弹性力学-第二章 张量基础知识

2-1坐标系和矢量,2-2张量的定义,2-3张量代数,第二章张量基础知识,2-4二阶张量,2-5对称二阶张量的谱表示,弹性力学主讲邹祖军第二章张量基础知识,2-6张量分析,2-7积分定理,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,2-1坐标系和矢量,如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关,P点坐标（x,y,z),P点坐标可记为：,正方向的单位基矢量,(2.1),第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,P点坐标为：,(2.2),如图2.1,原点O到P点的矢量为P点的矢径,用r表示,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,显然，指标i,j,k与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是,n表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题,A:求和约定、哑指标,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,双重求和,展开式（9项）,三重求和（27项）,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,是违约的，求和时要保留求和号,B:自由指标,例如,指标i在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次可取整数1,2,3,n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,i为自由指标，j为哑标,表示,i，j为自由指标，k为哑标,表示9个方程：,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,C:Kroneckerdelta符号,在卡氏直角坐标系下，Kroneckerdelta符号定义为：,其中i，j为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,，但,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,(2.3),的作用：1）换指标；2）选择求和。,例：,注意：是一个数值，即,思路：把要被替换的指标i变成哑标，哑标能用任意字母，因此可用变换后的字母k表示,例,例,个数，,特别地，,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,任意两矢量a和b的点积,矢量a的模,(2.4),两矢量a和b用正交基表示,则其点积为,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,D:置换符号Permutationsymbol,i,j,k为顺序排列,i,j,k有两个相等,例如：,i,j,k为逆序排列,(2.5),可见：,也称为三维空间的排列符号。,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,任意两矢量a和b的叉积,由叉积定义,若,是直角坐标系的单位基矢量,则,(2.6),(2.8a),(2.7),第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,式(2.8a)可写为,(2.b),三矢量a,b,c的混合积,(2.9),a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,:Kroneckerdelta符号与置换符号Permutationsymbol的关系,(2.10),证明(1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n有两个相同时，上式也成立,(2).不同时,由下式交换行,(a),第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,(b),(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式,从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,即,(2.11),第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,(2.12),(2.13),二重叉积,即,(2.14),F:坐标变换,旧坐标系：,新旧基矢量夹角的方向余弦：,单位基矢量：,新坐标系：,单位基矢量：,(2.16),第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,(2.16),(2.15),变换系数,第二章张量基础知识2-1坐标系和矢量,即,(2.17),任一矢量u在新旧坐标中表示一致,利用(2.15)则,即,(2.18),矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变,第二章张量基础知识2-2张量的定义,2-2张量的定义,推广矢量的概念,若在空间任一组基下,有用n个指标编号的个数,当基矢量按变换成时,个数按如下规律变换,张量的定义,(2.19),为对应基下的张量分量,有时称为n阶张量.,个数的有序集合为一个n阶张量.