MBA数学公式全集

因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 1 电话：02227824389，23040033 第一章第一章 实数的概念、性质实数的概念、性质 一、实数的分类一、实数的分类 整数（正整数、零和负整数） 有理数 实数分数（正分数和负分数） 无理数（即为无限不循环小数） 整数还有以下分类： 奇 数 整 数 偶 数 1 正整数 质数 合数 1、 自然数 我们把 0，1，2，3叫做自然数，自然数的集合用字母N表示， 012 3N =， ， ， ，自然数也叫非负数，除 0以外的自然数叫做正整数。自然数具有下面的性质： （1）自然数n的后续数（n的后面与它相邻的数）是1n+ （2）两个自然数的和、差的绝对值，以及他们的积都是自然数。 2、奇数与偶数 当自然数a被自然数(0)b b 除，所得商仍是一个自然数时，我们就说自然数a能被自然数(0)b b 整除，此时称a是b的 倍数；b是a的约数。 能被 2 整除的自然数都是偶数：不能被 2 整除的自然数都是奇数。偶数都可以表示成2k（k为整数）的形式：奇数都可以表示 成21k +（k为整数）的形式。 3、素数与合数 若一个正整数只有一和它本身两个约数，则称这个正整数为素数（或质数） 。若一个正整数有除一和自身以外的约数，则称这个正 整数为合数。正整数可以分为三类：自然数 1，素数与合数。2 是最小的素数，除 2 以外的素数都是奇数。 4、小数 纯循环小数化分数：一个循环节做分子，分母是这个纯循环小数中一个循环节数字个数相同的 9. 如 217 0.217 217 2170.217 999 = 混合循环小数化分数：分子是第二个循环节前小数点后的数减去小数点后不循环的部分，分母是分母是和一个循环节数字个数相 同的 9，后面加与小数点后不循环数字个数相同的 0 如 2352233 0.235 353 50.235 990990 = 5、公约数和公倍数 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 2 电话：02227824389，23040033 （1）公约数 设 1,23 ,(2) n a a aa n是n个正整数，若d是他们中每一个数的约数，则称d为这n个整数的公约数（或公因数） 。n个正 整数 1,23 ,(2) n a a aa n的公约数中最大的一个，叫做这n个正整数的最大公约数。若n个正整数的最大公因数是 1，则称n个正 整数互质。 （2）公倍数 设 1,23 ,(2) n a a aa n是n个正整数，若a是他们中每一个数的倍数，则称a为这n个正整数的公倍数。n个正整数 1,23 ,(2) n a a aa n的公倍数中最小的一个，叫做这n个正整数的最小公倍数。 6、有理数和无理数之间的运算规律 有理数无理数=无理数 非零有理数无理数=无理数 = 非零有理数 无理数 无理数 = 无理数 无理数 非零有理数 有理数是能表示成(,) n nZ mZ m + 形式的数，这是它与无理数的本质区别。 7、基本运算律： 加法交换律 abba+=+ 加法结合律 ()()abcabcabc+=+=+ 乘法交换律 a bb a= 乘法结合律 ()()a b ca bcab c = 乘法分配律 () () abca ba c abca cb c += + = ;();() , mnm nmnmnnnn a aaaaaba ba m nR + = ,2 m nm n aaaR mZ nZ n + = 二、绝对值和平均值二、绝对值和平均值 1、非负性：即0a ，任何实数a的绝对值非负。 0 0 0 0 aa aa aa = L （3） 指数函数 (01)0 x aaa且 考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、 abab+，当且仅当a、b同号时，等式成立 abab，当且仅当a、b同号时，等式成立 三角不等式，即ababab+ 左边等号成立的条件：0,abab且 右边等号成立的条件：0ab 3、aa=（互为相反数的两实数绝对值相等） 4、aaa 5、xaaxa 或 6、aba b= 7、(0) bb a aa = 8、要求会画绝对值图像 9、绝对值方程问题解题思路 （1）( )f xxaxbc=+=有解，等价于 min ( )cf x (2) ( )f xxaxbc=+=无解，等价于 min ( )cf x 等号能成立 另一端是常数 ，00ba （3） 、2(0) ab abab ba ，同号 （4） 、n个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n个正数相等，且等于算术平均值。 