概率论习题第三章答案

第三章连续概率变量3.1将随机变量的分布函数设置为F(x)，并尝试用F(x)表示以下概率：3.2函数是否可以用作随机变量的分布函数解决方案：(1)F(x)不是单调的，不能是随机变量的分布函数。(2)F(x)在里面单调递减，所以也不能是随机变量的分布函数。(3)F(x)在定义的情况下在内部单调地上升，连续，并且可以是任何变量的分布函数。3.3函数sinx是随机变量的分布函数吗？的范围为解决方案：(1) sinx可以是任意变量的分布密度。(2)因此，sinx不是随机变量的分布密度；(3)在这种情况下，sinx=0，因此sinx不是随机变量的分布密度。3.4任意变量的对称分布函数p(x)，即p(x)=p(-x)证明：对于随机A03.5设置和全部分布函数，证明F(x)=aF(x) bF(x)也是方差函数，这里的方差函数只有离散型和连续型吗？证据：和都是分布函数f(x1)=af1(x1)bf2(x2)=af1(x1)bf2(x2)=f(x2)又来了F(x-0)=aF1(x1-0) bF2(x2-0)=aF1(x) bF2(x)=F(x)因此，F(x)也是分布函数。A=b=取1/2F1 (x)=0 x=0，1 x0f2 (x)=0 x=0 x 01这时F(x)的随机变量不是有限值或可打开的值，因此F(x)不是离散的，F(x)不是连续函数，所以不是连续的。3.6随机变量的分布函数如下找到相应的密度函数。解决方案：因此其密度函数为3.7随机变量的分布函数如下寻找常数a和密度函数。解决方案：F(1-0)=F(1)，因此a=1，密度函数为3.8随机变量的分布函数是F(x)=A B arctg(x)、常量A和B及其密度函数。解决方案：因为所以3.9已知Cui机械变量的分布函数包括(1)找到相应的分布函数F(x)。(2)救解决方案：3.10确定以下函数的常数a，使该函数成为一元分布的密度函数：(1)(2)(3)解决方案：(1)，所以；(2)所以；所以说。3.11 ABC到任意点P，P到AB的距离是所需的分布函数。解决方案：设置ABC的高CD，CD=h。0xh时为EFAB，辣椒EF和AB之间的距离为x。在0xh的情况下F (x)=p (x)=1-=1-、所以F(x)=从半径为3.12、向心为r和o的球体中移除随机p解决方案3360 0xR时F(x)=P()=0.01。解决方案： (1) P(101.1117.6)=P(2)在3.20中，将二维随机变量()的联合函数设置为F(x，y)，以指示()在区域d内的放置概率，如下图所示。yod解决方案：3.21证明：二进制函数F(-，y)=F(x，- )=0，F(-，)=0，F(x，y)对于每个变量都不是常量，但不是扩散函数卡：设定为x0。对于X y0，由于xx y0，因此f (x，y)=f(xx，y)=1，如果X y0，则F(x，y)=0。如果xx y0，则f(xx，y)=0；如果xx y0，则f(xx，y)=1。因此，F(x，y)F(xx，y)是。显示，F(x，y)相对于x不降级。同样，F(x，y)相对于y不向下。(2)x y0时，(3)F(-，y)=F(x，-)=0，F(，)=0。(4)P(0，因此F(x，y)不是分布函数。3.22表示ABc到AB=l，BC=k，b=90，ABc到任意点M，M到AB的距离为mab=解决方案3360为0xk，arctgN和AB的距离为x。nd/AB、neAB、点d和点e分别位于BC和AB中。显然en=X .aymlxebkdnc至于，可以得到同样的3.23二维随机变量(的密度函数为查找(的分布函数。解决方案：F(x，y)=3.24二维随机变量设置(腔密度(1)寻找常数k；(2)找到相应的分布函数。(3)求p。解决方法：(1)、所以k=12(2)x0，y0点，=，所以(3)=F(1，2)-F(0，2)-F(1，0)-F(0，0)2=3.25二维随机变量密度函数设置寻找常数a和的分布函数。解决方案：2=，所以a=202=2=2=3.26二维随机变量的密度函数为：郭(1)；(2)(3)；(4)。解决方案：(1)2=(2)(3)2=(4)3.27二维随机变量的密度函数为：求。解决方案：2=2=或利用。3.28()的密度函数如下P(x，y)=拯救至少有一个小概率。解决方案：p ()=1-p()=1-p(x，y)dxdy=1-dxdy=。