北京大学量子力学课件-第15讲

,第十五讲.力学量的完全集力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。力学量完全集的本征值完全确定了相应的本征函数组,.力学量平均值随时间的演化，运动常数）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）。(1)力学量的平均值随时间演化，运动常数若不显含t，则,我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。(2)virialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。,若是x，y，z的n次齐次函数，则,例：谐振子势是x，y，z的2次齐次函数例：库仑势是x，y，z的-1次齐次函数(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有,若是不显含时间的算符，则有取则有这即为能量和时间的测不准关系。,（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。,动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。,称为的恩费斯脱定理。我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。,但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言,在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论,当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式,这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，,因此，当较小时，比较大。所以要有,要有两个条件：位势随空间作缓慢变化：动能很大：,.有心势能量本征方程可写为显然,因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。,以的本征值（即量子数）对能量本征方程的解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程,（1）若时，仅当0m2时才有束缚态。（2）在时，径向波函数应满足（3）三维自由粒子运动,所以自由粒子的本征函数为,对于自由粒子，亦可选作为力学量完全集，其共同本征函数为,（4）球方势阱：考虑位势为令,A.则有,当,波函数在无穷远处应为0，,要求两区域的波函数及其导数在处连续，即从而确定E的可能值，即本征值。,当，则有令，则由连续条件,以及显然，在二，四象限。讨论：1）由图可知，则无解；2）当，则仅有一个解。这时,即。,所以,在区间无节点。3）当，有二个解:一个解，无零点；另一个解。所以，,有一个零点。,正交归一，可经由方程给出当，这时区域的波函数为0。由连续条件，即有根（）。,B当令,得解无妨设则由,所以,对于自由粒子所以，力场的性质反映在上。由的连续条件,如令（微商对宗量）则有当（即k）给定，则由方程给出一系列）。,所以，当时，有一连续谱。这时有渐近解而自由粒子为,（4）氢原子：氢原子是一个典型的两体问题A.两体问题的质心运动的分离质量为m1和m2的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。这时，,引入质心运动和相对运动于是有,于是有，,这样，一个体系可看作二部分运动合成，一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对运动,是一个质量为的粒子在势场中运动。令为一特解，得,直接得而相对运动部分为,所以，处于位势为的体系，最普遍的波函数为B.氢原子：相互作用只与质子和电子的距离r有关,于是有变量分离（要求，当，）代入得,要求为束缚态，则E0。令于是,当，方程近似为，所以,当，方程近似为，所以。取令(并要求)，,代入方程得这是一合流超比方程它有解和称为合流超比函数,当P大时，其相近两项系数之比：,相邻系数比与幂级数系数之比相同。所以，级数必须被截断成多项式。而由当为负整数时，则项的系数都