动量矩定理ppt课件

第十二章动量矩定理,长春工程学院,土木学院力学教研室,2007年10月,1,本章重点、难点重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。,本章重点、难点重点建立质点运动微分方程。质点动力学第二类基本问题的解法。难点对质点运动微分方程进行变量变换后再积分的方法。,本章重点、难点重点刚体的动量矩定理应用。刚体的定轴转动微分方程应用。转动惯量。难点动量矩定理的应用。,2,知识回顾一,1、质点系的动量定理,建立了动量与外力主矢之间的关系，涉及力、速度和时间的动力学问题。,2、质点系动量守恒定理,可以用于求解系统中的速度，以及与速度有关的量。,Kx=C1x，或Ky=C1y，或Kx=C1z,3,3、质心运动定理,质心运动定理建立了质点系质心运动与系统所受外力主矢之间的关系。,vCx=C2x，或vCx=C2y，或vCx=C2z,4、质心运动守恒定理,知识回顾二,4,问题提出,Z轴过匀质圆盘质心C，且与盘面垂直，圆盘绕轴匀速转动，角速度为。能否用动量描述盘相对质心的运动状态?,不论圆盘转动快慢，也不论其转动状态变化如何，它的动量恒等于零。不能用动量描述，正是为了解决这类问题才提出了动量矩的概念。,5,动量矩的实例一,谁最先到达顶点,？,6,？,没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的,动量矩的实例二,7,？,为什么二者转动方向相反,动量矩的实例三,8,？,航天器是怎样实现姿态控制的,动量矩的实例四,9,1.质点的动量矩,A(x,y,z),12-1质点的动量矩定理,10,故：,A质点对固定点的动量矩定理,2.质点的动量矩定理,质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理,将动量矩对时间t求导数得：,已知且方向相同得两矢量之矢积等于零，于是上式变为,11,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。,B.质点对固定轴的动量矩定理,3.质点的动量矩守恒,12,运动分析,由动量矩定理,微幅摆动时，并令，则,摆动周期,解：研究小球，将小球视为质点。受力如图示。,例121图示单摆，已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。,代入初始条件,则运动方程,微分方程的解为：,13,计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用已知作用于质点的力或力矩求质点的运动；已知质点的运动求作用于质点的力或力矩；已知质点在某一状态下的运动要素，求在另一状态下的运动要素（速度、位置坐标）。,动量矩定理应用,14,12-2质点系的动量矩定理,质点系对轴z动量矩,一质点系的动量矩,二刚体动量矩计算,平动刚体,平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。,定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。,定轴转动刚体,平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。,平面运动刚体,质点系对点O动量矩,15,质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）,三质点系的动量矩定理,左边交换求和与导数运算的顺序，而,质点系对固定点的动量矩定理,对质点系，有,对质点Mi：,质点系对固定点的动量矩定理,质点系对固定轴的动量矩定理,将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得,16,上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。,质点系的动量矩守恒定理当时，常矢量。当时，常量。,定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。,17,解:取整个系统为研究对象，受力分析如图。,由动量矩定理：,例122半径为r、重为P的滑轮可绕定轴O转动，在滑轮上绕一柔软的绳子，其两端各系一重为PA和PB的重物，且PAPB,如图所示，设滑轮的质量均匀分布在圆周上（即将滑轮视为圆环），求此两重物的加速度和滑轮的角加速度a。,运动分析：v=,18,解：取系统为研究对象,例123均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。,应用动量矩定理,19,例12-4水轮机受水流冲击而以匀角速度绕通过中心O的铅直轴（垂直于图示平面）转动。设水的体积流量为Q，水的密度为；水流入水轮机的流速为v1，离开水轮机的流速为v2，方向分别与轮缘切线间夹角为a1及a2，v1和v2均为绝对速度。假设水流是稳定的，求水轮机对水流的约束动力矩。,解：取两叶片之间的水流为研究对象。作用在水流上的外力有重力和叶片对水流的约束力，其中重力平行于z轴，所以，外力矩只有叶片对水流的约束力矩Mz。,20,计算水流的动量矩的改变量,设在t瞬时，水流在ABCD的位置，经过一段时间dt，即t+dt瞬时，水流在abcd位置，因为水流是稳定的，设动量矩的方向以逆时针的方向为正方向。则,将其代入动量矩定理式，得,21,例125高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。,解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则,由，有,22,因,于是解得,若Mm2gRsina，则a0，小车的加速度沿轨道向上。