2-均匀电场中球形介质的电场分布的Mathematica仿真-课程设计说明书

课程设计书设计主题：半导体激光器饱和吸收晶体被动调q的实现学生编号： 1106020103学生名称：陈丽指导教师：张科开始日期： 2014.2014。物理和电子信息系统光电信息科学与工程专业摘要本文首先采用分离变量法求出均匀电场中球形介质静电场的拉普拉斯方程，从边界条件得出具体的解析解. 接着，用Mathematica程序求出均匀电场下的球状介质的电场分布，绘制电场空间分布的矢量图。 本文的特征是，使用数学分析解不能直观地给出静电场矢量图的Mathematica程序描绘的电场空间分布矢量图是直观的。关键词：静电场的拉普拉斯方程球形介质； Mathematica仿真目录第一章Mathematica软件11.1 Mathematica简介11.2 Mathematica运算2第二章分离变量法求解静电场42.1拉普拉斯方程的解析解42.2均匀电场下球形介质的电场分布5第三章Mathematica模拟7程序12参考文献14谢礼15第一章Mathematica软件第一章Mathematica软件1. 1 Mathematica介绍Mathematica是美国Wolfram Research公司开发的数学软件。 其主要用户是从事理论研究的数学家和其他科学家，以及从事实际工作的技术人员。 Mathematica可用于解决在各种领域中涉及复杂的符号计算和数值计算的问题。 以前必须用手工导出才能解决的问题，现在用电脑就能简单地解决了。Mathematica是一种科学计算软件，结合了数字与符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统及其他应用的高级连接。 许多功能在相应领域处于世界领先地位，直到2009年，它才是迄今使用最广泛的数学软件之一。 Mathematica的发表标志着现代科学技术计算的开始。 Mathematica是世界上最强大的系统。 自1988年发布以来，计算机在技术和其他领域的应用受到了巨大影响。Mathematica主要可以做数值运算、符号运算和图像处理三项工作。 特别是在符号运算作业中，显示了其强大的功能。 它可以对符号求解多项式的计算、素因数分解、展开、方程、极限、导数、积分等。 也可执行数值或一般代数向量、矩阵的各种计算。 在Mathematica中，可以简单地描绘用各种方法表现的一项和二项函数的图形。 通过这样的图形，我们可以立刻以图像的形式把握函数的某些特性，但是这些特征一般从函数的符号形式中是难以看到的。 Mathematica是一个易于扩展和修改的系统，提供了一种相当于编程语言的描述方法，可以用该语言编写程序，解决各种特殊问题。Mathematica和MATLAB、Maple被称为三大数学软件。1. 2 Mathematica运算在Windows环境中安装Mathematica 5.0时，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中点击Mathematica 5.0，画面上会显示如图所示的Notebook窗口，用户保存Mathematica的基本语法特征：(1) Mathematica中大小写不同。 例如，plot、plot是不同的变量名或函数名。 自定义变量的长度没有限制，可以接近任意名称，但不能以数字开头。 Mathematica的函数是常用的数学函数，如绝对值函数Absx、正弦函数Sinx、馀弦函数Cosx、基于e的对数函数Logx、基于a的对数函数Loga，x等，第二个是作为函数曲线图的函数Plotfx。(在Mathematica中，必须注意四种括号的用法：()括号表示项的结合顺序 方括号表示函数，Logx、BesselJx，1； 大括号表示“表”(一组数字、任何表达式、函数等) (如2x，Sin12 Pi，(1a，y * x ) ) 两个括号都表示“表”或“表达式”的下标。 例如a 2，3 、a，b，c1=a .(3) Mathematica还定义了系统常数，比如，圆周率的精确值表示为Pi，自然对数的底数表示为e，多个单位表示为I，角度表示为Degree，Pi/180，Infinity表示无穷大等，这些常数在运算中起着重要的作用。(4)乘法可以表示为*，也可以表示为空格。 例如，2 3=2*3=6、x y、2 Sinx等。幂可以表示为“”。 例如，x4，Tanxy。