高等数学曲线曲面积分考研题目

考研试题分析11(曲线积分和曲面积分)考研试题分析11(曲线积分和曲面积分)示例1.(2003年高一号)已知平面面积uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu分析一方程有两个型曲线积分的边，这两个边可以分别直接积分，并比较积分值得到结果。证明1左dxedxy0 sin 0 sin 0 sin，(sin 0 sin dxex=右dxedxy0 sin 0 sin，(sin 0 sin dxeexx=so dxedxex x l yx l ysin sin=。分析2对于第二种类型的曲线积分，人们经常考虑用格林公式将其转化为二重积分来求解。由于被积函数在所有平面上都有连续的偏导数，因此可以用格林公式来验证。根据格林公式，(SINS in SINS inDEEDYXX D YX D YX L Y=)(SINS inDEEDYXX D YX L Y=因为D是对称的，所以xy=dxy D Y DEEDE)，(SINS in SINS in和dxy xed xyYXE x L YX L YX L Y sight=。示例2.(1993年高一和高二)让曲线积分独立于路径。它有一阶连续导数，等于。本主题的关键是从“曲线积分与路径无关”的条件中导出令人满意的微分方程，从而找到表达式。(xf)(xf解集，sin)()，(yexfyxpx=，cos)()，(yxfyxq=由于其在整个平面上的连续偏导数，曲线积分与路径无关，因此)，(yxp)，(yxq，ypxq=即方程满足)(xf，0)(= x exfxf(1)从初始条件0(=f) (xx eexf=例3)获得(1)的特殊解.(2000年高一号)在第一个卦限中被定为s的一部分，有。)，(: 2222 =zazyxs1s _ _ _ _ _ (a) (b)，4 11ssxds14 ssyds(c)，(d)。答案(C)分析1这个题目可以用排除法来区分。因为(a)和(b)在形式上只把x换成x，而y从和的表达式中知道S 1 Sx和y有完全相同的状态，所以(a)和(b)不是对就是错。因为只有一个正确答案，所以(a)和(b)都错了。此外，方程(d)左端的被积函数的符号在区域s中不同，因此积分值应该偏移，而右端的被积函数不是负的，因此方程(d)左端的值不能是第一象限积分值的四倍，也就是说，(d)不能成立。只能从中选择(c)。1分析2这个题目也可以通过计算来选择，但它相当繁琐。示例4.(1989年高位1和2)如果平面曲线是下半圆l，1 2 xy=那么曲线积分。_ _ _ _ _ _ _)22=dlyx l(分析1)只要曲线的参数方程写得准确，积分就可以得到。L2解的参数方程1是l =，2，sin，cos yx，因此，(22 ddyxdl=因此=202 22。)ddlyx l(分析2)如果注意到满足上述变化，受试者可以立即获得结果。解决方案2)，(YXL，122=YX。)22= LDL动态链接库(示例5.(2005年第一高)被设置为由圆锥表面22 yxz=和半球形表面222YXZ=包围的空间区域，是整个边界的外侧。然后=zdxdyzdxdydz。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案)21(23分析1)对于第二种曲面积分，用高斯公式求解通常比较简单。由于很容易知道积分面积和被积函数满足用高斯公式求解的条件，所以首先考虑用高斯公式求解。解1因为它是整个边界的外侧，根据高斯公式，zdxdyzdxdydz=，33dxdydz阶，22222yxryx=平面上可用交线的投影面积是xoy。2 2 22 R yx则=2002 022)(R drddv 203 22331)(312r=)，21 1 (23 1 3=r 3原因)。21 1(23=rzdxdydzdzdz分析2)计算第二类曲面积分，用投影法把它们转换成直角坐标下的二重积分是一种常见的基本方法。这个题目也可以用这个方法计算，但是计算量比较大。(解决方案)示例6.(1996高一和高二)计算曲面的乘积，其中有向曲面的法向量与szdxdydzx，2 (s22yxz=)，10(ZZ轴的正角是一个锐角。分析1由于被积函数在被空间中任何光滑闭曲面包围的区域内满足高斯公式的条件，所以它是通过增加有向曲面和高斯公式来计算的。