三、比和比例三、比和比例 1、%(1%) a pap + 原值 增长率现值 %)1 (%pap a 现值下降率 原值 %pppp= 乙甲，甲是乙的 乙 乙甲 注意：甲比乙大 2、比例性质 （基本性质）:a bc dadbc= （反比性质） acbd bdac = （更比性质） acab bdcd = （合比性质） acabcd bdbd + = （分比性质） acabcd bdbd = （合分比性质） acabcd bdabcd + = （等比性质） acemacema bdfnbdfnb + + + = + L L L ，其中0bdfn+L a A a OB b ab 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 5 电话：02227824389，23040033 3、增减性 1 b a b a mb ma 01 a b 4、注意本部分的应用题 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 6 电话：02227824389，23040033 第二章第二章 整式和分式整式和分式 一、式的分类一、式的分类 n M 单项式 一次多项式 整式二次多项式 有理式多项式 代数式 次多项式 式 分式 无理式 指数式 超越式 对数式 三角式 二、乘法公式与因式分解：二、乘法公式与因式分解： 1、乘法公式 （1） 222 )2abaabb=+（ （2） 2222 )222abcabcabacbc+=+（ （3） 22 ()()abab ab=+ （4） 33223 )33abaa babb=+（ （5） 3322 ()()abab aabb=+m 2、整式的除法运算 整式( )F x除以整式( )f x商式为( )g x，余式为( )r x，则有( )( ) ( )( )F xf x g xr x=+。当( )r x=0 时，( )( ) ( )F xf x g x= 成立，此时称整式( )F x能被整式( )f x整除。整式( )F x除以xa的余式为( )r x，则( )() ( )( )F xxa g xr x=+，故 ( )( )r aF a=成立。 3、多项式因式分解 方法一方法一 提取公因式法 方法二方法二 公式法（乘法公式从左到右，即为因式分解公式） 方法三方法三 求根法 若方程 12 012 nnn n a xa xa xa +有n个根 123 , n x x xx，则多项式 12 0120123 ()()()() nnn nn a xa xa xaa xxxxxxxx += 方法四方法四 二次三项式的十字相乘法 方法五法五 分组分解法 方法六方法六 待定系数法 三、分式三、分式 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 7 电话：02227824389，23040033 1、分式的基本性质 分式的分子和分母乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变。 2、分式的运算 （1）分式加减法运算步骤 通分，将异分母的分式化为同分母的分式 分母不变，分子相加减 约分化简 （2）分式乘除法运算步骤 分式除法，除式颠倒变为乘法 分式乘法，分子乘分子，分母乘分母，同时约分 四、指数四、指数 （1） mnm n aaa + = （2） mnm n aaa = （3）() mnmn aa= （4）()m mm aba b= （5）( ) m m m aa bb = （6） 1 m m a a = 五、对数五、对数 （log,0,1 a N aa） （1）对数恒等式 logaN Na=，更常用 ln N Ne= （2）log ()loglog aaa MNMN=+ （3）log ()loglog aaa M MN N = （4）log ()log n aa MnM= （5） 1 loglog n aa MM n = （6）换底公式 log log log b a b M M a = （7）log 10 a =，log1 aa = 第三章第三章 方程和不等式方程和不等式 一、方程和不等式定义一、方程和不等式定义 1、方程：含有未知数的等式叫做方程，方程种的未知数叫做元，是方程（方程组）成立的未知数的值叫做方程（方程组）的解或 确定方程（方程组）无解的过程叫解方程。 2、不等式：两个式子用符号“”或“ 0 = 0 ( )0f x =的根 1,2 2 b x a = 1,2 2 b x a = 无实根 ( )0f x 解集 1 xx 2 b x a xR ( )0f x 解集 12 xxx x x x1 x1x x1, x2是方程 ax2bxc=0(a0) 的两根 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 9 电话：02227824389，23040033 2、解法：加减消元法和代入消元法。两个方程的公共解，就是该方程组的解。 六、不等式六、不等式 1、不等式（组）解集的区间表示法 满足axb的x的集合叫做开区间，记做( , )a b； 满足axb的x的集合叫做闭区间，记做, a b； 满足axb的x的集合叫做左闭右开区间，记做), a b； 满足axb （3）1 a b 且0bab （4）变号移项 ,abc acb+ （5）同加性 ab acbd cd + （6）同乘性 0 0 ab acbd cd （7）乘方 0, nn abnNab + （8）开方 0,2 nn abnN nab （9）倒数 11 0 ab abab 3、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数cbxaxy+= 2 的图像求解。 4、注意对任意 x 都成立的情况 （1） 2 0axbxc+对任意 x都成立，则有：0a 且0 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 10 电话：02227824389，23040033 （2） 2 0axbxc+对任意 x都成立，则有：0a 且0 5、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点 第四章第四章 数列数列 一、数列通项公式与前一、数列通项公式与前n项和项和 1、数列的定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项，数列的一般表达式为 123 , n a a aa或简记为 n a n a是数列的第n项，它是n的函数，当n依次取自然数时，求对应的函数值，就得到数列的各项。 