2003年数学建模A题

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛主题(首先请阅读论文格式的统一要求)a问题SARS的传播SARS (seviereacuterespiratorysyndrome，重症急性呼吸道综合征，通称：非典型肺炎)是21世纪首次在世界范围内传播的传染病。 SARS的爆炸和蔓延对我国经济发展和人民生活产生了巨大影响，我们吸取了许多重要经验和教训，认识到定量研究传染病传播规律，创造预测和控制传染病蔓延的条件的重要性。 请为SARS的传播建立数学模型。 具体要求如下(1)对附件一提供的早期模型评价其合理性和实用性。(2)制作你们自己的模型，说明为什么比附件一的模型更优秀，特别是需要说明如何构建一个真正可以预测、可靠的、可以预防和控制的、能够提供充分信息的模型是非常困难的。对卫生部门采取的措施进行了评论例如5天前采取严格隔离措施，估算疫情传播的影响。 请参考附件二所载的数据。(收集SARS影响经济方面的数据，建立并预测相应的数学模型。 请参考附件三所载的数据。(4)在当地报纸上写一篇通俗短文，说明传染病数学模型的重要性。附件一：SARS流行的分析与北京流行的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，使用数学模型进行分析是有意义的。 前几天，XXX先生运用解析式分析了北京SARS疫情前期的动向。 在此基础上，我们加入了每个患者可以传染给他人的期间(严格隔离、治愈、死亡等)，考虑到不同阶段社会条件下感染概率的变化，分析香港和广东的情况得到了比较合理的参数，最后对北京疫情的流行进行了初步预测。 希望这样的分析有助于认识疫情，安排后续的工作生活。1模型和参数假设最初的病例数为N0，一个患者一天感染k人(k一般为小数)，一个患者能够直接感染他人的时间为l天。 l日内病例数的增加是时间t (单位日)的关系N(t)=N0 (1 K)t不考虑感染期限，病例数呈指数规律增加。 考虑到感染期间l的作用，变化大大偏离指数律，成长速度变慢。 我们采用半模拟循环计算的方法，将l日到达的病例排除在可能直接感染的基数之外。参数k和l具有比较明显的现实意义。 l是发现每个患者前后可能直接感染的期间，可以理解为该期间后他失去感染作用，原因严格隔离，疾病治愈不再感染或死亡等。 原则上，该参数主要与医疗机构隔离患者的时机和隔离严格程度有关，只有医疗机构才能有效地缩短该参数。 但是，对广东、香港、北京的现有数据进行了分析，结果表明，在疫情爆发阶段和疫情控制阶段，这个参数都不怎么使用。 否则，就无法描绘各阶段的数据。 这个参数最好放在15-25之间。 简单地固定在20日这个值有统计的意义，关于是否有医学上的解释，其他的专家的分析是必要的。参数k明显表示某个社会环境下患者感染他人的平均概率，与整个社会的警戒度、政府和公众采取的各种措施有关。 疾病的初发期，不具备社会。 此时，k的值比较大。 为了简单起见，我们从最初到最高采用相同的k值(由拟合这一阶段的数据决定)，也就是说，假定这一阶段的社会防范度低，感染率高。 到达高峰后，我们在10天的范围内逐渐调整k值，之后依然保持不变，拟合之后控制阶段的所有数据，认为社会经过短期的急剧调整，进入了疫情控制的良好常态。 很明显，当疫情失控或重复发生时，k值需要进一步调整。2计算结果2.1香港疫情的计算与分析。 香港的数据比较完整和准确。 但是，由于初期诊断标准等不当，到3月17日为止没有发现严格公布的数据。 我们以报道2月15日为首发患者起点，2月27日从报道推测7例。 3月17日以后是正式公布的数据。 累积病例数在图1中用三角形表示。 我们按照上述方法计算。 4月1日前后(起点45日前后)为疫情高峰时间，此前为K=0.16204。 此后的10天，根据数据的变化，使k逐渐变更为0.0273，保持0.0273，计算后述的控制期间的结果。 短期内k调整幅度大，反映了社会变化。 图中实心四角黑点为计算出的累积病例数。 通过计算累计病例数，可以容易地计算出每天的新病例数(当然，只反映流程，实际情况有很大变动)。 可以看出，香港的疫情，从开始到高峰约45天，从高峰到1/10以下(1天数例)约40天(5月中旬)，到几乎没有的病例还有1个月(6月中旬)。2.2广东疫情的计算与分析。 广东的起点是02年11月16日，今年2月下旬达到顶峰，约过了100天。 到今年2月10号为止的数据都没找到，很难分析。 总体来看，广东持续时间比香港长得多，但累积的病例总数较少反映了广东的爆发和高峰不强。 但是广东的下跌也很慢。 从2月下旬的高峰到现在已经过去了约70天，每天维持着10次新病例，香港也只过去了约40天。 这个缓慢上升和下降的过程也反映在k值上。 比较好的拟合结果是峰值之前(t 101天)，K=0.0892； 在此后的10天内逐渐调整为0.031。 采用该参数计算出的后期日增病例数比实际发表的少，实际上显示出降低缓慢。 这种情况是否与疫情的社会控制情况有关，需要进一步分析。2.3北京疫情分析与预测。 北京的病例起点是3月1日，经过约59日，在4月29日左右达到了高峰。 