n阶行列式的计算方法

n 阶行列式的计算方法1利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。例 1 计算二阶行列式 D =13。24解： D =13= 1 4 3 2 = 224例 2 计算三阶行列式 D =1204 38。012解：D =1204 3 8= 1 (3) 2 + 2 8 0 + 0 4 (1) 0 (3) 0 2 4 2 1 8 (1)012= 142利用 n 阶行列式的定义a11a12 a1 nn阶行列式 D =a21a22 a2 n=(1) a1 p1 a2 p2 anpn( p1 p2 pn )an1an2ann其中 = ( p1p2 pn ) ， 求和式中共有 n! 项。显然有a11a12 a1 n上三角形行列式 D =a22a2 n= a11 a22 annanna11下三角形行列式 D =a21a22= a11 a22 annan1an2ann1对角阵 D =2= 12 nn另外 D =21n( n1)= (1) 212 nn例 3计算行列式0 0100 200Dn =n1 0000 00n解 Dn中不为零的项用一般形式表示为a1 n1 a2 n 2 an11 ann =n!.该项列标排列的逆序数 t（ n1 n21 n）等于 ( n 1)( n 2) ，故2Dn = ( 1)( n1)( n2)n!.23利用行列式的性质计算性质 1行列式与它的转置行列式相等, 即 D = DT 。注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。性质 2交换行列式的两行(列)，行列式变号。推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。性质 3 用数 k乘行列式的某一行(列), 等于用数 k乘此行列式, 即a11a12a1 na11a12a1 n D1 =kai1kai2 kain= kai1ai2 ain= kD。 an1an2 annan1an2 ann第 i行(列)乘以 k ，记为 ri k(或 ci k )。推论 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论 2 行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，a11a12a1 nD =bi1 + ci1bi2 + ci2bin + cin。an1an2ann则a11a12 a1 na11a12 a1 n D =bi1bi2 bin+ci1ci2 cin= D1 + D2 。 an1an2 annan1an2 ann性质 5 将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。xa 例 4计算 Dn=ax aa r +( r + r )12n解Dn= x+ ( n1) aaa 。x11 1ax aaa x111= x+ ( n1) a0x a 000 x a= x+ ( n1) a( x a) n1例 5一个 n 阶行列式 Dn = aij 的元素满足aij = a ji , i, j = 1, 2, , n,则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由 aij = aji 知 aii = aii ，即aii = 0, i = 1, 2, , n故行列式 Dn 可表示为0a12a13 a1 n a120a23 a2 nDn = a13 a230a3 n a1 n a2 n a3 n 0由行列式的性质 D = DT0 a12 a13 a1 na120 a23 a2 nDn =a13a230 a3 na1 na2 na3 n00a12a13a1 n a120a23 a2 n= ( 1) n a13 a230 a3 n a1 n a2 n a3 n 0= ( 1) n Dn当 n 为奇数时，得 Dn = Dn ，因而得 Dn = 0 。4利用行列式按行（列）展开ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain AjnDi =jj = 1,2, n)=i ( i,0j1 53 3例 6计算 D =201 1。31124131160 2716 272011解D = (1)3+221 1311214 3104 32005= (1)(1)2+2205= (1)21 1= 55 701 715利用化上三角形法若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：（1）观察元素 a11 ，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘 1 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加a11困难。）（2）对第一行分别乘 a21 , a31 , an1 加到第 2,3, n行对应元素上去；（目的：第一列 a11 以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素 a21 , a31 , an1 以下的元素全部化为零。这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素 aii, ( i = 1,2, n) 不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。1 53 3例 7计算 D =2011。311241311 53 31 53 31 53 3解D =0 10 55= 502 11= (5)01110 16 10 1100 2300 230 21 9 11011102 111 53 31 53 30111= (5)0111= (5)= 5500 230 2301100 3