2、通项公式 如果数列 n a的通项 n a与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，记作 n a。 3、数列的前n项和 把一个数列 n a从第 1 项开始到第n项为止的n个数相加，所得的和叫做数列 n a的前n项和，记作 n S，即有 4、通项公式与前n项和的关系 1nnn aSS = 但是上式仅对2n 有效，一般地 二、等差数列二、等差数列: 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个与n无关的常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个 数列的公差，记作d 1、通项公式: dnaan) 1( 1 +=或)( 1 dadnan+= 或 daa nn += 1 ；mdaa nmn += 2、前n项和: . 2 )( 1 naa S n n + = d nn naSn 2 ) 1( 1 +=, n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 += 3、等差中项：如果, ,a A b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且2Aab=+ 4、等差数列的性质： 距首末等远两项和均相等 . 1121+ +=+=+ knknn aaaaaaL (两项下角码之和只要是1n+,则这两项距首末两项必等远.) 距任一项(第一项除外)前后等远两项之和相等,即 (两项下角码之和为2k时,这两项距 k a这项前后等远). 若 n S是等差数列 n a的前 n 项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS仍成等差数列。 1122 2 kkkkk aaaaa + =+=+=L 123 1 n nni i Saaaaa = =+= 1 1 2 1 nn n SSn a Sn = = 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 11 电话：02227824389，23040033 三、等比数列三、等比数列 如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个与n无关的常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做这个等 比数列的公比，记作q。等比数列中0,0() n qanN+ 1、通项公式： 1 1 = n n qaa 递推公式qaa nn1 =； mn mn qaa = 2、前 n 项和公式： 设 n a为等比数列:首项为.:, 1 1111 += n n qaqaaSnqaL项之和前公比为 q a q q a SS qn q qaa q qa Sq naSq n n n n n n n n = = r. 相切d=r. 相割d+。 外切 12 drr=+ (a) (b) 相割 1212 rrdrr+。 内切 12 drr= 内含 12 drr (c) (d) (e) （五）扇形 扇形弧长：2 360 lrr = o ，其中为扇形角的度数，为扇形角的角度，r 为扇形的半径； 扇形面积 2 1 3602 Srlr = o ，为扇形角的角度，r 为扇形半径。 二二 平面解析几何基本公式平面解析几何基本公式 （一） 、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角 为 0，故直线倾斜角的范围是)0(1800pp oo . 注：当 o 90=或 12 xx =时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时， 其倾斜角也对应确定. 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 23 电话：02227824389，23040033 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点), 0(),0 ,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，直线方程是：1=+ b y a x . 注：若2 3 2 =xy是一直线的方程，则这条直线的方程是2 3 2 =xy，但若)0(2 3 2 =xxy则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy+=，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也 会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行： 1 l 212 kkl=两条直线平行的条件是： 1 l和 2 l是两条不重合的直线. 