数值计算龙熙华部分习题答案

第1章 绪论教材习题解题思路2算法提示：利用补充定理：设的近似值为为.的数字则 （1） 如果有位有效数字，则（2） 如果则至少有位有效数字。由上述定理容易求得近似值有4位有效数字。3算法提示：利用已知变量的相对误差要求函数值的相对误差可用公式：。由此可得5算法提示：利用2中的补充定理。6算法提示：和3中应用公式一样。11算法提示：容易推得。由于（2）和（4）中都涉及两相近数相减，使有效数字丢失；（1） 在分母上的乘幂比（3）多，每次的乘幂都会带来误差，因此（3）式得到的结果最好。补充习题解题思路1为了使计算圆面积时的相对误差小于1%，问R的允许相对误差界应是多少？解：R的允许相对误差为 则所求为第2章方程求根教材习题解题思路3.证明先证存在性：由若或，则或为方程的根。否则可设或，作辅助函数，显然，且有，根据连续函数的性质，至少存在一点满足即。的根存在。再证唯一性。反证法，若方程有两个不同的根，则得出矛盾，可知方程只有一根。4解：令，并取区间，则。显然，则方程的根，则对于迭代公式（1），在区间内连续，且有，因而该迭代收敛。（2），在区间内连续，且有，因而该迭代收敛。（3），则 ，因而该迭代发散。事实上，若取进行迭代，由得，显然迭代序列发散。由于在收敛的情况下，若越小，则迭代序列收敛于的速度越快，故本题取迭代格式（2）来求方程的近似根，具体结果如下：由，取，则，迭代6次即可得方程的具有四位有效数字的根为5证：设方程的等价形式为，则因为，所以6解：注意到则当时，将方程写成等价形式，构造迭代形式：可望收敛，表示的反函数。补充习题解题思路1设有迭代公式 ，试证明该公式。在附近是平方收敛的，并求 。证明：迭代函数 ，由收敛阶判定定理，2阶收敛。 极限式= 第3章 线性方程组的解法教材习题解题思路4证明：先证必要性：因为向量序列收敛于向量，即再证充分性：因为即所以。6.证明提示：先假设是不可逆矩阵，推出矛盾，说明是可逆矩阵，再利用即可推出结论。7算法提示：利用迭代法基本定理判断即可。9算法提示：利用迭代法基本定理判断。再求解谱半径小于1时可证明结论成立。10算法提示：先将迭代公式写成标准形式，求得，再利用迭代法的基本定理去证明。12算法提示：将和依次按行和列交错求出即可。补充习题解题思路1 设，。若线性方程组仅有右端有扰动 。试估计由此引起的解的相对误差。解： （5分） （9分）第四章 数值积分要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson）公式的余项确定积分区间a,b的等分次数n （7）Newton-Cotes求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念复习题：1、 已知求积公式为(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss公式；(2) 用此求积公式计算定积分解：（1）依次取代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取时，左端 可端可见该是求积公式具有5阶代数精确度由于求积公式节点数为,而公式代数精确度所以该求积公式为Gauss公式（1） 对于， 有故 2、 对于2结点插值型求积公式。（1）如果求积分公式是两结点牛顿科特斯求积公式，请给出求积系数，求积结点，并给出积分余项表达式（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？注：本题不用考虑3、 分别用梯形公式和二点Gauss公式计算积分，比较二者的精度解：利用梯形公式，注：Gauss公式部分不要4、 对于积分。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的代数精度；（3）问区间0,1应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过解：（1）， （2）梯形公式余项 辛普森公式余项可见梯形公式代数精度为 ，辛普森公式代数精度（3）根据复合辛普森公式的余项 注意到令，解得 可见当取时，对应的复合辛普森公式可满足精度要求5、 确定下列公式中的参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。解：依次取代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组 ， 解得 得公式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见该求积公式代数精确度为6、 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为7、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解：解题过程与上题类同，所得结果代数精确度为8、 求积公式具有多少次代数精确度解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为9、 试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得 得公式的代数精确度为10、 试确定下列求积公式的代数精确度 解：依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为11、 试确定常数,使求积公式 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分（结果保留5位小数）解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得对应求积公式依次取代入积分公式，得左端=右端当取时，左端右端，故公式的代数精确度为由于求积公式节点数，而代数精确度可见该求积公式是Gauss型求积公式12、 求出二点Gauss求积公式中系数，及节点，。并用此公式计算积分（结果保留5位小数）解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得 由可得，继而可求得 , 及 对应求积公式：对于，利用变量代换：，则 13、 试证明高斯求积公式的求积系数恒为正注：本题不用考虑14、 确定常数及使求积公式具有尽可能高的代数精确度，是否为Gauss型求积公式？并用上述所得公式计算积分的近似值（计算过程保留6位小数）.解：依次取代入积分公式，令左端=右端，得 解得：相应求积公式：取代入公式，有左端=右端取代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度而公式具有节点数，而所以，该求积公式为Gauss型求积公式15、 求积公式的