问题探究【师】：那我们再来看以下情景。甲是非常好胜的一个孩子，他想赢过乙，有下面两种游戏，玩哪一种游戏甲如愿的可能性比较大呢？(掷色子游戏)：谁掷出6点朝上则谁胜（转盘游戏）：将转盘五等分，当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.【生】：掷色子游戏概率为16，转盘游戏概率=扇形面积和圆形面积=35，所以转盘游戏获胜的可能性大。【师】：很好，那么这两个游戏都属于什么概率模型呢？【生】：前者古典概型，后者几何概型。【师】：对的，那么我们在计算概率时步骤是什么呢？我们第一步要做什么呢？【生】：先判断该概率模型是不是几何概型（等可能性与无限性）【师】：如果是，那我们就要把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式，然后第三步呢？【生】：根据几何概型计算公式求出概率教学设计意图：对解题格式进行规范化，使学生系统规范的掌握几何概型知识。【师】：非常好，那我们尝试着用这个流程来解决小明的问题例1小明午觉醒来,发现手机关机了,他打开电视,想看电视的整点报时,那么问题来了，他等待的时间不多于10分钟的概率是多少？请同学们独立思考一下这道题目，稍后请一位同学来进行分析解答。【生】：板书回答【师】：好，请坐。分析解答：电视整点报时，则她等待的时间范围为060min,具体的时间取值的可能性有无穷多种，无法确定，故为几何概型。要求等待区间为（0,10min，区域长度为（0,60min，因此【师】：结合情景一二区间的开闭是否影响概率的计算？【生】：思考并给出解答【师】：显然，在情景一中，区间的开闭改变了基本事件的取值情况，进而改变了整个概率的计算。而通过情景二与例题1的比较，我们不难发现，区间的开闭只差了一个点的取值，而对于有无穷多种基本事件的概率模型而言，比如线段去掉其端点不影响其长度，平面图形忽略其边界线不影响其面积，立体图形少了表面不改变其体积，这种变化微乎其微，近似于零，也就是说区间的开闭不影响几何概型的概率计算，可以忽略不计。这句话的实际运用意义留给大家在日后的学习生活中去体会。【师】：我们对例1进行拓展：例2（例1问题拓展）：小明的生物钟让他每天都在1点到2点之间午觉醒来，今天醒来时发现手表的时针停在了2和3之间，则表停的分钟数和实际分钟数差异不超过5分钟的概率为多少？【生】：思考并板书解答【师】：在解答本题时会习惯性用例1的时间长度之比来解决，从而得到答案xyO556060我们需要科学的去认识这道题中的变量。本题中有两个变量，一个是手表停的分钟数，一小时内有0到60分钟，也就是可以在(0，60内的任意时刻，另一个变量是实际分钟数，也可以在(0，60内的任意时刻。所以本题的解决应运用线性规划来解题。以轴和轴分别表示手表停的分钟数和实际分钟数，那么差异不超过5分钟的充要条件是，从而可以绘制坐标轴，数形结合，得到结果。由于的所有可能结果是边长为60的正方形，差异不超过5分钟由图中阴影部分所表示，记“差异不超过5分钟”为事件，因此,差异不超过5分钟的概率对于几何概型的双变量题型而言，线性规划的重要性不言而喻，当中蕴含的数形结合思想也值得同学们去研究探索，同学们要注意在日常学习对其加以练习使用。教学设计意图：本题的特点在于学生易犯固定思维的错误，习惯性的用例1的时间长度之比来解决，得到错误的答案。学生错误的原因在于没有科学的认识题中的变量。本题中的线性规划解题方法是今后几何概型中十分常用的一种方法，而当中涉及的数形结合思想是数学中十分重要并且实用的一种思想方法，引起学生们的注意。【师】：同学们可以思考一下，为什么要对实际时间和手表的时数进行一个限制？如果不限制又是什么样的情景呢？请大家课后思考。现在同学们做一道练习来体验一下线性规划的美妙。练习：在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求ABC是锐角三角形的概率。【生】：思考并练习解答【师】：记ABC的三内角分别、-，事件A表示“ABC是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合=(,)|0,0+。因为ABC是锐角三角形的条件是, 0,2，所以事件A构成集A=(,) |0,2，由图可知，所求概率为教学设计意图：通过实战演练，检验学生对运用线性规划解答几何概型题型的掌握情况。四、思维拓展【师】：同学们思考一下，练习题还有没有什么其他解法呢？【生】：思考并解答【师】：解法2：如图所示建立平面直角坐标系，A、B、C1、C2为单位圆与坐标轴的交点，当ABC为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧C1C2上运动时，ABC即为锐角三角形，即事件A 发生，所以教学设计意图：本题的解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。【师】：请大家以小组为单位，讨论下题并给出解题步骤。利用随机模拟方法计算图中阴影部分(由曲线y=2x与x轴、x=1围成的部分）面积。思路点拨不规则图形的面积可用随机模拟法计算解(1)利用计算机产生两组0,1上的随机数,a1=rand（），b1=rand()(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)2,b=b12,得到一组0,2上的均匀随机数 (3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1.(4)计算频率N1N，则N1N即为落在阴影部分的概率的近似值(5)利用几何概型公式得出点落在阴影部分的概率P=S4(6)因为N1N=S4,所以S=4N1N即为阴影部分的面积。教学设计意图：引入新知识，为下节课学习做准备。五、回顾小结（1）几何概型的概念及基本特点；（2）