行星运动轨迹的不同推导方法

1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第卷第期 年月 云南民族学院学报自然科学版 行星运动轨迹的不同推导方法 张适 云南民族学院预科部 , 昆 明 摘要本文简略叙述前人 的两种方法 , 即用变分法推导和求解质点运动微分方程此外 , 作者用新途径 微分几何方法求解矢量 式运动微分方程 , 从而得到行星轨迹曲线的 曲率公 式 , 并将此公式与前人所求公式作一个比较同时运用此公式 , 求出地球同步卫星离地面的高 度及第一宇宙速度 关键词欧拉方程质点运动微分方程 , 圆锥曲线 , 曲率 , 曲率半径 世间一切事物是普遍联系的在数学和 力学中 , 可用不 同方法推导行星运动的轨迹 在研究行星动动时 , 因为太阳与行星相比较 , 其质量大得很多 , 太阳的质量为地球的 三十二万多倍所以两者的质心十分靠近太阳的质心于是可以假定太阳不动 , 并取太阳 的质心为坐标系的原点 , 再按照万有引力定律及牛顿第二定律研究行星的运动轨迹 因为我们只研究行星运动的轨迹 , 所以行星和太阳的 自转不考虑 , 并把它们作为两个 质点看待 用变分法推导 我们 知道 , 万有引力场 的势能表示为 二 一 犷 其 中 , 为万有引力常 数 , 为行星质量 , 厂为太阳质 量 , 是动 点行星矢径万的 模 按能量 守恒 塑二一全些丝 , 后 , 孟 一些丝 其 中 , ,。 为动点的初速度 , 为末速度 , 。 为动 点起始点矢径厅的模 令 拜一厂 , 有 , 一。全 。 , 其电 , 孟 一 一 料 按莫 培督 拉格 朗日最小作用量原理对质点的真实运动来说 , , 沿着轨道上 任意两 点间线段的积 分和沿 着通 过同样两 点 的其 他 曲线 的积分比较 起来 是极 小的那 一一 收稿 一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第期张适行星运动轨迹的不同推导方法 么 , 在极坐标下 , 我们所要研究的行星运动轨迹就是泛函 丁 拜 不丁 一 拜 五 石万万万 , 的极值曲线 , 其 中 一 李 甲 因为被积函数只依赖于 和 , 因而欧拉方程 日 , 刁 、 下甲一价 火下, 呈初积分 , 日 川 户一厂一 一 犷 式中 刁下丁 汀 厂 , 为积分常” 故得 兰 塑二 。 召户石两乏 通 过分离变量积分 , 最后得到 中 其 中 , 。一 汀 。 这是动点行星沿离心率 。一 石下不舀 了的 圆锥曲线的运动根据初速度 ,。 的不 同 值分别得 圆 、 椭圆 、 抛物线和双 曲线的轨道的几种情况 求解运动微分方程 如前述 , 太 阳视为 不 动 点 , 点 , 取动 点 行星 为 , 如图 设在 初 瞬时 一 , 已知 一 速度讯户歹矢径矛 万成 角 根据万有 引力定律 可 取 它为坐标系的原 。, 价甲 。 , 且 初 。 群 一了 其 中 拜二 是太 阳质量 与 引 力 常 数的乘 积 , 是太 阳与行星 两者的距离 , 是行星 的质量 , 将这一 引 力向坐标轴 、 夕投影 , 根据牛 顿第二定律可得 一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 云南民族学院学报自然科学版第卷 分一兴 分一兴 解此 , 运动微分方程组 , 可得 一 , 了 叮、 一 , 气甲一 其 中 , ,一 。 竺 , 。一 了 平 “脱率速 度 一 了 一 汗 一 汗 仪 占 一 义 一 这就是 圆锥 曲线 的极 坐 标方程 , 正焦距为 , 离心 率为不动 点 太 阳 位 于该 曲线 的一个焦点上 新途径 用微分几何方法 我们用微分几何 知识可研究 曲线上一 点邻 近的性质曲线 的 每一整体性质都可 以看成 是它在每一点的某些 局部性质的综 合 对于空间 曲线来 说 , 它 的形 状 完全 决 定 于曲率与挠 率 , 而曲率与挠率正是曲线上 一点邻近的性质 在有心 力的作用下 , 由动 量矩守恒知 , 质 点进行 的是平 面运动在天体力学 中这种方 位不变的运动平 面称为拉普拉斯平 面 在有心力作用下 的行 星 运 动轨迹自然 是 平 面 曲线如本文 前述还是 圆锥曲线这样 , 该 曲线 曲率不为零 , 挠率为零我们只要求 出曲线的 曲率即可 本文将通过行星的运动微分 方程的 矢量式 , 直接 求其运动 曲线的曲率 由万有引 力定律及牛顿第二定律 , 可建立动点 行星 的运动微分方程 矢 量式 一 一 尽 一万 式 中 厂是 动 点 行 星到原点太 阳的矢径 为矢径 的单位矢 量 始端在原点 拜 二 , 为 万有引力常数与太 阳质量 的乘积为 行星 的质量一为矢径的模 因为 粉 一 以 万厂 式 中 了 万 。 