高等数学下册ppt课件

多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。,多元函数微分学,在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数，也提出了多元微积分问题。,1,重点,多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。,难点,复合函数求导，多元函数极值。,函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。,2,（1）邻域,（2）区域,一、多元函数的概念,3,例如，,即为开集,4,例如，,例如，,连通的开集称为区域或开区域,5,有界闭域；,无界开区域,（3）聚点,6,说明：,内点一定是聚点；,边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,7,（4）n维空间,说明：,n维空间的记号为,n维空间中两点间距离公式,8,特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,n维空间中邻域、区域等概念,邻域：,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,设两点为,9,（5）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,10,例1求的定义域,解,所求定义域为,11,（6）二元函数的图形,（如右图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,12,二、多元函数的极限,13,（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。这是产生本质差异的根本原因。,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论以巩固和加深理解。,说明：,14,证,当时，,原结论成立,例2求证,15,例3求极限,解,其中,16,例4证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,17,确定极限不存在的方法：,18,利用点函数的形式有,19,三、多元函数的连续性,20,解,取,当时,故函数在(0,0)处连续.,例6讨论函数,在(0,0)的连续性,21,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,（1）最大值和最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,22,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,23,多元函数的定义,多元函数极限的概念,（注意趋近方式的任意性）,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,四、小结,24,思考题,25,不能.,例,取,但是不存在.,原因为若取,思考题解答,26,练习题,27,28,29,练习题答案,30,复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则,则复合函数,对x的导数为,这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元,31,复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？,这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数,如,由于f没有具体给出,一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。,32,一、链式法则,证,33,34,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,35,链式法则如图示,36,称为标准法则或,这个公式的特征：,函数,有两个自变量x和y,故法则中包含,两个公式；,37,由于在复合过程中有两个中间变量u和v,故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有,每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，,即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”,多元复合函数的求导法则简言之即：,“分道相加，连线相乘”,38,39,特殊地,其中,即,令,两者的区别,区别类似,40,注,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形,如,则,从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关,41,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式,用图示法表示出函数的复合关系,函数对某个自变量的偏导数的结构,（项数及项的构成）,42,仍是复合函数,且复合结构与原来的f(u,v)完全相同,即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数,因此求它们关于x,y的偏导数时必须使链式法则,43,求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量,注意引用这些公式的条件,外层函数可微（偏导数连续）,内层函数可导,的合并问题,视题设条件,44,解,45,解,解,由链式法则,46,故,同理可得,47,解,令,记,同理有,48,于是,二、全微分形式不变性,49,全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.,50,利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分,来说是线性的,从而为解题带来很多方便，而且也不易出错,51,例5设,各函数满足求导条件,求,解一,变量间的关系如下图所示,52,这里变量间的关系比较混乱,用全微分来解,由全微分定理,注意到x,z是独立自变量,解二,53,由全微分定义,注,解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错,故,54,三、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,55,思考题,56,思考题解答,57,练习题,58,59,60,练习题答案,61,62,63,偏导数,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。,64,一、偏导数的定义及其计算法,65,66,67,偏导数的求法,由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法,求时把y视为常数而对x求导,求时把x视为常数而对y求导,这仍然是一元函数求导问题,68,如在处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,69,一般地设,70,解,证,71,原结论成立,解,72,不存在,73,证,74,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,计算fx(x0,y0)时可先将y=y0代入f(x,y),再对x求导然后代入x=x0,计算fy(x0,y0)时同理,解,3、,75,4、,偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是区分清函数的类型这是出错的主要原因。,5、,若f(x,y)=f(y,x),则称f(x,y)关于x,y具有轮换对称性,在求时,只需将所求的,中的x,y互换即可,76,6、偏导数存在与连续的关系,多元函数中在某点偏导数存在连续，,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,77,7、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,78,二、高阶偏导数,纯偏导,79,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,80,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,原函数图形,偏导函数图形,偏导函数图形,二阶混合偏导函数图形,81,解,问题：,混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？