(5)输入语句时，Mathematica在以分号结尾的语句行或表达式中默认不显示计算结果。 否则，将输出计算结果。(6)要调查某个函数的具体用法，可以在Notebook界面下使用吗？ 或者？ 您可以查询系统运算符、函数和命令的定义和用法，以获得简单直接的帮助信息。 您也可以使用Options查询。 当然，要积极了解更多函数，请在Mathematica界面中单击帮助菜单项Help Browser，了解有关函数的详细信息。代数运算：(1)数字的显示和计算Notebook接口可以计算大量数字，并且Mathematica始终以非常精确的格式输出结果。 例如若要获得近似值，请计算函数Nexpr，n。 expr是一个数字表达式，其中n是有效数字的位数。Mathematica的许多函数可以直接用于数值计算，例如求方程式的数值解函数NSolve、数值积分函数NIntegrate、数值求和函数NSum等。(2)变量和变量的代入在Mathematica中，变量通常被指定为“=”，您可以为变量指定数值，也可以为变量指定符号值。 例如，用5代替x，用a代替y。如果随后的运算需要调用x或y表达式，Mathematica将替换为给定的值。 比如说如果需要上一步的运算结果，可以将上一步整体的运算结果替换为%。 事实上，倒数第二次运算结果也可以表示为上一次运算的第n次结果，如%所示。另一个变量赋值类似于变量的替换，用(/)表示，例如用代数式4x2进行x2的替换4x2 2/.x218公式已被取代x2-7x 3/.xa b可以在同一行中输入多个语句。 句子间隔(； 分离)。 如果需要运算Mathematica，而不需要输出结果，则在表达式后面加分号(； 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析(3)函数的定义在Mathematica中，函数的定义用“:=”来表示。 例如fx_:=x2 6定义后，Mathematica会自动使用您定义的规则，例如，求出x=a b时的fx值fa b第二章分离变量法求解静电场应用分离变量法求解拉普拉斯方程的具体步骤是首先在所选择的坐标系下，将电势函数表示为三个未知函数的乘积，并且每个函数仅包含一个坐标变量。 通过将3个未知函数这样的积代入拉普拉斯方程式，可以分离3个常微分方程式，由这些解的积构成电位函数级数形式的解。 接着基于所界定的边界条件来确定解中的保留系数。2.1拉普拉斯方程的解析解正交坐标系中的拉普拉斯方程(2-1)将位函数V(x，y，z )作为三个函数的乘积，即(2-2)一类拉普拉斯方程的求解(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)式中为分离常数，且令人满意(2-7)注意，表达式中的k可以是实数或虚数。 应指出其中两个是实数，其馀一个是虚数。 也就是说，X(x )、Y(y )和Z(z )中必须有两个是三角函数，剩下的一个是双曲函数。 把双曲函数分解成指数形式的解有时很方便。 为了满足边界条件，分离常数总是取一系列值，形成级数解。 如果电位与某个量(z等)无关，解的形状可以二维简化。在球坐标系中，标量电位v拉普拉斯方程(2-8)电位与方位角无关，拉普拉斯方程的解(2-9)对于文艺复兴多项式，和保留常数由具体问题的边界条件给出。2.2均匀电场下球形介质的电场分布半径为介电常数的介质球放置在均匀的电场上。 求出介质球内外的电位和电场。解：介质球外电位和球内电位满足拉普拉斯方程，它们具有轴对称性，其通解各不相同(2-10 )(2-11 )这里是未定系数。 电位的边界条件是(1)(2)为有限值(3)可以从边界条件(1)得到(2-12 )可以从边界条件(2)得到(2-13 )可以从边界条件(3)得到(2-14 )所有的常数都已经决定，解是你知道吗？(2-15 )第三章Mathematica仿真Mathematica仿真程序如下。 在程序的顶部，输出结果位于中央，显示公式编号。解：介质球外电位和球内电位满足拉普拉斯方程，它们具有轴对称性，其通解各不相同ClearGlobal*(2-16 )电位的边界条件是(1)(2)为有限值(3)由边界条件可知，总和仅为n=1项。 文艺复兴函数的前两个顶点是和。 电位的通解是(2-17 )将电位代入边界条件(1)(2-18 )知道比较系数从边界条件(2)可知边界条件(3)第一条件(V1/.Ra)(V2/.Ra )(2-19 )使用Coefficient函数比较上述方程式的系数获得方程式eq1，比较上述方