3.29一台机器制造直径为的轴，另一台机器制造内径为的套筒，()的密度函数如下P(x，y)=如果套筒的内径大于轴的直径0.004，但不大于0.036，则可以很好地配合套。现在随机选择轴和袖子，问两者配合的概率是多少解决方案：P(0.004)2=。3.30一个电子设备包含两个主要组件。和()的分布函数表示两个组件的寿命(时间)找出两个组件寿命超过120的概率。解决方案：3.31设置是一维分布的密度函数。二维分布的密度函数需要什么，只需要满足什么条件？解决方案：如果p(x，y)是二维分布的密度函数，即可从workspace页面中移除物件。因此，条件(1)得到满足。相反，如果满足条件(1)，(2)二维分布的密度函数。因此，要使p(x，y)成为二维分布的密度函数，需要h(x，y)，只要满足条件(1)和(2)即可。3.32设置具有以下密度函数的二维随机变量()以查找极限分布：(1)(2)(3)解决方案(1)(2)x0时，所以，(3)要遵循3.33边长为a的正方形内的均匀分布，请设置二维随机变量。此矩形的对角线是轴方向，并寻找极限分布密度。xygoa解决方案：当时，当时，所以，同样地，3.34证明：只要取随机变量的值a，就与随机立即变量无关。证据：的分布函数如下设置的分布函数，(，)的组合分布函数分别为，F(x，y)当时F(x，y)=P如果是Xa，则F(x，y)=P因此，所有实数x，y都有F(x，y)=，因此它们彼此独立。3.35证明：如果随机变量独立于自身，则必须有常数c，其中P(=c)=1。卡：因为或1。非下降，因为左连续，所以有常数c。因此，P(=c)=1。设置3.36二维随机变量的密度函数如下问独立吗？没有关系吗？解决方案：同样地，P(x，y)！=p1(x)p2(y)，因此彼此不独立。此外，有关x的p1(x)、p2(y)和p(x，y)或y的信息是偶数函数，因此E=E=E没有关联。3.37的密度函数是p(x，y)，这证明了独立的充要条件是p(x，y)可分变量。也就是说，p(x，y)=g(x)h(y)和g(x)，h(y)与极限密度函数的关系是什么？解决方案：如果彼此独立，则p(x，y)=p1(x)p2(y)，即p(x，y)分隔变量。相反，p(x，y)=g(x)h(y)等于p2(y)=ch(y)。推送cd=1。因此，p(x，y)=p1(x)p2(y)相互独立。因此，独立的先决条件是p(x，y)可分变量，即p(x，y)=g(x)h(y)。此时，g(x)与极限密度p1(x)、h(y)分别与极限密度p2(y)和一个常数系数相差。3.38()的密度函数如下求常数c，证明它们相互独立。解决方案：所以c=6。G(x)=6x，(0=x，z=2；P1，3(x，z)=0，其他。P2，3(y，z)=，0=y，z=2；P2，3(y，z)=0，其他。其他。因此，p1，2(x，y)=P1(x)p2(y)；P1，3 (x，z)=P1 (x) P3 (z)，p2，3 (y，z)=p2 (y) P3 (z)彼此独立。但是p(x，y，z)！=p1(x)p2(y)p3(z)，彼此独立。使用3.40概率论的想法是：.证据：随机变量相互独立，遵循N(0，1)分布。P (x，y)=1/2pi * exp -1/2 (x2 y2) 。其中G，S分别是图中所示的矩形ABCD和圆。，如果x=rcosw，y=sinw是的3.41特定类型管的寿命(小时)具有以下分布密度一盒电子管收音机在开场初150小时内代替这种电子管的概率是多少？这三个管子全部替换的概率是多少？(假定这三个管的寿命分布相互独立)解决方案：将此类管的寿命设置为w。不更换3个管子的概率是8/27。三个管子全部被替换的概率是1/273.42随机点(0，a)是直线与y轴相交的角度(即-中均匀分布的随机变量)，用于查找直线与x轴相交的横坐标的密度函数。解决方案：通过与y轴相交的点(0，a)的直线表达式为y=ctgga。此直线与x轴相交的水平坐标为x=arctg(-，dx=)。的密度函数，拉伸密度函数包括3.43半径为r，且中心位于坐标原点圆周上的点(即，点的极角为服从(-的均匀分布的随机变量)，并得到(1)点的正交坐标的分布密度。(2)点与(-R，0)形成的弦长分布密度相连接。解法：(1)如果将极座标角度设定为，则点的水平座标为=(、得到的分布密度是同样，此点饥饿的纵坐标分布密度为与此点(-R，0)的弦长得到的分布密度是其他。3.近似测量44球体的直径，并在间距a，b中均匀分布其值，得出球体体