圆和方程预习提纲

圆和方程教案例1 :已知两点P1 (4，9 )和p2 (6，3，3 )，求出以P1P2为直径的圆的方程式，判断点m (6，9 )、n (3，3 )、q (5，3 )是在圆上、在圆内还是在圆外。解：根据已知条件，中心C(a，b )是P1P2的中点，其坐标如下a=5，b=6根据两点距离表达式，圆的半径如下：r=狼，狼，狼，狼，狼求出圆的方程式是(x-5)2 (y-6)2=10咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔咔点m在圆上，点q在圆内，点n在圆外例2 :圆x2 y2=4和圆(x-3)2 (y-4)2=16的位置关系。解：圆心距离=5r1 r2=6两圆相交例3 :求出以c (1，3 )为中心、与直线3x-4y-7=0相切圆的方程式解：由于圆c与直线3x-4y-7=0相接，所以半径r等于从中心点c到该直线距离.根据从点到直线的距离公式因此，求出的圆的方程式说明：例3中，使用了直线与圆相接的性质，即中心与切点的线垂直于切线且与半径相等的性质范例4 :超过点a (3，1 )和点b (-1，3 )，其中心位于直线3x-y-2=0上的圆的方程式。解：设圆的方程式为(x-a)2 (y-b)2=r 2(3-a)2 (1-b)2=r 2、(-1-a)2(3-b)2=r2、3a-b-2=0解法2 :线段AB的中点坐标为(1，2 )kAB=-。线段AB的垂直平分线方程如下y-2=2(x-1 )，即2x-y=0由中心坐标为c (2，4 )，另外r=； ac=圆的方程式为(x-2)2 (y-4)2=10例5 :求出半径10和直线4x 3y-70=0与点(10，10 )相接的圆的方程式。解：设中心坐标为C(x 0，y 0)时解： x 0=2，y 0=4或x 0=18，y 0=16要求的圆的方程式如下所示(x-2)2 (y-4)2=100或(x-18)2 (y-16)2=100例6 :已知圆方程式是x2 y2=r2，求出通过圆上的一点M(x0，y0 )的切线的方程式解：如果将切线的斜率设为k，将半径OM的斜率设为k1，则圆的切线与切线的半径垂直k=-.穿过点m的切线方程整理：点M(x0，y0)在圆上求得的切线方程式如下所示在点m位于坐标轴上情况下，上述方程式也同样适用.例7 :求出点a (2，4 )向圆x2 y2=4的切线方程式.解法1 :将切线方程式设为y-4=k(x-2 )即kx-y 4-2k=0原因：(k 2 1)x 2 4k(2-k)x 4k 2-16k 12=0=0到： k=另外，通过点a与y轴平行的直线正好与圆相切求得的切线方程式如下所示x=2或3x-4y 10=0解法2 :将切线方程式设为kx-y 4-2k=0=2得： k=另外，通过点a与y轴平行的直线正好与圆相切求得的切线方程式如下所示x=2或3x-4y 10=0解法3 :接点为(x 0，y 0)时x0x y0y=48756； 2x0 4y0=4另外，x02 y02=4x0=2，y 0=0或x 0=-，y 0=切线方程式： x=2或3x-4y 10=0例8 :两直线分别以a (2，0 )、b (-2，0，0 )这两点为中心旋转，求出它们在y轴上的切片b、b 的积bb=4，求出两直线的交点的轨迹。解：将M(x，y )作为两直线l1、l2交点有l1:=1，l2:=1得： b=，b=bb=4x2 y2=4(y0 )已知圆与y轴相接，中心位于直线l:x-3y=0上，以直线y=x切断的弦ab的长度为2，求圆的方程式。