,82,解,83,84,三、小结,偏导数的定义,（偏增量比的极限）,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,思考题,85,思考题解答,不能.,例如,86,练习题,87,88,89,练习题答案,90,91,92,全微分,93,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,全增量的概念,94,95,全微分的定义,96,事实上,二、可微的条件,97,证,总成立,98,同理可得,一元函数在某点的导数存在微分存在,多元函数的各偏导数存在全微分存在,？,例如,99,则,当时,100,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,101,（依偏导数的连续性）,同理,102,习惯上，记全微分为,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,103,解,所求全微分,104,解,解,所求全微分,105,证,令,则,106,同理,107,不存在.,108,多元函数连续、可导、可微的关系,109,三、小结,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,110,思考题,111,练习题,112,113,114,练习题答案,115,隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,116,解,令,则,117,解,令,118,则,119,解,令,120,则,思路：,121,解,令,则,整理得,122,整理得,整理得,123,二、方程组的情形,1、对于方程组,怎样求偏导数,首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数,当x给定以后相当于解含关于y,z的方程组,如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,z,故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x),124,若,则,怎样求,两边对x求导,注意左边是复合函数（三个中间变量），,同理,125,2、,126,127,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对求导并移项,128,129,将所给方程的两边对y求导，用同样方法得,注,这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想,130,关于隐函数求二阶偏导数,以,为例，,主要有三种方法：,公式法,类似地可求得,直接法,方程两边连续求导两次,131,解得：,两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。,132,则,这样一次就可求得全部的一阶偏导数。,全微分法,利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分,133,三、小结,隐函数的求导法则,（分以下几种情况）,134,思考题,135,思考题解答,136,练习题,137,138,139,练习题答案,140,141,多元函数极值,一、多元函数的极值和最值,142,1、二元函数极值的定义,(1),143,(2),(3),2、多元函数取得极值的条件,144,证,145,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,注意：,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,146,解,147,148,149,3、多元函数的最值,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,求最值的一般方法,设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值,将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,故一般方法是,150,在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）,解,如图,151,152,解,由,153,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,二、条件极值与拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,154,155,一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的,解决条件极值问题的一般方法是,Lagrange乘数法升元法,求z=f(x,y),其几何意义是,其中点(x,y)在曲线L上,156,假定点P(x0,y0)为条件极值点,在(x0,y0)的某个邻域内,且不同时为0,f(x,y)可微,确定了一个隐函数y=y(x),故z=fx,y(x)在P(x0,y0)处取得极值,故,即,又由隐函数的微分法知,157,代入上式,P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为,158,159,160,例4,解一,设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z),则长方体的体积为V=8xyz,令,161,解得,或,两式相除,同理,即,代入解得,三式相加得,162,解二,任意固定z0(0z00且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得,另一方面,由于u和lnu在D内有相同的极值点,故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。,169,令,则,与x+y+z=m联立解得,170,注,若一元函数f(u)在区间I上严格单调增,一般情形,多元函数g(P)在区域D上有定义,则f(u)与复合函数fg(P)有相同的极值点,利用这一结论可将求fg(P)的驻点转化为f(u)的驻点,或相反地将求f(u)的驻点转化为求fg(P)的驻点,使问题简化,转移大法,171,四、小结,多元函数的极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,拉格朗日乘数法,思考题,172,思考题解答,173,练习题,174,175,练习题答案,176,二重积分的概念和性质,在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。,177,当人们把定积分解决问题的基本思想“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。,具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。,本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。,178,重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。,难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。,基本要求,理解重积分概念，了解其基本性质,熟练掌握重积分的计算方法,掌握累次积分的换序法,掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元,理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。,179,一、问题的提出,曲顶柱体的体积,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,180,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,181,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,182,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,183,二、二重积分的概念,184,积分区域,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,积分和,185,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,由二重积分的定义可知,若二重积分,存在,186,则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式,在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，,紧靠D的边界的小区域的面积,其中L为D的围长,则面积元素为,187,故二重积分可写为,三、二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,性质,188,性质,对区域具有可加性,性质,若为D的面积，,性质,若在D上,则有,特殊地,性质,（二重积分估值不等式）,189,性质,（二重积分中值定理）,解,190,解,191,解,解,192,193,