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第二章 解析函数1用导数定义，求下列函数的导数：(1) 解: 因 当时,上述极限不存在,故导数不存在；当时,上述极限为0,故导数为0.2下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析? (1) 解: 这里要，当且当而均连续，故仅在处可导，处处不解析.(2) 解: 这里四个偏导数均连续且处处成立,故在整个复平面上处处可导,也处处解析.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.(1) 解: 当时，除外在复平面上处处解析, 为奇点, 当时，显然有，故在复平面上处处解析，且.4.若函数在区域内解析,并满足下列条件之一,试证必为常数.(1) 在区域内解析;(2) (3) 在内为常数;(4) 证 (1) 因为在中解析,所以满足条件又也在中解析,也满足条件 从而应有恒成立,故在中为常数, 为常数.(2) 因在中解析且有,由条件,有则可推出,即(常数).故必为中常数.(3) 设,由条件知,从而计算得 ， 化简,利用条件得所以同理即在中为常数,故在中为常数. (4) 法一：设则求导得 由条件 故必为常数,即在中为常数. 设则,知为常数,又由条件知也必为常数,所以在中为常数.法二：等式两边对求偏导得：，由条件，我们有，而，故，从而为常数，即有在中为常数.5.设在区域内解析,试证: 证: 设 而 又解析,则实部及虚部均为调和函数.故则6.由下列条件求解解析函数(1)解: 因所以又 则.故(2) 解: 因由解析,有又而所以则故 (3) 解: 因由的解析性,有 又而所以则故由得推出即 7.设求的值使为调和函数,并求出解析函数解: 要使为调和函数,则有即所以时,为调和函数,要使解析,则有所以 即故8试解方程： (1) 解: 故(2) 解
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