高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

- 1 - 求函数值域的求函数值域的解题方法总结（解题方法总结（1616 种）种） 在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、 认真观察其题型特征， 然后再选择恰当的方法，在具体求某个函数的值域时， 首先要仔细、 认真观察其题型特征， 然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、一、观察法：观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例例: :求函数()x323y+=的值域。 点拨点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x3-2的值域。 解：解：由算术平方根的性质知()0 x3-2，故()3x3-23+。 点评点评: :算术平方根具有双重非负性，即： （1） 、被开方数的非负性， （2） 、值 的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数 的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：练习：求函数()5x0 xy=的值域。 （答案：5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0） 二、二、反函数法：反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：例：求函数 2x 1x y + + =的值域。 点拨点拨: :先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：解：显然函数 2x 1x y + + =的反函数为： y y = 1 12 x，其定义域为1y 的实数， 故函数 y 的值域为Ry1,y|y。 点评点评: :利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这 种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习练习: :求函数 x-x -xx 1010 1010 y + + =的值域。 （答案：1y1-y|y或） 。 三、三、配方法：配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时， 可利用配方法求函 数的值域。 例：例：求函数()2xx-y 2 +=的值域。 点拨点拨: :将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：解：由02xx- 2 +可知函数的定义域为2x1- |x。此时2xx- 2 += - 2 - 4 9 2 1 -x- 2 + () 2 3 2xx-0 2 +，即原函数的值域为 2 3 y0|y 点评：点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域 对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：练习：x4-155-x2y+=的值域。 （答案：3y|y） 四、四、判别式法：判别式法： 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数， 可用判别式法求函数 的值域。 例例: :求函数 2 2(1) (2)(1) x y xx + = 的值域。 点拨：点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式法求原 函数的值域。 解：解：由 2 2(1) (2)(1) x y xx + = = 2 (2)(1)xx = 2 2 32xx+ 得 2 3220yxyxy+= 当0y =时，-2 = 0 ，不成立 当0y 时，由0 ，得 2 ( 3 )4 (22)yyy= 2 80yy+ 8y 或0y 由于0y 函数 2 2(1) (2)(1) x y xx + = 的值域为|80y yy 或。 点评：点评：把函数关系化为二次方程()0yx=，F，由于方程有实数解，故其判别 式 为 非 负 数 ， 可 求 得 函 数 的 值 域 。 常 适 用 于 fexdx cbxax y 2 2 + + = 及 edxcxbaxy 2 +=。 练习：练习：求函数 2 2 y= 3 x x + 的值域。（答案： 33 | 33 yy ）。 五、五、最值法：最值法： - 3 - 对于闭区间ba，上的连续函数( )xfy =，可以求出( )xfy =在区间ba，内 的较值，并与边界( )( )bfaf，作比较，求出函数的值，可得到函数 y 的值域。 例：例：已知()()01xx33-x-x2 22 +，且满足1yx=+，求函数x3xyz+=的值域。 点拨：点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可 求出函数的值域。 解：解：01xx3 2 +，上述分式不等式与不等式03-x-x2 2 同解，解之得 2 3 x1-， 又1yx=+， 将 y=1-x 代入x3xyz+=中， 得 += 2 3 x1-x4-xz 2 ， ()42-x-z 2 +=且 2 3 1-x，函数 z 在区间 2 3 1- ，上连续，故只需比较边 界的大小。 当 x=-1 时，z=-5；当 2 3 x =时， 4 15 z =。 函数 z 的值域为 4 15 z5- |z。 点评：点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也 可通过求值而获得函数的值域。 练习：练习：若x为实数，则函数5-x3xy 2 +=的值域为( ) A.()+, B.)+ ，7 C.)+，0 D.)+ ，5 (答案：D） 六、六、单调法单调法: : 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例例：求函数x3-1-x4y =的值域。 点拨：点拨：由已知的函数是复合函数，即( )x3-1-xg=，( )( )xgxfy+=其定义域为 3 1 x ，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。 解：解：设 f(x)=4x,( )x3-1-xg=,( 3 1 x ),易知它们在定义域内为增函数，从而 ( )( )xgxfy+=x3-1-x4在 定 义 域 为 3 1 x 上 也 为 增 函 数 ， 而 且 - 4 - 3 4 3 1 g 3 1 fy= + ,因此，所求的函数值域为y|y 3 4 。 点评：点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区 间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值 域。 练习：练习：求函数x-43y+= 的值域。(答案： y|y3) 七、七、换元法换元法： 以新变量代替函数式中的某些量， 使函数转化为以新变量为自变量的函数形 式，进而求出值域。 例例：求函数1x23-xy+=的值域。 