在 1 l和 2 l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线 21,l l，它们在y轴上的纵截距是 21,b b，则 1 l 212 kkl=，且 21 bb 或 21,l l的斜率均不存在，即 2121 ABBA=是平行的必要不充分条件，且 21 CC ） 推论：如果两条直线 21,l l的倾斜角为 21, 则 1 l 212 =l. 两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：设两条直线 1 l和 2 l的斜率分别为 1 k和 2 k，则有1 2121 =kkll这里的前提是 21,l l的斜率都存在. 0 121 =kll，且 2 l的斜率不存在或0 2= k，且 1 l的斜率不存在. （即0 1221 =+BABA是垂直的充要条件） 4. 直线的交角： 直线 1 l到 2 l的角 （方向角） ； 直线 1 l到 2 l的角， 是指直线 1 l绕交点依逆时针方向旋转到与 2 l重合时所转动的角， 它的范围是) , 0 (， 当 o 90时 21 12 1 tan kk kk + =. 两条相交直线 1 l与 2 l的夹角：两条相交直线 1 l与 2 l的夹角，是指由 1 l与 2 l相交所成的四个角中最小的正角，又称为 1 l和 2 l所成 的角，它的取值范围是 2 , 0 ，当 o 90，则有 21 12 1 tan kk kk + =. 5. 过两直线 =+ =+ 0: 0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 的交点的直线系方程(0)( 222111 =+CyBxACyBxA为参数，0 222 =+CyBxA不包 括在内） 6. 点到直线的距离： 点到直线的距离公式：设点),( 00 yxP，直线PCByAxl, 0:=+到l的距离为d，则有 22 00 BA CByAx d + + =. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0: 212211 CCCByAxlCByAxl=+=+，它们之间的距离为d，则有 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 24 电话：02227824389，23040033 22 21 BA CC d + =. 7. 关于点对称和关于某直线对称： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程） ，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程 ）可解得所求对称点. 注： 曲线、 直线关于一直线 （bxy+=） 对称的解法： y 换 x， x 换 y. 例： 曲线 f(x ,y)=0 关于直线y=x2 对称曲线方程是 f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a x, 2b y)=0. （二） 、圆的方程（二） 、圆的方程. 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程0),(=yxf的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线. 曲线和方程的关系， 实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(=yxf的一种关系， 曲线上任一点),(yx是方程0),(=yxf的 解；反过来，满足方程0),(=yxf的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0，那么点 P0(x0 ,y)线C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是 222 )()(rbyax=+. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是： 222 ryx=+. 注：特殊圆的方程： 与x轴相切的圆方程 222 )()(bbyax=+ ),(),(,bababr=或圆心 与y轴相切的圆方程 222 )()(abyax=+ ),(),(,babaar=或圆心 与x轴y轴都相切的圆方程 222 )()(aayax=+ ),(,aaar=圆心 3. 圆的一般方程：0 22 =+FEyDxyx . 当04 22 fFED+时，方程表示一个圆，其中圆心 2 , 2 ED C，半径 2 4 22 FED r + =. 因为向往大海 所以汇入百川 和平区卫津路 127 号 财富大厦B 座 2 楼 25 电话：02227824389，23040033 当04 22 =+FED时，方程表示一个点 2 , 2 ED . 当04 22 pFED+时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程： += += sin cos rby rax （为参数）. 方程0 22 =+FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0=B且0=CA且04 22 fAFED+. 圆的直径或方程：已知0)()(),(),( 21212211 =+yyyyxxxxyxByxA（用向量可征）. 4. 点和圆的位置关系：给定点),( 00 yxM及圆 222 )()( :rbyaxC=+