称,第二章张量基础知识2-2张量的定义,标量零阶张量，不随坐标变换而变的不变量,矢量一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它随坐标系的变化而变化,矢量的三种记法：不变性记法如T；基矢量的线性组合法；用矢量分量表示即并矢记法。,一个n阶张量的并矢记法：,(2.20),n个基矢量并写在一起，称为基张量,其有基张量.,第二章张量基础知识2-2张量的定义,二阶张量T,第二章张量基础知识2-2张量的定义,二阶的基张量共9个,张量的另一个定义,在某一坐标系中,某一个量T可表示成式(2.20)的形式,则T是一个n阶张量.,(2.20),第二章张量基础知识2-2张量的定义,在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零,按定义(2.19),则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零张量,O,例:证明是一个三阶张量(置换张量),例:和是两个任意矢量,是标量.,证明是一个二阶张量,证:,和是任意的,得证二阶张量,第二章张量基础知识2-3张量代数,2-3张量代数,A:张量的线性组合,同阶张量可进行线性组合运算,结果仍为同阶张量,A,B是二阶张量,和是标量,则,(2.21),交换律:A+B=B+A,结合律:A+B+C=A+(B+C),()A=(A),分配律:(+)A=A+A,(A+B)=A+B,第二章张量基础知识2-3张量代数,B:张量的缩并,在张量的并矢记法中,对某两个基矢量进行点积,则原张量降低两阶成为一个新的张量,如,(2.22),证明,是二阶张量,第二章张量基础知识2-3张量代数,C:张量的并积,张量积两个张量的并积,(2.23),n阶张量A与p阶张量B的并积为C,则C定义为,C是(n+p)阶张量,一般情况下,第二章张量基础知识2-3张量代数,D:张量的点积,张量点积两个张量的点积是先并再缩,如,(2.24),双点积两个张量的点积是先并再缩二次,(2.25),第二章张量基础知识2-3张量代数,E:张量的叉积,张量叉积是矢量叉积的推广,如,(2.26),两个二阶张量,的叉积,第二章张量基础知识2-3张量代数,F:张量的商法则,设有个数,对任意q阶张量,按下式计算总得一个p阶张量,则必为一个(p+q)阶张量,证:为简单,取p=q=2,因C,B为张量,故,(a),(b),(c),第二章张量基础知识2-3张量代数,则,四阶张量,结论:,设有个数,对任意m阶张量,定义,第二章张量基础知识2-4二阶张量,2-4二阶张量,二阶张量T仿射量,线性变换,v,u为矢量,用矩阵表示则,A,B为二阶张量则,A:二阶张量的矩阵表示,(2.27),(2.28),第二章张量基础知识2-4二阶张量,B:二阶张量的行列式,(2.29),二阶张量的行列式与坐标无关,是不变量.与单位矩阵I对应的张量叫单位张量I,单位张量I与除标量外的任意张量B的点积仍为B,单位矩阵I,(2.30),第二章张量基础知识2-4二阶张量,C:二阶张量的逆与转置,若T,对B有:TB=BT=I,则T可逆,B=T-1为逆张量,充要条件:T的行列式不为零,对,定义,B为A的转置张量,转置张量的运算性质:A,B是二阶张量,u,v是任意矢量,(2.31),(2.32),(2.33),第二章张量基础知识2-4二阶张量,逆张量运算性质:A,B是二阶张量,(2.35),(2.34),(2.36),(2.37),D:二阶张量的对称与反对称,若,则A是对称二阶张量,若,即则A是反对称二阶张量,任意一个二阶张量T可表示成一个对称张量S和一个反对称张量W之和,(2.38),(张量的加法分解),第二章张量基础知识2-4二阶张量,(2.39),(2.40),对任一反对称张量W,必存在唯一一个矢量,使得,(2.41),对任意矢量v成立,因,式(2.41)成立,为对应于反对称张量W的轴向矢量.,第二章张量基础知识2-4二阶张量,(2.42),V任意,则,上式乘enij,则利用等式(2.12),即,(2.43),上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的,(2.12),第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,2-5对称二阶张量的谱表示,某二阶对称张量S,若存在一个数和单位矢量a,使得,(2.44a),成立,则为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值的特征矢量(主方向).根据商法则,为标量.,单位矢量a,(2.44b),(2.45),(2.46a),展开,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,其中,(2.46b),(2.47),分别为S的第一、第二和第三不变量,张量S的迹,式(2.46)为S的特征方程,上式展开与(2.46b)比较,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,(2.48),式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量,特征值和特征矢量的性质,1.互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直,2.