点拨： 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数， 利用二次函数的最值， 确定原函数的值域。 解：解：设1x2t+=（t0）,则 2 1-t x 2 =。 于是 () 2 7 4 2 1 4 2 1t 3- 2 1-t y 2 2 = + =+=t. 所以，原函数的值域为y|y 2 7 -。 点评：点评： 将无理函数或二次型的函数转化为二次函数， 通过求出二次函数的最 值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它 的应用十分广泛。 练习：练习：求函数x-1-xy =的值域。（答案：y|y 4 3 -） 八、八、构造法构造法: : 根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。 例例：求函数8x4-x5x4xy 22 +=的值域。 点拨：点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：解：原函数变形为( )()() 2 22 2x-212xxf+=构作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个边长为 1 的正方形。 设 HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,AK=() 2 2 2x-2+,KC=()12x 2 +。 由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。 原函数的知域为y|y5。 - 5 - 点评：点评：对于形如函数()bx-caxy 2 2 +=(a,b,c 均为正数)，均可通过 构造几何图形， 由几何的性质， 直观明了、 方便简捷。 这是数形结合思想的体现。 练习：练习：求函数()459y 2 2 +=xx的值域。（答案：y|y25） 九、九、比例法比例法： 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函 数，进而求出原函数的值域。 例例：已知 x,yR，且 3x-4y-5=0,求函数 22 yxz+=的值域。 点拨：点拨：将条件方程 3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。 解：解：由 3x-4y-5=0 变形得，k 3 1-y 4 3-x =(k 为参数) x=3+4k,y=1+3k, ()()()13k5k3143xz 222 22 +=+=+=ky。 当 5 3 -k =时， 5 3 x =, 5 4 -y =时，1zmin= 原函数的值域为z|z1. 点评：点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通 过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法， 具有一定的创新意识。 练习：练习： 已知 x,yR， 且满足 4x-y=0,求函数 f(x,y)=y-x2 2 的值域。 （答案： f(x,y)|f(x,y)1）。 十十、利用多项式的除法利用多项式的除法 例例：求函数 1x 2x3 y + + =的值域。 点拨：点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。 解：解： 1x 2x3 y + + = 1x 1 -3 + 。 0 1x 1 + ，故 y3。 函数 y 的值域为 y3 的一切实数。 点评：点评：对于形如 dcx bax y + + =的形式的函数均可利用这种方法。 练习：练习：求函数 1-x 1-x2 y =的值域。（答案：y2） 十十一、一、不等式法不等式法 例例：求函数 13 3 y x x + =的值域。 - 6 - 点拨：点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。 解：解：易求得原函数的反函数为 x- 1 x 3 logy =,由对数函数的定义知0 x-1 x （1-x0）解得，0x y3xcosxsiny=y3)x(xsin1y 2 =+ 1y y3 )x(xsin 2 + =+ - 7 - 即 解得： 故函数的值域为 十四十四、数形结合法数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题 目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例例1:1:求函数的值域。 解：解：原函数可化简得： 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2） ，间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例例2:2:求函数的值域。 解：解：原函数可变形为： 上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， 故所求函数的值域为 例例3:3:求函数的值域。 解：解：将函数变形为： Rx 1 , 1)x(xsin+ 1 1y y3 1 2 + 4 2 y 4 2 4 2 , 4 2 22 )8x()2x(y+= |8x|2x|y+= )8(B 10|AB|8x|2x|y=+= 10|AB|8x|2x|y=+= ,10+ 5x4x13x6xy 22 += 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= )0 , x(P) 1, 2(B),2 , 3(A 43) 12()23(|AB|y 22 min =+= ,43+ 5x4x13x6xy 22 += 2222 ) 10()2x()20()3x(y+= - 8 - 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。 即： 由图可知： （1） 当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时， 如点， 则构成， 根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 注：注：由上例可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两 距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：如：例3的A，B两点坐标分别为： （3，2） ，在x轴的同侧；例18的A，B两点 坐标分别为（3，2） ，在x轴的同侧。 十五、一一十五、一一映射法映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一 个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例例：求函数的值域。 解：解：定义域为 由得 故或 解得 故函数的值域为 十六、十六、多种方法综合运用多种方法综合运用 例例1 1：求函数的值域。 ) 1 , 2(B )0 , x(P |BP|AP|y= PABP 26) 12()23(|AB| BP| AP| 22 =+= 26y26 + = 2 1 3y2 y1 x 2 1 t 1 t 1 1t t y 2 +