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,194,195,196,197,198,199,四、小结,二重积分的定义,（和式的极限）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,二重积分的性质（与定积分类似）,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,200,思考题解答,定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,201,练习题,202,203,204,如果积分区域为：,X型,其中函数、在区间上连续.,二重积分的计算法(1),一、利用直角坐标系计算二重积分,205,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得,206,如果积分区域为：,Y型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,207,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,注,）二重积分化累次积分的步骤,画域，选序，定限,）累次积分中积分的上限不小于下限,）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，画好围成D的几条边界线，,208,若是X型，,就先y后x,若是Y型，就先x后y，,注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。,解,积分区域如图,209,解,积分区域如图,例3计算,D,解一,D：,X型,210,解二,D,Y型,例4计算,211,解,D,Y型,I=,若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。,212,由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。,例5计算,解,D是X型区域,要分部积分，不易计算,213,若先x后y则须分片,易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。,解,214,原式,解,215,解,216,解,217,解,曲面围成的立体如图.,218,例12计算,解,根据积分区域的特点,应先对x后对y积分,但由于,对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。,219,先x后y有,奇函数,220,化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来,另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。,以上各例说明,221,二、小结,二重积分在直角坐标下的计算公式,X型,Y型,（在积分中要正确选择积分次序）,思考题,222,思考题解答,223,练习题,224,225,226,227,练习题答案,228,229,二重积分的计算法（2）,一、利用极坐标系计算二重积分,230,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图极点在区域之外,区域特征如图,231,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图（极点在D的边界上）,注意内下限未必全为0,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图（极点在D的内部）,232,极坐标系下区域的面积,解,233,解,234,解,235,236,解,237,解,238,解,239,例7计算,解,240,241,思考题,二、小结,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,242,思考题解答,243,练习题,244,245,246,练习题答案,247,248,无穷级数,从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用,本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：级数的收敛性判定问题，把已知函数表示成级数问题，级数求和问题。,249,重点,级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier展开式；,难点,常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，Fourier展开，级数求和；,基本要求,掌握级数敛散性概念和性质,掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法,掌握交错级数的Leibniz审敛法,250,掌握绝对收敛和条件收敛概念,掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数,熟记五个基本初等函数的Taylor级数展开式及其收敛半径,掌握Fourier级数概念，会熟练地求出各种形式的Fourier系数,掌握奇、偶函数的Fourier级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数,251,一、问题的提出,1.计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,252,二、级数的概念,1.级数的定义:,一般项,(常数项)无穷级数,级数的部分和,部分和数列,253,2.级数的收敛与发散:,254,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,255,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,256,第次分叉：,周长为,面积为,257,于是有,雪花的面积存在极限（收敛）,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,258,解,收敛,发散,259,发散,发散,综上,260,解,261,三、基本性质,结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,262,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,263,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,264,若记,则加括号后级数成为,的部分和记为,则,由数列和子数列的关系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,265,四、收敛的必要条件,级数收敛的必要条件:,证明,266,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,267,讨论,268,2项,2项,4项,8项,项,由性质4推论,调和级数发散.,269,由定积分的几何意义,这块面积显然大于定积分,就是图中n个矩形的面积之和,即,故调和级数发散,调和级数的部分和,270,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,271,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,272,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,273,1,274,2,275,3,276,4,277,5,278,练习题,279,280,练习题答案,281,常数项级数审敛法,在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法,对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论,282,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题,2.正项级数收敛的充要条件:,部分和数列为单调增加数列.,定理,283,3.比较审敛法,证明,即部分和数列有界,284,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,285,解,由图可知,286,重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.,287,比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法,证明,288,4.比较审敛法的极限形式:,289,证明,由比较审敛法的推论,得证.,290,291,解,原级数发散.,故原级数收敛.,292,证明,293,收敛,发散,294,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.