,必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,23,例126水平杆AB长2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕z轴的角速度为w0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w。,解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即,显然，此时的角速度ww0。,24,12-3刚体的定轴转动微分方程,该式为刚体定轴转动微分方程。即刚体对定轴转动的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该轴之矩。由于工程上作定轴转动的刚体很普遍，所以上式具有重要意义。,i称为回转半径,转动惯量Jz,25,12-4刚体对轴的转动惯量,一定义,刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2。,若刚体的质量是连续分布，则,二转动惯量的计算,积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）,不讲积分法,26,匀质细直杆长为l,质量为m。求：对z轴的转动惯量；对z轴的转动惯量。,解：,27,在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的Jz和iz，以供参考。,刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。,同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,定理,3.平行移轴定理,对于均质刚体，iz仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。,2.回转半径由所定义的长度称为刚体对z轴的回转半径。,常见的简单形状刚体的转动惯量见P207表121,不讲推导过成,28,证明设质量为m的刚体，质心为C，,刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。,29,当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。,4计算转动惯量的组合法,例如，对于例1中均质细杆对z轴的转动惯量为,30,应用平行轴定理，有,解：摆对于水平轴的转动惯量即细长杆的转动惯量和圆盘的转动惯量,例12-7钟摆简化模型如图。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为M1和M2，杆长为l，圆盘直径为d，求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量JO,31,例12-8已知刚体的质量为m，质心到转轴O的距离OC=a，刚体绕水平轴O作微幅摆动的周期为T，求刚体相对于转轴的转动惯量。,解：建立刚体的转动微分方程式，以摆的平衡位置作为角的起点，逆时针方向为正，,作微幅摆动时，简化为,微分方程的通解为,其中及由运动的初始条件确定，而振动的周期为,32,12-5刚体的定轴转动微分方程示例,例题12-9.质量为M半径为2r的均质滑轮绕固定轴O转动,质量分别为m1和m2的物体A和B悬挂于定滑轮上,如图所示。求:(1)定滑轮的角加速度;(2)定滑轮所受的约束反力T。,解:(1)LO=LOO+LOA+LOB,vA=vB=R,vB,LOA=m1RvA=4m1r2,LOB=m2RvB=4m2r2,LOO=0.5M(2r)2=2Mr2,LO=2Mr2+4m1r2+4m2r2=2r2(M+2m1+2m2),33,计算外力对O点的主矩,Mze=(m1-m2)gR,2r2(M+2m1+2m2)a=2r(m1-m2)g,=2r(m1-m2)g,m1g,m2g,Mg,XO,YO,分别取A、B为研究对象利用牛顿第二定律，再取滑轮为研究对象，利用平衡方程。（同学完成）,34,解:取AB杆为研究对象进行运动分析,AB=0aB=aC+aBC+anBC(1)anBC=0,aBC,把(1)式分别向xy轴投影得:,0=+(4),-aB=(3),(2),例题12-10.均质直杆AB长l,质量为M,静止于光滑水平面上如图所示.若突然把绳OA剪断,求此瞬时点B的加速度和杆AB的角加速度.,35,联立(4)(6)(7)式得:,联立(3)(5)式得:,M=0(5),M=N-Mg(6),(7),N,Mg,对AB进行受力分析并应用平面运动微分方程得:,36,例题12-11.滑轮C质量为M,可视为均质圆盘。轮上绕以细绳,绳的一端固定于O点,求滑轮下降时轮心C的加速度和绳的拉力T。,解:取滑轮为研究对象进行运动分析,滑轮作平面运动,轮心作直线运动,x,Mg,T,(1),对滑轮进行受力分析并应用平面运动微分方程得:,(2),联立(1)(2)(3)式得:,(3),37,例12-2均质梁AB长l，重W，由铰链A和绳所支持。若突然剪断联结B点的软绳，求绳断前后铰链A的约束力的改变量。,解：以梁为研究对象，绳未断以前是静力学问题。由静平衡方程可求出绳未断时，铰链A的约束力,绳断之后，梁AB将绕A点转动。绳断瞬时，=0。,应用转动方程,a,38,再应用质心运动定理求约束力。图示瞬时，质心C的加速度,于是，绳断前后，铰链A约束力的改变量为,a,39,例12-13卷扬机的传动轮系如图，设轴I和各自转动部分对其轴的转动惯量分别为J1和J2，轴I的齿轮C上受主动力矩M的作用，卷筒提升的重齿轮A、B的节园半径为，两轮角加速度之比。卷筒半径为R，不计轴承摩擦及绳的质量。求重物的加速度。,40,解：本题二根固定轴必须拆开，分别以两轴及与其固连的齿轮为研究对象。轴I除受主动力矩M和重力、轴承约束力外，还受有齿轮力Ft及Fn，现假设1与M的方向相同如图。为使方程正负号简单，一般约定以的转向为正，于是轴I的转动方程为,再以轴和重物W为研究对象，画出其受力图