解：设置中心点C(3a，a )圆与y轴相接8756； r=3、a、o又：狼，狼，狼，狼，狼从毕达哥拉斯定理： a=1要求的圆的方程式如下所示(x 3)2 (y 1)2=9或(x-3)2 (y-1)2=9例10 :求出三点o (0，0 )、m1(1，1 )、m2(4，2 )的圆的方程式，求出该圆的半径和圆心坐标解：求圆的方程式在未定系数法中，根据给定的条件d，e，f，o、M1、M2在圆上，因此它们的坐标是方程式的解。 将这些坐标按顺序代入上面的方程式可以得到能解开因此求出圆方程式为x2 y2-8x 6y=0如果设为标准方程式，则(x-4)2 y-(-3)2=52圆半径r=5，中心坐标为(4，-3)说明：为了根据已知条件容易求出圆心的坐标、半径或利用圆心的坐标列方程式的问题，一般采用圆的标准方程式，在已知条件与圆心坐标或半径无关时，一般采用圆的一般方程式。例11 :已知一条曲线是与两个定点o (0，0 )、a (3，0 )距离之比的点的轨迹，求出该曲线的方程式，描绘曲线.解：在规定坐标系中，点M(x，y )属于曲线上的任意点，即点m属于集合.根据两点间的距离式，适合于点m的条件可表示为将式的两侧平方简化为x2 y2 2x-3=0 设为标准格式： (x 1)2 y2=4因此，式表示的曲线用c (-1，0，0 )表示圆心，2是半径的圆。说明：到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹为圆。例12 :已知曲线C:(1 a)x 2 (1 a)y 2-4x 8ay=0，(1)a取什么值，方程式求出表示圆的(2)证据：与a的值无关，曲线c必定超过两点的(3)曲线c表示圆时，求出圆面积最小时的a的值。解： (a=-1时，方程式为x 2y=0，为直线在a1的情况下，(x-)2 (y )2=表示圆。(2)方程式变形为x2 y2-4x a(x2 y2 8y)=0c定点a (0，0 )，b(-)(3)以ab为直径的圆面积最小(为什么？ 中所述情节，对概念设计中的量体体积进行分析得到圆的方程式： (x-)2 (y )2=，=，=，=答案： a=例13 :知道圆x2 y2=1，求出通过点P(a，b )的圆的切线方程式。解： (1)p在圆内时，即a2 b21时，设直线方程式为y-b=k(x-a )即kx-y-ka b=0d=1，得到(a 2-1)k 2-2abk b2-1=0a1时，k=； a=1时，k=a1时，y-b=(x-a )a=1时，y-b=(x-1 )或x=1a=-1时，y-b=- (x 1)或x=-1例14 :已知圆方程式为x2 y2-4x-2y-20=0，(1)斜率为-的直线l由圆分隔的线段较长在8，求出直线方程式(2)在圆上求出2点a和b，直线l:4x 3y 19=0为止的距离分别取最大值或最小值。解： (1)若将求出的方程式设为y=-x b，则圆的方程式如下所示(x-2)2 (y-1)2=25中心c (2，1 )，半径r=5从中心到直线的距离是d=3b=-或b=求出直线方程式为y=-x-或y=-x即4x 3y 4=0或4x 3y-26=0(2)解法1 :如果l l 与圆相接，则所述距离是l 与l之间的距离，是求出了接点的点。当l:4x 3y m=0时得：25x 2 4(2m-3)x m 2 6m-180=0=16(2m-3)2-100(m 2 6m-180)=0得： m=14或m=-36此外，x=。x=-2(m=14时)或x=6(m=-36时)得到A(-2，-2)、b (6，4 )解法2 :求超越圆心与直线l垂直的直线l 和圆在a、b两点相交。kl=-kl=l:y-1=(x-2 )即3x-4y-2=0从中解出x、y是a、b坐标例15 :来自点a (-3，3 )的光线l入射到x轴，被x轴反射，该反射光线所在的直线与圆x2 y2-4x-4y 7=0相接，求出光线l所在的直线的方程式。解：圆的方程式为(x-2)2 (y-2)2=1中心点c (2，2 )，半径r=1如果将直线l倾斜