一 , , , , , , 。 一 一了一 足大伦坷字 从众 旧寻 致 了的方 向沿着 曲线 的 切线方 向 了被称为切 线矢 、 由微 分几何知 , 军 一 为 行星的运动 速度标量 一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第期 张适行星运动轨迹的不同推导方法 万 里 三 鱼 “ 万 十 “ 了 二 二二 了 式 中为行星的切向加速度标量 将代入得 了 一 丽 “ 二 “ 于是 了 拜 丽 一 不 不万 一 “ 根据微分几何 中弗朗 内 塞 雷公式 , 有 一 口口 一一 一义一 一 式 中 万为 主法 线矢 , 且 一 、为曲线的曲率 , 且 、一 军 考虑到得 口 , 一 叫不犷 一 一 一一 一 刀 一一 一 卜 、 如图 , 万为矢量 显然 , 万 与了正交而且 拜 了在 曲线的主法线方向的分量 , 由知 , 省二 硕 一 日引之 根据矢量的分解 , 得 、一 共 一 导 一 粤 仄军百 丫 卜 一 犷 、 今 一 从 而 , 我 们得到 行 星 在 某 位 置 的轨 迹曲 线 的 曲 率 , 与 。 分别 为 行 星在该位 置的 速 度 与切 向 加速 度 的值 我们将与比较 如 前述式给出行 星 运 动轨迹 的 整体形状一一圆 锥曲线其 中的 两个积分常数和咨的确定依赖于行星 一 的初始位置及初速度 , 离心 率也依赖于初速度 , 要确定 与 价的关系 , 必须看初速度与角 , 的值 由此自然会想 到根 据式 直接求 出在 极坐标下的 曲线的 曲率公式 , 但稍加思考或推算可知其公式是相 当繁的 , 万 图 未见别人采用过 式给出的是 行星轨迹 的 局部性质要 确定与 犷 的关系 , 还需看 , 与的值 , 要 确定想来不很 困难 一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 云南民族学院学报自然科学版第卷 在特殊情况 下 , 如行星在某位置的轨迹 曲线的切线 方 向与主法 线方向垂直 , 则切向加 速度 二 , 此时可作若干具体运用 , 因而式还具有 实际运用价值 下面对式举 两个具体 运 用的例子 式 是 行星的轨迹 曲线 的 曲率 , 如 果 我们把地球 作 为 不 动 点 , 地球的 卫 星 作 为动 点 , 那么式可照搬来用 , 只要将式 中看作 引力常数与地球质量 的乘积即可 例 , 求地球的 同步卫星离地面的理想高度 对于地球的同步卫星 , 其理想轨道是圆 , 因而切 向加速度在式 中 一 土 , 为 曲率半径此 时 一 , , 一 四 , 。为地球 自转的角速度 , 也是卫 星绕地。转 动的角速度 于是 由式得 一 汗 , 克 ,平 将已知地球质量秒 一二, 一 克 一 厘 米 秒 一代入, 可 求得 公里 取地球半径公 里 , 则 同步卫星应离地面的高度为 一一 公里 以往求同步卫星的高度可用公 式 一 二篇 其 中 , 为卫星运行周期 , 为引 力常数 与地球质量 的乘积 , 为卫星绕地球运行的椭 圆轨道的长半轴的长 由得 一 沂 斌 劲 此时 , 因小时 , 可得 一 公 里 , 则 同卫步星离地面的平均 高度为 一一二 公里 如果回顾式 的假设 条件 , 还可 断定 上 面所求的 平均 高度 实际上是离 地 面的恒定 高度即 当 二 小时时 , 卫 星的轨道 是圆而不是椭圆了 例 , 求卫星的第一 宇宙速 度 设卫星沿地球表面作 匀速圆周 运动忽略空气阻 力 , 此时 , 设 二 , 即 曲率半径 等于地球的半径由式演变成 的 , 得 一 厚 。 厂 , 飞 一一 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 第期张适行星运动轨迹的不同推导方法 一 坪 因为在地球表面 , 则 万有引力的大小等于物体的重 力的大 小 , 即 。 一 。为卫星 的 质量 也即 厂 , 、 士二 , 、 咬了 一八 ” 、 刀里刀迷反 将代入后 , 得 , 一 斌奋 硬 一 公 里秒 这就是 人 造地球 卫 星 的 最低速 度 或 第 一 宇 宙速度 , 结 果 与往常的推导结 果 完全相 同由此看来用微分 几何 去研究质