必修一2.1.3 函数的简单性质---奇偶性

第2章函数概念与基本初等函数,2.1.3函数的简单性质-奇偶性,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？,f(-3)=9=f(3)f(-2)=4=f(2)f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3)f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1),对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值相等。即f(-x)=f(x),这时我们称这样的函数为偶函数.,情景创设,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1)两个函数图像从对称角度考察有什么共同特征吗？(2)怎样用数量关系来刻画函数图像的这种对称性？,情景创设,f(x)=x,f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1),f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1),对于这两个函数，当自变量任取一对相反数时，它们的函数值也成相反数。即f(-x)=-f(x),这时我们称这样的函数为奇函数.,f(x)=1/x,注：,2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,数学构建,3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,5、奇函数的图象关于原点对称.反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,4、偶函数的图象关于y轴对称.反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于：A、简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性,（1）若则是偶函数；,（2）若对于定义域内的一些，使则是偶函数；,（3）若对于定义域内的无数个，使则是偶函数；,（4）若对于定义域内的任意，使则是偶函数；,（5）若则不是偶函数。,对于定义在上的函数，,【练习1】判断：,下结论,(1)、先看（求）定义域，看是否关于原点对称；,(2)、验证f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,用定义判断函数奇偶性的步骤：,(3)、下结论,【练习2】下列判断是否正确,【练习3】、判断下列函数的奇偶性：,(1)解：定义域为Rf(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,(2)解：定义域为Rf(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(3)解：定义域为x|x0f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(4)解：定义域为x|x0f(-x)=1/(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,9,思考题：,1、函数y5是奇函数还是偶函数？,2、函数y0是奇函数还是偶函数？,Y,Y,Y,Y,x,x,偶函数,是偶函数也是奇函数,例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,思考：从图像你有何发现？,在对称区间上奇函数单调性同,偶函数单调性反,本课小结,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(x)=-f(x)f(x)为奇函数如果都有f(x)=f(x)f(x)为偶函数,2、三个