我们通过拟合起点和4月20日以后的数据，决定了高峰时间以前的K=0.13913。 该值低于香港的0.16204，说明北京初期的爆炸程度不及香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，香港为45天，累计病例数远远超过香港。 从图2可以看出，4月20日以前公布的数据大大低于计算值。 我们从香港、广东的情况计算得知疫情前期的计算还是可行的。 可大致判断北京前期的实际病例数。 图中的公布数据为5月7日(出发日至67日)，之后的计算采用了香港得到的参数。 据此估计，北京的最终累计病例数将达到3100人以上。图1香港疫情拟合图二北京疫情分析图3为计算出的日增病例数。 后期减少的实心黑点是以香港的参数得到的。 也就是说，如果北京的疫情控制在香港同等或以上的话，高峰后的40天(起点开始100天)左右，也就是6月中旬减少到几天。 再加上约1个月，7月中旬日增0例。 但是，如果北京新病例的减少速度与广东相似，达到这个效果还需要1个月，累计病例数将达到3800人左右。 有关原因香港下降速度快、广东下降速度慢，需要具体分析。图3北京日增病例发展趋势分析三结论每位患者均可直接感染他人的时间平均在20天前后，该值在地区和疫情阶段似乎没有多大变化。 患者的平均每日感染率与社会状况有关，在流行的爆发期较大，在流行的控制期相当小。 香港的早期爆炸情况比广东和北京激烈，但控制效果明显高。 如果北京后期控制在香港后期感染率水平，预计6月中旬将增加数例。 再加上约1个月，7月中旬日增0例。 累计病例数达到3100人以上。 但是，如果北京新病例的减少速度与广东相似，达到这个效果还需要1个月，累计病例数将达到3800人左右。附件二：北京市疫情的数据(根据： http:/www.B/resource/detail.ASP？ 资源id=66070 )日期确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计四月廿日3394021833肆月廿壹日4826102543肆月贰拾贰日5886662846四月廿三6937823555肆月贰拾肆日7748633964四月廿五8779544273肆月廿陆日98810934876四月廿七111412555678四月廿八119912755978四月廿九134713586683四月三十日144014087590五月初一1553141582100五月二日1636146891109五月三日1741149396115五月四日18031537100118五月初五18971510103121五月初六19601523107134五月初七20491514110141五月初八21361486112152五月九日21771425114168五月十日22271397116175五月十一日22651411120186五月十二日23041378129208五月十三日23471338134244五月十四日23701308139252五月十五日23881317140257伍月拾陆日24051265141273五月十七日24201250145307五月十八日24341250147332五月十九日24371249150349五月廿日24441225154395五月二十一日24441221156447五月廿二24561205158528五月廿三24651179160582五月廿四24901134163667五月二十五日24991105167704五月廿六250410691687475月27日25121005172828五月廿八2514941175866五月廿九2517803176928五月三十日25207601771006五月三十一日25217471811087六月初一25227391811124六月初二25227341811157六月初三25227241811189六月初四25227181811263六月初五25227161811321六月初六25227131831403六月七日25236681831446六月八日25225501841543六月九日25224511841653六月十日25223511861747六月十一日25232571861821六月十二日25231551871876六月十三日2522711871944六月十四日252241891994六月十五日252231892015六月十六日252131902053六月十七日252151902120六月十八日252141912154六月十九日252131912171六月廿日252131912189六月廿一日252121912231六月廿二252121912257六月廿三252121912277附件三：北京市接待海外旅行者人数(单位：万人)年1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月19971998199920002001200220039.411.316.819.820.318.820.924.724.319.418.69.611.715.819.919.517.823.321.424.520.115.910.