三个特征值都是实数,证性质1.,特征值对应特征矢量a和b,(2.44a),第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,证性质2.,是S的任一特征值，对应特征矢量a,共轭复数,为实数,规定,张量S的谱,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,谱定理：,设S是一个对称二阶张量,则必定存在由其特征矢量构成的一组单位正交基,和ei对应的特征值构成S的谱,且有,(2.49),反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的单位矢量,则和ei分别是S的特征值和对应的特征矢量,证(1)，,三个特征值互不相等，对应的ei互相垂直,以ei为基矢量，则,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,则,谱分解式（2.49）成立,(2),二个特征值相等,另一个不同，设,取,则,是相互垂直的右手系,解上两式得,由(2.48),(2.47),第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,得,则,(2.50),由,得e3也是对应于2的特征向量,设,则,和e1垂直的任何方向都是S的对应于2的主方向.e2可取与e1垂直的任一单位矢量,(3),三个特征值相等,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,(3),三个特征值相等,取e1与1对应,取与e1垂直的e2,再取e3=e1e2,则,是相互垂直的右手系,解得,由(2.48),(2.47),解上两式得,得,显然,(2.51),第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,即都是S的特征矢量,设任一矢量,有,这表明任一方向都是S的主方向.任取三个相互垂直的单位矢量作为基矢量,式(2.49)成立,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,重要结论：,证:,由n得,基矢量,(c),(d),由(c)和(d),去n1得,设S是二阶对称张量,是S的谱,是和谱对应的三个相互正交的特征矢量,n是任意单位矢量,则函数的最小值为,且,f(n)的最大值为,且.,第二章张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示,(e),(f),由(e)得,f取最大值,由(f)得,f取最小值,由(c)和(d),去n3得,第二章张量基础知识2-6张量分析,2-6张量分析,A:标量的矢量函数,一个张量F依赖于另一张量T而变化,矢量u是t的函数,ui也是t的函数,如ui可导,则矢量u对t的导数为:,(2.53),(2.52b),第二章张量基础知识2-6张量分析,B:矢量的标量函数,标量f是矢量u的函数即,若f可连续偏导,则,(2.54),f对u的导数是一个矢量,(2.55),第二章张量基础知识2-6张量分析,C:矢量的矢量函数,矢量u是矢量v的函数即,若ui的偏导连续.则,(2.56a),(2.56b),(2.57),称为u对v的导数,是一个二阶张量,第二章张量基础知识2-6张量分析,若标量f是二阶张量Tij的函数,即,D:二阶张量的标量函数,若f对二阶张量Tij的偏导连续,则,(2.58),(2.59),f相对于T的导数,二阶张量,第二章张量基础知识2-6张量分析,(2.60),若是定义在空间区域的张量,是一个张量场,则,则对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为,(二阶张量),则的导数和微分记为,(2.61),(2.62),第二章张量基础知识2-6张量分析,E:梯度、散度和旋度,Hamilton算子,(2.63),则的导数和微分改写为,(2.64),(2.65),右梯度,同样定义,左梯度,(2.66),第二章张量基础知识2-6张量分析,显然,(2.67),若是一个标量,(2.68),标量场的梯度,若是一个矢量,是二个二阶张量，,若是一个二阶张量,第二章张量基础知识2-6张量分析,若是一个矢量，其div散度定义为,(2.69),矢量的散度为一标量场,若是一个二阶张量，其左右散度分别定义为,二阶张量的左右旋度为矢量,若是一个二阶对称张量，,第二章张量基础知识2-6张量分析,矢量u的旋度定义,设u是矢量场,(2.70),是反对称张量,则w的轴向矢量为,第二章张量基础知识2-6张量分析,Laplace算子,(2.71),(2.72),对一个n阶张量,对一个标量,(2.73),若,则,是调和函数,第二章张量基础知识2-7积分定理,2-7积分定理,在数学分析中,存在如下等式,(2.74),式中,V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外法线单位矢量,是V中具有连续偏导的场函数,例:,矢量,令,(2.75),令上式的i=j,得高奥公式,(2.76),第二章张量基础知识2-7积分定理,例:,二阶张量,令,(2.77),规律:面积分中的被积函数有因子ni,去掉ni,被积函数的其余部分对xi求偏导就得体积分中的被积分中函数,例:,(2.78),V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外法线单位矢量,是V中任意阶的光滑张量场,“。”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则,第二章张量基础知识2-7积分定理,(2.79),(2.80),例:,二阶张量,令“。”取点积,(2