直接从级数本身的构成即通项来判定其敛散性,两点注意:,295,296,解,297,比值审敛法失效,改用比较审敛法,298,例5,解,而,对,由检比法得,收敛,故由比较审敛法知,收敛,299,例6,解,由检比法得,级数收敛,级数发散,300,检比法失效，但,即后项大于前项,故级数发散,301,证明,取,则,收敛,收敛,302,发散,不能判定,如,都有,发散,303,级数收敛.,304,二、交错级数及其审敛法,定义:正、负项相间的级数称为交错级数.,305,证明,306,满足收敛的两个条件,定理证毕.,307,解,原级数收敛.,证明un单调减的方法,？,？,？,308,三、绝对收敛与条件收敛,定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,309,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,310,解,故由定理知原级数绝对收敛.,将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理,311,定理,设有级数,则,绝对收敛,发散,可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散,如,312,注意,一般而言，由发散，并不能推出,发散,如,发散,但收敛,如果发散是由检比法和检根法而审定,则必定发散,这是因为检比法与检根法,审定级数发散的原因是通项不趋向于0,313,四、小结,314,思考题,思考题解答,由比较审敛法知收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,315,练习题,316,317,318,练习题答案,319,1.定义:,幂级数,一、函数项级数的一般概念,320,2.收敛点与收敛域:,3.和函数:,321,(定义域是?),函数项级数的部分和,余项,注意,(x在收敛域上),函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,322,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,323,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,324,2.收敛性:,325,证明,326,由(1)结论,几何说明,发散区域,发散区域,收敛区域,这是幂级数收敛的特性,327,推论,定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,328,称为幂级数的收敛区间，,收敛域=收敛区间+收敛的端点,可能是,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,329,证明,330,由比值审敛法,331,定理证毕.,332,若,在x0处收敛,则,在x0处发散,若,则,若,在x0处条件收敛,则,这是幂级数收敛的特性,注,利用该定理求收敛半径要求所有的,或只有有限个,333,例2求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,334,335,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,336,如缺项，,则,必不存在，,但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能,套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径,例3,已知幂级数,的收敛半径R=1,求,的收敛半径,解,任取,由,收敛知,注：,337,由检比法易得,收敛,故由比较审敛法知,在,故收敛半径,内绝对收敛,注意收敛半径为1，并不意味着,338,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1)加减法,(其中,339,(2)乘法,(其中,(3)除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),340,2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),341,(收敛半径不变),解,342,两边积分得,343,例5,求和函数,解,收敛域为,记,则,并求,的和,344,故,故,345,常用已知和函数的幂级数,346,记住几个常见级数的和,常数项级数求和的一种重要方法,幂级数法或Abel法,347,四、小结,1.函数项级数的概念:,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,348,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,349,练习题,350,351,练习题答案,352,函数展开成幂级数,由于幂级数在收敛域内确定了一个和函数，因此我们就有可能利用幂级数来表示函数。如果一个函数已经表示为幂级数，那末该函数的导数、积分等问题就迎刃而解。,353,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,354,证明,355,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,356,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?,不一定.,定义,357,在x=0点任意可导,358,证明,必要性,359,充分性,360,证明,361,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,362,例1,解,由于M的任意性,即得,363,例2,解,364,例3,解,365,366,两边积分,得,367,即,注意:,牛顿二项式展开式,368,双阶乘,369,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,复合等方法,求展开式.,例如,370,例4,371,解,372,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,373,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,374,练习题,375,练习题答案,376,377,空间直角坐标系,这一章，我们为学习多元函数微积分学作准备，介绍空间解析几何和向量代数。这是两部分相互关联的内容。用代数的方法研究空间图形就是空间解析几何，它是平面解析几何的推广。向量代数则是研究空间解析几何的有力工具。这部分内容在自然科学和工程技术领域中有着十分广泛的应用，同时也是一种很重要的数学工具。,378,本章先引入空间直角坐标系，把点和有序数组、空间图形和代数方程联系起来，建立起对应关系，给数和代数方程以几何直观意义，从而可以利用代数方法研究空间图形的性质和相互关系；接着介绍向量概念，然后以向量代数为工具，重点讨论空间基本图类平面，直线，常用的曲面和曲线。,重点,向量及其坐标表示,向量的数量积，向量积,直线与平面方程,379,难点,空间图形的想象能力和描绘能力,基本要求,弄清空间直角坐标系概念，会求两点间的距离,掌握向量概念，会用坐标表示向量,掌握向量代数的基本知识,熟记两向量平行、垂直，三向量共面的条件并能正确运用。,380,掌握平面方程的各种形式，会求平面方程，会判断两平面是否平行、垂直，会求两平面的夹角及点到平面的距离,掌握直线方程的各种形式，会求直线方程，掌握两直线平行、垂直的条件，直线与平面平行、垂直的条件，两直线的夹角，直线和平面的夹角,掌握曲面方程、旋转曲面、柱面、二次曲面和曲线方程概念，了解空间常用二次曲面的标准方程，会用“截痕法”画出其简图,381,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间点的直角坐标,382,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,383,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,384,二、空间两点间的距离,385,特殊地：若两点分别为,386,解,原结论成立.,387,解,设P点坐标为,所求点为,388,空间直角坐标系,空间两点间距离公式,（注意它与平面直角坐标系的区别）,（轴、面、卦限）,三、小结,389,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,390,思考题解答,A:;B:;C:;D:;,391,向量代数,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,一、向量的概念,或,或,或,392,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,393,1加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,394,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