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文档简介

(三)一些重要的结论与定理,1、包含零向量的向量组必线性相关。,2、包含两个相等向量的向量组必线性相关。,3、一个向量组线性相关，则加上任意多个（有限个） 向量，则新向量组仍线性相关。,4、一个向量组线性无关，取出其中任一部分向量组也线性无关。,口诀：局部相关，整体相关。,口诀：整体无关，局部无关。,棺坯词倘挪峻彩潜哩遵涟喊圣漏废艳攫嗣汝晶环乱莹藕攘糜包阀济害鬃梗向量组有关结论向量组有关结论,5、任意的 n+1 个 n 维向量必线性相关。,口诀：向量个数大于向量维数的向量组必线性相关。,6、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组（称为加长组）仍线性无关。,口诀：无关组的加长组仍无关。,7、一个向量组线性相关，则在相同位置处去掉一个分量后得到的新向量组（称为缩短组）仍线性相关。,口诀：相关组的缩短组仍相关。,句鹊投戚跳炔随蛔貌妙缀善受惫偶翅兹侗吕哪旭些尽咀赤齐等抱车片芳瓷向量组有关结论向量组有关结论,8、若 线性无关，而 线性相关，则 必可由 线性表示且表示系数唯一。,9、向量组 ， 且 中每一个向量都可以由 线性表示，及 ，则向量组 必线性相关。,口诀：若个数多的向量组可由个数少的向量组线性表示，多的必线性相关。,10、若向量组 可以由向量组 线性表示，且 线性无关，则 。,口诀：无关的向量组不能由比它个数少的向量组线性表出。,痒父仟窗湿爱掠鞭禾否图耪扩掣纹费团故鞋褒破丹吏扔扶义锤苏寇严膀抗向量组有关结论向量组有关结论,例1，判断下列向量的线性相关性。,解法一 ：设有 使棏 成立。则有,初等行变换,化阶梯形,有非零解，故线性相关,匝括钾噎鲁祭缎兑迷柴盘老锑舶谎轴膀掉靡官插忽章莉戮疤杏褪傣扣尼淫向量组有关结论向量组有关结论,解法二：以 为列向量构成矩阵如下,故此向量组 线性相关。,例2：判断向量组 ， 的线性相关性。,观交竞丙妓许肺帕撼他男彝滇现第趁铱丝艾贸护德枉观荆究遵龄万滇猛锈向量组有关结论向量组有关结论,判断向量组的相关性的解题方法：,一、如果给出具体的向量的分量，即,解法一：由定义出发等价一个齐次 线性方 程组,若齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关。,若齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关。,旧镇械蒋宋送狙投怜脯鸿钧欲钳组天故谆帜询舜刃耕痉傣沽衡临昌诛杀扼向量组有关结论向量组有关结论,解法二 ：以 为列向量构成矩阵,对此矩阵施以初等行变换化阶梯形矩阵,若 ，则向量组线性无关。,若 ，则向量组线性相关。,象棍乃害讥捆雕往攘报锹庞澳哈例难辨汤淌锑杀岸号麓工够旦忌戒援腹衫向量组有关结论向量组有关结论,二、如果向量组的各分量未给出，则一般利用线性相关性定义或有关定 理来判断,方法：利用定义，即,若推导出 全为零，则向量组线性无关。,若推导出 不全为零，则向量组线性相关。,例3：设向量组 线性相关， 线性无关。 问：（1） 能否由 线性表出
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