这里应该注意的是，在高斯公式中，曲面积分是沿着封闭曲面的外侧进行的，所以本主题中沿着封闭曲面的内侧的积分应该是负号。解1有向平面1=z) 1(22 yx，D是平面上的投影区域，用指向1 Sz轴的法向量标记为负方向，然后是1 SxOY=SD DXDYZDXDYDZZX。)2 (被设置为封闭的空间面积，那么我们从高斯公式中知道，1 ss2.23(ss dvzdxdydzx201 11 03 2.23)(63r drrrdzrdrd)因此是原始公式。21)(23=分析2)这第二类曲面的积分可以通过“一票、两代和三次投影”的步骤来解决。应当注意，符号是根据投影方法确定的。解2设置为平面XYYZDD，SXOYOZ上的投影区域，然后2(2234)2(2221) sinty=. 422 1 4 3 3 4 cos 3 4 2 04 pi=TDT再次，2)(2010 222222=XY D RDRRDDDDYXso . 2244)2(=S ZDDDDYDZZZX示例7 .(2003年高一)假设函数有一阶连续偏导数，L是上半平面中的一条有向分段光滑曲线。起点是终点(xf)，() 0 (y)，(ba)，(DC=ldxxyy y y I)(11 2，1)(22 dyxyy x(1)证明了曲线积分I与路径无关；(2)当cdab=找到分析1的值时基于这个问题，第一个问题可以用平面上的曲线积分与路径无关的充要条件来证明。在第一个问题的基础上，通过寻找原函数和原函数的变化，得到I的值。解1)(1)注=)，(2xxyxyxyyyyyyyyyy，=)，(YxQ1)(2 2 xyyy Y X，然后22 1)()(YxYF XYF Y X XYXF XX Q =，)(1)(2 xyxyxyyyyyyyyyyyyy p =，因此满足：当，()，(yxqyxp0y，cxq cyp 和，ypxq 所以曲线L (2)曲线积分与路径无关，所以有一个原始函数使和：因为连续性，所以有，(yxf) (xf)，(xfxfxf=，那么)，0()()(xxf=)，0)0()(由cfxyf取)，0(FC=y x yxu)，()，(xyf则=y x yxuui dcba()，()，()，()，()(dcbaxyf。在第一个问题的基础上，第二个问题I的值可以通过将积分路径作为折线路径并将其分成如下定积分来获得。解2 (2)由于曲线积分与路径无关，所以它被视为从到的折叠线段，所以L)，(Ba)，(DC=Idyyyyyqdxbxpdcbcba)，(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(7)，(8)，(8)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)，(10)(b a d c b a d c dttfcdab=例8.(2004年高一)计算曲面积，即曲面的上侧。)1(322 233 dxdyzdxxydzx221 yx z=)0(z分析)对于第二类曲面积分，通过构造封闭曲面和应用高斯公式将原始公式转换为三重积分是一种常用的方法，但封闭曲面的选择和三重积分的计算都需要根据问题的含义来选择坐标系。本主题使用添加平面上的圆形区域来构造闭合曲面，并更简单地在圆柱坐标系中获得所需值。Xoy解设置在平面上被圆包围的部分的下侧，并且注意1 XOY122=YX是由圆 1 6形成的空间封闭区域。则原始公式=1)1(322 233 dxdyzdzdxydzx1。)1 (322 233 dxdyzdzdxydzx由高斯公式1)1(322 233 dxdyzdzdxydzxx dxdydzzyx)(6 22=dzzdd)(6 210 102d)1)1(2112 232 102=2.(1999年高一号)被设定为椭球的上半部S1 22 2 22=z yx，点syxP，(是该点的切平面，SP)，(zyx是从该点到该平面的距离，求)0，0，0 (o .)，(dszyxz s分析)这个题目是一个综合的题目。首先求解切面方程，然后计算相应的第一类曲面积分。从这个问题的含义中不难看出这一点。应充分注意选择简便的方法获得切面方程和曲面积分。以下公式法用于直接求解切面方程。根据积分区域和被积函数的特点，通过极坐标教学可以简单地得到结果。解首先写出切平面方程，