2减法,395,三、向量与数的乘法,396,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,397,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,398,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,399,例1化简,解,400,例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,401,例3,用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半,证,402,例4,证,由题设,存在,使,若不然,则,与题设矛盾,故,403,四、向量在坐标轴上的分向量与向量,的坐标,这六个平面与x,y,z轴分别相交于,404,405,称有向线段,为向量,有向线段,为向量,有向线段,为向量,依次记作,即,406,由图上可以看出,而,称为基本单位向量,407,向量在三个坐标轴上的分向量,向量的分解式,向量在三个坐标轴上的投影,称为向量的坐标,向量可用它的坐标表示为,向量的坐标表示式,408,特殊地：,称为向径,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,409,410,解,由题意知：,411,非零向量的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,五、向量的模与方向余弦的坐标表示式,412,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,413,当时，,向量方向余弦的坐标表示式,414,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,415,解,所求向量有两个，一个与同向，一个反向,或,416,解,417,418,解,419,六、小结,1.向量的概念,（注意与标量的区别）,2.向量的加减法,（平行四边形法则）,3.向量与数的乘法,（注意数乘后的方向）,4.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标,（注意分向量与向量的坐标的区别）,5.向量的模与方向余弦的坐标表示式.,420,思考题1,已知平行四边形ABCD的对角线,试用表示平行四边形四边上对应的向量.,思考题2,421,思考题1解答,422,思考题2解答,对角线的长为,423,数量积与向量积,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,424,结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,数量积也称为“点积”、“内积”.,425,关于数量积的说明：,证,证,426,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若为数,若、为数：,证明,（1）、（3）由定义可证,余下证明（2）,427,仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明,428,设,数量积的坐标表达式,429,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,430,解,431,证,432,例3,应用向量证明CauchySchwarz不等式,证,记,则,433,例4,应用向量证明直径所对的圆周角是直角,证,如图所示,圆的方程：,设A点的坐标为,则,434,例5,证一,又,435,由,同理,故它们终点的连线构成等边三角形,证二,又,436,同理,故由余弦定理，有,故它们终点的连线构成等边三角形,437,实例,二、两向量的向量积,438,定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,439,向量积符合下列运算规律：,（1）,（2）分配律：,（3）若为数,证,/,/,440,设,向量积的坐标表达式,441,向量积还可借助于三阶行列式表示,由上式可推出,/,442,例如，,补充,443,解,444,解,三角形ABC的面积为,445,解,446,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,447,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,轮换对称性,448,证明,设,由混合积的几何意义知,449,解,例9,450,解,451,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,452,例11,分析,依题意,其中x,y,z待定,为求得x，须消去y,z,解,设有,453,同理,又由轮换对称性知,454,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,四、小结,455,思考题,456,思考题解答,457,平面及其方程,平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。,确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。,先介绍平面的点法式方程,458,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,459,平面的点法式方程,其中法向量,已知点,若取平面的另一法向量,此时由于,平面方程为,平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形,460,解,所求平面方程为,化简得,461,一般地,过不共线的三点,的平面的法向量,平面方程为,三点式方程,462,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,463,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,464,平面一般方程的几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过轴；,平面平行于轴；,平面平行于坐标面；,类似地可讨论情形.,类似地可讨论情形.,465,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,466,设平面为,将三点坐标代入得,解,467,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,468,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,469,化简得,令,所求平面方程为,470,例6,解一,用点法式,设所求平面的法向量为,由点法式得，所求平面的方程为,471,即,解二,用一般式,因平面平行于z轴，故可设平面方程为,在平面上,解得,所求平面方程为,即,472,由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：两定定点，定向,定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,473,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,474,例7研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,475,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,476,例8,解,设所求平面的法向量为,又所求平面与已知平面垂直,解得,代入点法式方程并整理得,477,解,478,479,点到平面距离公式,480,平面的方程,（熟记平面的几种特殊位置的方程）,两平面的夹角.,点到平面的距离公式.,点法式方程.,一般方程.,截距式方程.,（注意两平面的位置特征）,四、小结,481,思考题,482,思考题解答,483,空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,484,例1方程组表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,485,例2方程组表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,486,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,487,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,488,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比即,上升的高度,螺距,489,消去变量z后得：,曲线关于的投影柱面,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直